三角函數(shù)與平面向量專題教師用一

1、專題十平面向量的線性運(yùn)算主干知識整合1平面向量的線性運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算(2)三角形法則、平行四邊形法則2兩個(gè)定理(1)向量共線定理如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.3核心問題(1)向量的基底運(yùn)算(2)三角形和四邊形中向量的運(yùn)算要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一平面向量的基底的運(yùn)用 在不可以建立坐標(biāo)系的問題中，一般都牽涉向量的基底的運(yùn)算基底是指平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，在幾何

2、圖形中常見基底向量多為多邊形的邊上的向量例1 設(shè)e1、e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，已知e1，e2，x·y·(x，y為實(shí)數(shù))若PMN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則xy取值的集合為_ 1【解析】 由題意得：|1，·，又因?yàn)镻MN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以有·0，即()·()0，所以(x1)y)·()0，得(1x)y(x1y)0，所以(xy)，即xy1，故xy取值的集合為1【點(diǎn)評】 本題以，為基底構(gòu)造一個(gè)新向量，研究向量所構(gòu)成圖形的特征在處理這類問題時(shí)，關(guān)鍵是在于將未知向量拆分為基底向量的線性關(guān)系式，這里可以用三角

3、形法則和平行四邊形法則以及向量共線定理解題變式題1.設(shè)E，F(xiàn)分別是RtABC的斜邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，已知AB3，AC6，則·_.10【解析】 ·()·()··|2·()|2(6232)10.圖101探究點(diǎn)二多邊形中向量的線性運(yùn)算多邊形中的向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件用基底表示后，再研究圖形中的特征例2如圖102，在ABC和AEF中，B是EF的中點(diǎn)，ABEF1，CACB2，若··2，則與的夾角等于_【解析】 因?yàn)锳BC中，CACB2，AB1，所以cosCAB·，所以&

4、#183;.又因?yàn)?#183;·2，所以·()·() 2，即1···2，所以···1.因?yàn)?，所?#183;··1，即()·1，所以··1，即·1·，所以cos，故，即，.【點(diǎn)評】 本題中ABC為確定三角形，線段EF長度為定值，但位置不定，可以繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，所以以，為基底，先建立，與基底的關(guān)系，再進(jìn)行計(jì)算這類問題難在未知向量與基底向量之間的關(guān)系，比較難建立，本題中關(guān)鍵是利用條件··2進(jìn)行轉(zhuǎn)化關(guān)系本題也可以在B點(diǎn)處建立

5、直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)進(jìn)行研究變式題2.等腰直角三角形ABC中，A90°，AB，AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB邊和AC邊上的點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線AD對稱，當(dāng)·時(shí)，_.3【解析】 由等腰直角三角形ABC中，A90°，AB，AD是BC邊上的高，P為AD的中點(diǎn)知，AD1，AP.由·知()·()，即2()··.又M、N關(guān)于直線AD對稱，得|××cos135°|××cos135°，故|，所以3.探究點(diǎn)三向量線性運(yùn)算中的參數(shù)的范圍向量線性運(yùn)算中參數(shù)取值范圍問

6、題，關(guān)鍵是將所給向量的等式或圖形條件，轉(zhuǎn)化為參數(shù)的等式或不等式條件，從而根據(jù)所得條件，求出參數(shù)的取值范圍例3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓x2y21上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)，使得，則2(3)2的取值范圍是_解：(2，)【解析】 記，則由得22cos21，從而由正實(shí)數(shù)，及|cos|<1，得1<<1，所以>1，且|<1，作出如下圖所示的可行域，則2(3)2表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的平方，從而當(dāng)點(diǎn)(0,3)到直線10的距離d為最小值又d22，所以2(3)2的取值范圍為(2，)【點(diǎn)評】 本題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，得到，的關(guān)系的幾何條件，然后用幾何方

7、法求解2(3)2的取值范圍本題的細(xì)節(jié)在于點(diǎn)C在劣弧上，A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，所以有>1.變式題3.如圖104，設(shè)點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，且mn，m，nR，則m2(n2)2的取值范圍為_圖104(1,5)【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)(不包括邊界)，所以0<m，n<1,0<mn<1，根據(jù)線性規(guī)劃的知識，作出如圖陰影部分，m2(n2)2表示點(diǎn)P(0,2)到陰影內(nèi)點(diǎn)的距離的平方，顯然到點(diǎn)A(0,1)的距離最近，為1，到點(diǎn)B(1,0)的距離最遠(yuǎn)，這時(shí)m2(n2)25，故所求取值范圍為(1,5)規(guī)律技巧提煉平面向量的線性運(yùn)算除了常規(guī)加法、減法

8、、數(shù)乘、數(shù)量積外，還有幾個(gè)關(guān)鍵要素：(1)基底向量的建立；(2)未知向量與基底向量的關(guān)系；(3)向量條件的幾何意義；(4)參數(shù)取值范圍的幾何解法專題十一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積主干知識整合1平面向量的數(shù)量積a·b|a|b|cos.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則加法ab(x1x2，y1y2)減法ab(x1x2，y1y2)數(shù)乘a(x1，y1)向量共線abx1y2x2y10距離公式|數(shù)量積a·bx1x2y1y2模|a|垂直abx1x2y1y203.核心問題(1)有關(guān)數(shù)量積的基本運(yùn)算(2)有關(guān)數(shù)量積的定值和最值問題(3)用三角函數(shù)研究與向量有關(guān)的問題

9、要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積基本運(yùn)算 平面向量的數(shù)量積的基本運(yùn)算主要包含以下幾個(gè)方面：一是用定義法或坐標(biāo)法求解數(shù)量積；二是求解向量的模；三是求解向量的夾角例1 (1)設(shè)向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0<<<，若|2ab|a2b|，則_.(2)在ABC中，AB1，AC2，O為ABC外接圓的圓心，則·_.(1)(2)【解析】 (1)方法一：由|2ab|a2b|得3a28a·b3b20，即a·b0，從而cos()0.又0<<<，故0<<，所以.方法二：如圖所示，設(shè)向量a、b分別對應(yīng)于、，對應(yīng)于

10、2a、2b，則2ab，a2b對應(yīng)于向量，由于OBCOAD，故|，從而由題意得|，故四邊形OCEB為矩形，從而.(2)方法一：··()··，又|，|，所以即··，故·.方法二：過O作OD垂直于BC，垂足為D，因?yàn)镺是三角形ABC的外接圓圓心，所以D為線段BC的中點(diǎn)，所以，則·()··()·()|2|2.【點(diǎn)評】 (1)向量夾角的研究方法有二：一是用向量的數(shù)量積公式cosa，b；二是用幾何圖形將角放置到多邊形中研究(2)本題的方法一是將所給向量之間的關(guān)系直接轉(zhuǎn)化為，之間的關(guān)系，方法二是利用

11、了外接圓的幾何性質(zhì)將，轉(zhuǎn)化為用基底向量，表示變式題1.等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且，若··，則實(shí)數(shù)的值是_1【解析】 P在線段AB上，所以01，不妨設(shè)等邊三角形ABC邊長為1，··，()··()，從而有····，22，解得1±.又01，1.探究點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積最值問題 與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的向量數(shù)量積問題中最常見的問題是求動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造的向量的數(shù)量積的最值問題，此類問題一般需要建立與數(shù)量積有關(guān)的函數(shù)，通過函數(shù)求最值例2 如圖111放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸

12、正半軸上(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則·的最大值是_圖1112【解析】 設(shè)OAD，則OAAD·coscos，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(coscos(90°)，sin(90°)，即B(cossin，cos)，同理可求得C(sin，sincos)，所以·(cossin，cos)·(sin，sincos)1sin2，所以(·)max2.【點(diǎn)評】 本題中A，D兩點(diǎn)在移動(dòng)，并且將這兩點(diǎn)的動(dòng)態(tài)特征用三角函數(shù)表示，并由此三角函數(shù)求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而用三角函數(shù)求解其最值變式題2.已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么·

13、;的最小值為_32【解析】 如圖所示：設(shè)PAPBx(x>0)，APO，則APB2，PO，sin，·|·|cos2x2(12sin2)，設(shè)·y，則y，即x4(1y)x2y0，由x2是實(shí)數(shù)，所以(1y)24×1×(y)0，y26y10，解得y32或y32.故(·)min32.此時(shí)x.探究點(diǎn)三用三角函數(shù)研究向量中的參數(shù)取值范圍問題在用坐標(biāo)研究向量問題時(shí)，涉及參數(shù)取值范圍時(shí)，建立參數(shù)與坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系較為困難或建立后沒有辦法研究時(shí)，可以用對應(yīng)的三角函數(shù)值表示向量的坐標(biāo)，再建立參數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，也是研究問題的一個(gè)途徑例3 如圖112

14、，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量，則的最小值為_ 圖112【解析】 以A為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系設(shè)P(cos，sin)，因?yàn)?1,1)，(cos，sin)，由題意得：解得.又sin1，所以(sin1)11設(shè)y，則y，設(shè)()22sincos，所以()2cossin，因?yàn)?，所?)2cossin0，即()22sincos在遞增，則()1,4，所以y>0，即y在遞增，所以()min.【點(diǎn)評】 本題比較困難的是想到將點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為三角函數(shù)，從而引入三角函數(shù)來表示參數(shù)，之間的關(guān)系，本題的第二個(gè)難點(diǎn)就是對所得函數(shù)的進(jìn)行

15、一步研究比較困難，其中對于式子的正負(fù)研究，需要進(jìn)行再一次的求導(dǎo)變式題3.平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，滿足|1，且與夾角為135°，則|的取值范圍_【解析】 如圖所示，在OAB中，設(shè)OBA，所以，即|a|OAsin，又，故|a|(0，規(guī)律技巧提煉1向量的數(shù)量積問題主要涉及向量的模、夾角、坐標(biāo)這三個(gè)基本方面，有關(guān)向量數(shù)量積的運(yùn)算都是這三個(gè)方面的運(yùn)算2研究向量，一般有兩個(gè)途徑，一是建立直角坐標(biāo)用坐標(biāo)研究向量間的問題，二是用基底向量來研究3與向量數(shù)量積有關(guān)的最值或參數(shù)的取值范圍，可以建立與點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)或三角函數(shù)來研究，也可以考慮其幾何意義，從幾何角度來研究練習(xí)1 ：2010·江蘇卷 在

16、平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·0，求t的值【分析】 本題中的向量問題，主要是給出幾何條件如第一小問給出了平行四邊形的條件，第二小問數(shù)量積的幾何特征在向量的數(shù)量積的運(yùn)算考查中一般有兩種一是坐標(biāo)考查；二是定義考查【解答】 (1)法1：設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，則E為B、C的中點(diǎn)(0,1)，又E(0,1)為A、D的中點(diǎn)，所以D(1,4)兩條對角線的長分別為BC4、AD2.法2：由題設(shè)知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2.(2)由題意知：·t2，(3,5)，t.練習(xí)