大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)-機(jī)械振動(dòng)與波動(dòng)2015

1、1大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)2機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)一、簡諧振動(dòng)的定義一、簡諧振動(dòng)的定義 1、定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移（或、定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移（或角位移）隨時(shí)間按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律變化，稱角位移）隨時(shí)間按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律變化，稱這個(gè)物體在作這個(gè)物體在作簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)或或簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)。 2、兩個(gè)特例：、兩個(gè)特例：“彈簧振子彈簧振子”和和“單擺單擺” 。彈彈簧簧振振子子單單擺擺3動(dòng)力學(xué)特征動(dòng)力學(xué)特征：動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程：運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：kxf mgl sinMmgl 222ddxxt 222ddt cos()xAt )cos( tA彈簧

2、振子彈簧振子單擺單擺mk/ lg/ iikk11串串 iikk并并注注1：彈簧振子水平放置，彈簧振子水平放置，豎直放置或放在固定的光滑豎直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做簡諧振動(dòng)。斜面上都可以做簡諧振動(dòng)。注注2：l4例例1. 如圖，用六根拉伸的長度均為如圖，用六根拉伸的長度均為10cm的彈簧將的彈簧將一質(zhì)量一質(zhì)量m為為10g的物體懸掛起來。每個(gè)彈簧上的拉的物體懸掛起來。每個(gè)彈簧上的拉力均為力均為5N，如果將物體垂直于圖面向外稍微拉動(dòng)，如果將物體垂直于圖面向外稍微拉動(dòng)一下，然后釋放，則該物體一下，然后釋放，則該物體m振動(dòng)的頻率為振動(dòng)的頻率為_Hzm解：解： xl設(shè)物體相對圖面的垂直位移為設(shè)物體

3、相對圖面的垂直位移為x，彈簧相對面的傾角為彈簧相對面的傾角為，物體受彈簧合力物體受彈簧合力( (指向圖面指向圖面) )為為F則：則：x=lsin， F=6fsin6f其中其中l(wèi)為彈簧長度，為彈簧長度，f為一根彈簧拉力為一根彈簧拉力2222dd, 60ddxmFmlftt 由由得得f 阻礙阻礙的增大的增大，f 0 弱阻尼弱阻尼 0無阻尼無阻尼 = 0 , 2220 共共 2220 hA共共16例例6.固有頻率為固有頻率為0的彈簧振子，在阻尼很小的情的彈簧振子，在阻尼很小的情況下，受到頻率為況下，受到頻率為20的余弦策動(dòng)力作用，作受迫的余弦策動(dòng)力作用，作受迫振動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，振幅為振動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)定

4、狀態(tài)，振幅為A。若在振子經(jīng)平衡。若在振子經(jīng)平衡位置時(shí)撤去策動(dòng)力，則自由振動(dòng)的振幅位置時(shí)撤去策動(dòng)力，則自由振動(dòng)的振幅A與與A的關(guān)的關(guān)系是系是_.穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)振子頻率即策動(dòng)力頻率，圓頻率為穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)振子頻率即策動(dòng)力頻率，圓頻率為 2 (2)，解：解：A=2A經(jīng)平衡位置時(shí)速度最大為經(jīng)平衡位置時(shí)速度最大為: V=。撤去策動(dòng)力后，速度仍為撤去策動(dòng)力后，速度仍為V，做自由振動(dòng)，其圓頻做自由振動(dòng)，其圓頻率率 0，仍有關(guān)系，仍有關(guān)系V=AA=A, A=/A=2A(1996.一一.2)17五五 兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成)cos(21tAxxx1 兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍

5、為簡諧運(yùn)動(dòng)兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡諧運(yùn)動(dòng)cos2212221AAAAA* *2 2 兩個(gè)同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成兩個(gè)同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方向同方向簡諧運(yùn)動(dòng)的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .12拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）* *3 3、 相互垂直振向簡諧振動(dòng)的合成相互垂直振向簡諧振動(dòng)的合成 合振動(dòng)軌道一般不是封閉曲線，但當(dāng)頻率有簡單合振動(dòng)軌道一般不是封閉曲線，但當(dāng)頻率有簡單整數(shù)比整數(shù)比 關(guān)系時(shí)，是穩(wěn)定的封閉曲線，稱為關(guān)系時(shí)，是

6、穩(wěn)定的封閉曲線，稱為“李薩如圖形李薩如圖形 ”。18 )(sin)( cos21 2 21 2 21222212 AAxyAyAx0 2 23 47 4 43 45 相互垂直的同頻率諧振動(dòng)的合成相互垂直的同頻率諧振動(dòng)的合成 19例例7. 兩個(gè)線振動(dòng)合成一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)的條件是兩個(gè)線振動(dòng)合成一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)的條件是(1984.二二.2)答案：答案：同頻率同頻率；同振幅同振幅；兩振動(dòng)互相垂直兩振動(dòng)互相垂直；位相差為位相差為k=0，1，2， 212k 20一一 機(jī)械波的基本概念機(jī)械波的基本概念1 機(jī)械波產(chǎn)生條件：機(jī)械波產(chǎn)生條件：1）波源；）波源；2）彈性介質(zhì)）彈性介質(zhì). 機(jī)械振動(dòng)在機(jī)械振動(dòng)在彈性彈性介質(zhì)中的傳播

7、形成波，波是運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中的傳播形成波，波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播.2 描述波的幾個(gè)物理量描述波的幾個(gè)物理量2 波長波長 ：一個(gè)完整波形的長度：一個(gè)完整波形的長度.2 周期周期 ：波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要的時(shí)間：波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要的時(shí)間.T2 頻率頻率 ：單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)所傳播的完整波的數(shù)目：單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)所傳播的完整波的數(shù)目.2 波速波速 ：某一相位在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離：某一相位在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離.uT1TuTuu機(jī)械波機(jī)械波212 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義二二 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù))(2cos)(xTt

8、Ax,ty角波數(shù)角波數(shù))cos(),(kxtAtxy2k)(cos)(uxtAx,ty122三三 波動(dòng)的能量波動(dòng)的能量 12 平均平均能量密度：能量密度：2221Aw3 平均平均能流密度（波強(qiáng)度）：能流密度（波強(qiáng)度）：uAuwI2221kpWWW kp22WW VuxtA )(sin222 每個(gè)質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。每個(gè)質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。振動(dòng)系統(tǒng)：振動(dòng)系統(tǒng)：.constpkpk EEEE， 系統(tǒng)與外界無能量交換。系統(tǒng)與外界無能量交換。對無吸收媒質(zhì)：波傳播時(shí)振幅的變化對無吸收媒質(zhì)：波傳播時(shí)振幅的變化 平面波：平面波：A1= A2 ； 球面波：球面波： A1 r1 = A2 r223例

9、例8.某時(shí)刻的弦波如圖示，此時(shí)圖中用實(shí)線示出的某時(shí)刻的弦波如圖示，此時(shí)圖中用實(shí)線示出的弦段中，振動(dòng)動(dòng)能最大的部位在弦段中，振動(dòng)動(dòng)能最大的部位在_處，振動(dòng)處，振動(dòng)勢能最大的部位在勢能最大的部位在_處。處。ABC解：因解：因B處的拉伸最甚，故處的拉伸最甚，故B處的振動(dòng)勢能最大處的振動(dòng)勢能最大（第二空第二空），本題是行波（不是駐波），而行波），本題是行波（不是駐波），而行波的振動(dòng)動(dòng)能恒等于振動(dòng)勢能，故振動(dòng)動(dòng)能的最大的振動(dòng)動(dòng)能恒等于振動(dòng)勢能，故振動(dòng)動(dòng)能的最大部位也在部位也在B處（處（第一空第一空）241.駐波方程駐波方程:121222 cos()cos()22yAxt 相位中無相位中無 x振動(dòng)因子振動(dòng)

10、因子振幅振幅 | |A2.駐波的特點(diǎn)駐波的特點(diǎn): 兩波腹或兩波節(jié)之間的距離恒為兩波腹或兩波節(jié)之間的距離恒為 /2,相鄰兩波節(jié)之間的所相鄰兩波節(jié)之間的所有點(diǎn)具有相同的相位有點(diǎn)具有相同的相位.波節(jié)兩側(cè)各波節(jié)兩側(cè)各 /2之間的所有點(diǎn)具有相反之間的所有點(diǎn)具有相反的相位的相位.oxyuu4243四、駐波四、駐波253、半波損失、半波損失（1）波密）波密波疏，波疏，反射點(diǎn)反射點(diǎn)無相位突變無相位突變；（2）波）波疏疏波波密密，反射點(diǎn)反射點(diǎn)相位突變相位突變 . “半波損失半波損失”4、實(shí)際駐波的產(chǎn)生、實(shí)際駐波的產(chǎn)生固定（封閉）端固定（封閉）端波節(jié)波節(jié)自由（敞開）端自由（敞開）端波腹波腹形成駐波時(shí)形成駐波時(shí)弦線

11、振動(dòng)弦線振動(dòng)空氣柱振動(dòng)空氣柱振動(dòng)兩個(gè)特例兩個(gè)特例)3 . 2 , 1(2 nnL Lunu2 弦的弦的固有頻率固有頻率（本征頻率本征頻率）26例例9.聲波是聲波是_(填填“橫波橫波”或或“縱波縱波”).若聲波若聲波波源是置于空氣中的一個(gè)球面物，它發(fā)出的球面波源是置于空氣中的一個(gè)球面物，它發(fā)出的球面簡諧波在與球心相距簡諧波在與球心相距 r0處的振動(dòng)振幅為處的振動(dòng)振幅為A0，不計(jì)空，不計(jì)空氣對聲波能量吸收等引起的損耗，則在氣對聲波能量吸收等引起的損耗，則在 rr0 處聲處聲波振動(dòng)振幅為波振動(dòng)振幅為A=_。聲波是聲波是縱波縱波解：解：2AI 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度(平均平均能流密度能流密度)r0處的平均能

12、流密度為處的平均能流密度為200AkI r處的平均能流密度為處的平均能流密度為2AkI 不計(jì)能量的損耗，有不計(jì)能量的損耗，有IrIr202044 00ArrA (2001.一一.2)27例例10.如圖所示，在坐標(biāo)原點(diǎn)如圖所示，在坐標(biāo)原點(diǎn)o處有一波源，它所激處有一波源，它所激發(fā)的振動(dòng)表達(dá)式為發(fā)的振動(dòng)表達(dá)式為 yo=cos2 t 。該振動(dòng)以平面波。該振動(dòng)以平面波形式沿形式沿x軸正方向傳播，在距波源軸正方向傳播，在距波源d處有一平面將處有一平面將波全反射回來（反射時(shí)無半波損失），則在坐標(biāo)波全反射回來（反射時(shí)無半波損失），則在坐標(biāo)x處反射波的表達(dá)式為處反射波的表達(dá)式為_.(1984.二二.1)2(2(

13、4) xdvtcosAy )2(2(3) xdvtcosAy )(2(2) xdvtcosAy )(2(1) xdvtcosAy xxdoPB28解：解：xxdoPB在波源坐標(biāo)原點(diǎn)在波源坐標(biāo)原點(diǎn)o處處的振動(dòng)方程為的振動(dòng)方程為0cos2yAvt 入射波使入射波使B點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)方程為0dcos2()uyAv t 上式亦為反射波使上式亦為反射波使B點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)方程點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)方程。反射波使反射波使P點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)的振動(dòng)方程為：0ddxcos2()uuyAv t 答案：答案：(3)29例例11.在一根線密度為在一根線密度為=1g/m的弦上形成駐波，弦的弦上形成駐波，弦的張力

14、為的張力為T=10N，若入射波與反射波分別為，若入射波與反射波分別為波的頻率為波的頻率為=50Hz,則在則在t=1/3s時(shí)的波形曲線為時(shí)的波形曲線為( )(1987.一一.1)ucos,ucos21ytAxytAx30例例11.在一根線密度為在一根線密度為=1g/m的弦上形成駐波，弦的弦上形成駐波，弦的張力為的張力為T=10N，若入射波與反射波分別為，若入射波與反射波分別為ucos,ucos21ytAxytAx波的頻率為波的頻率為=50Hz,則在則在t=1/3s時(shí)的波形曲線為時(shí)的波形曲線為( )(1987.一一.1)解：解： 駐波駐波 ycostcosAxxx2221 u100Tms u100

15、250m 1100,t233tstycosAycoscosAx 31002此時(shí)此時(shí)正與圖形正與圖形()相符。相符。31例例12. 駐波可看作兩列行波疊加而成，下圖中圓點(diǎn)駐波可看作兩列行波疊加而成，下圖中圓點(diǎn)（）代表一維駐波的波節(jié)位置，叉（）代表其）代表一維駐波的波節(jié)位置，叉（）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同時(shí)刻的波形圖波腹位置。若已知一列行波在不同時(shí)刻的波形圖依時(shí)序圖（依時(shí)序圖（a）、（）、（b）、（）、（c）所示。試在各圖中）所示。試在各圖中畫出另一列行波在相應(yīng)時(shí)刻的波形圖（以虛線表畫出另一列行波在相應(yīng)時(shí)刻的波形圖（以虛線表示）示）(1995.一一.8)32解：解：兩兩列行波疊加形成駐

16、波時(shí)，它們在各波腹處列行波疊加形成駐波時(shí)，它們在各波腹處引起的分振動(dòng)必同相，而在波節(jié)處的必反相，據(jù)引起的分振動(dòng)必同相，而在波節(jié)處的必反相，據(jù)此可繪出另一列行波相應(yīng)時(shí)刻的波形圖。此可繪出另一列行波相應(yīng)時(shí)刻的波形圖。33yAxoABCup 例例 如圖一向右傳播的簡諧波在如圖一向右傳播的簡諧波在 t 時(shí)刻的波形時(shí)刻的波形BC 為為波密波密媒質(zhì)的反射面，則反射波在媒質(zhì)的反射面，則反射波在 t 時(shí)刻的波形圖為：時(shí)刻的波形圖為：答：答：（B）P 點(diǎn)兩振動(dòng)反相點(diǎn)兩振動(dòng)反相yAxoAyAoAxuu（C）（D）yAxoAu（A）pppyAxoAu（B）p34例例13.標(biāo)準(zhǔn)聲源能發(fā)出頻率為標(biāo)準(zhǔn)聲源能發(fā)出頻率為 H

17、z的聲波，的聲波，一音叉與該標(biāo)準(zhǔn)聲源同時(shí)發(fā)聲，產(chǎn)生頻率為一音叉與該標(biāo)準(zhǔn)聲源同時(shí)發(fā)聲，產(chǎn)生頻率為1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小塊橡皮泥，則拍的拍音，若在音叉的臂上粘一小塊橡皮泥，則拍頻增加，音叉的頻增加，音叉的固固有頻率有頻率 _ .將上述音將上述音叉置于盛水的玻璃管口，調(diào)節(jié)管中水面的高度，叉置于盛水的玻璃管口，調(diào)節(jié)管中水面的高度，當(dāng)管中空氣柱高度當(dāng)管中空氣柱高度L從零連續(xù)增加時(shí)，發(fā)現(xiàn)在從零連續(xù)增加時(shí)，發(fā)現(xiàn)在L=0.34m和和1.03m時(shí)產(chǎn)生相繼的兩次共鳴，由以上時(shí)產(chǎn)生相繼的兩次共鳴，由以上數(shù)據(jù)算得聲波在空氣中的傳播速度為數(shù)據(jù)算得聲波在空氣中的傳播速度為_.0 .2500 v v解：解：

18、拍頻為拍頻為1.5Hz時(shí)有兩種可能時(shí)有兩種可能Hz.vvHz.vv515100 ，音叉粘上橡皮泥后質(zhì)量增加，頻率音叉粘上橡皮泥后質(zhì)量增加，頻率 應(yīng)應(yīng)減小減小，(1993.一一.6)35此時(shí)拍頻增加，由此可判斷出此時(shí)拍頻增加，由此可判斷出Hz.vv510 248.5Hz.Hz.vv 510共鳴時(shí)氣柱內(nèi)形成駐波，共鳴時(shí)氣柱內(nèi)形成駐波，共鳴時(shí)的氣柱高度應(yīng)滿足關(guān)系共鳴時(shí)的氣柱高度應(yīng)滿足關(guān)系2) 12(nLn故第一、二此共鳴時(shí)氣柱的高度差故第一、二此共鳴時(shí)氣柱的高度差212 LLm.)LL(381212 vu .sms.34352483811 361、 波源不動(dòng)，觀察者相對介質(zhì)以速度波源不動(dòng)，觀察者相對

19、介質(zhì)以速度 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)ov觀察觀察者接者接收的收的頻率頻率 uuov觀察者觀察者向向波源運(yùn)動(dòng)波源運(yùn)動(dòng)觀察者觀察者遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離波源波源uuov五、多普勒效應(yīng)五、多普勒效應(yīng) 波源或觀測者或它們二者相對于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測波源或觀測者或它們二者相對于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測者接收到的頻率和波源的頻率并不相等的現(xiàn)象。者接收到的頻率和波源的頻率并不相等的現(xiàn)象。37bAs sTsvuTuuTTbsvTuTs1vsvuusvuu波源波源向向觀察者運(yùn)動(dòng)觀察者運(yùn)動(dòng)觀察觀察者接者接收的收的頻率頻率 波源波源遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離觀察者觀察者svuu2、 觀察者不動(dòng)，波源相對介質(zhì)以速度觀察者不動(dòng)，波源相對介質(zhì)以速度 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)sv383、波源與觀

20、察者同時(shí)相對介質(zhì)運(yùn)動(dòng)、波源與觀察者同時(shí)相對介質(zhì)運(yùn)動(dòng)),(osvvsovvuu 若波源與觀察若波源與觀察者不沿二者連線運(yùn)者不沿二者連線運(yùn)動(dòng)動(dòng)ovsvovsvsovvuu ov觀察者觀察者向向波源運(yùn)動(dòng)波源運(yùn)動(dòng) + ，遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 .波源波源向向觀察者運(yùn)動(dòng)觀察者運(yùn)動(dòng) ，遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 + .sv39 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，所有波時(shí)，所有波前將聚集在一個(gè)圓錐面上，前將聚集在一個(gè)圓錐面上，波的能量高度集中形成波的能量高度集中形成沖擊沖擊波波或或激波激波，如核爆炸、超音，如核爆炸、超音速飛行等速飛行等.usv5）衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等.1）交通上測量車速；交通上測量車速；2）醫(yī)學(xué)上用于測量血流速度；醫(yī)學(xué)上用于測量血流速度

21、；3）天文學(xué)家利用電磁波紅移說明大爆炸理論；天文學(xué)家利用電磁波紅移說明大爆炸理論；4）用于貴重物品、機(jī)密室的防盜系統(tǒng)；用于貴重物品、機(jī)密室的防盜系統(tǒng)；多普勒效應(yīng)的應(yīng)用多普勒效應(yīng)的應(yīng)用tsv1P2Put40 3. 3.兩個(gè)實(shí)驗(yàn)者兩個(gè)實(shí)驗(yàn)者A A和和B B各自攜帶頻率同為各自攜帶頻率同為1000Hz1000Hz的聲源，的聲源，聲波在空氣中的傳播速度為聲波在空氣中的傳播速度為340m/s340m/s，設(shè)，設(shè)A A靜止，靜止，B B以以20m/s20m/s的速率的速率朝著朝著A A運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)，則A A除了能收到頻率為除了能收到頻率為1000Hz1000Hz的聲波外，還能接收到的聲波外，還能接收到的頻

22、率為的頻率為_Hz_Hz的聲波；的聲波；B B除了能收到頻率為除了能收到頻率為1000Hz1000Hz的聲波外，的聲波外，還能接收到的頻率為還能接收到的頻率為_Hz_Hz的聲波。的聲波。 解：解： 以以u u表示聲波在空氣中的傳播速度，以表示聲波在空氣中的傳播速度，以v v表示表示B B相對相對于空氣的速度。以于空氣的速度。以A A為接收器，以為接收器，以B B為聲源時(shí)，有為聲源時(shí)，有)Hz(10631000203403400vuuA（第一空）19屆屆 填空填空3以以B為接收器，以為接收器，以A為聲源時(shí)，有為聲源時(shí)，有)Hz(10591000340203400uvuB(第二空）41例例14.聲波在空氣中的傳播速度為聲波在空氣中的傳播速度為u1 ，在銅板中的，在銅板中的傳播速度為傳播速度為u2 ，設(shè)頻率為，設(shè)頻率為 的聲波從圖中靜止的的聲波從圖中靜止的波源波源S發(fā)出，經(jīng)空氣傳播到以速度發(fā)出，經(jīng)空氣傳播到以速度 V u1 向前運(yùn)動(dòng)向前運(yùn)動(dòng)的平行銅板，在銅板的正前方有一靜止的接收者的平行銅板，在銅板的正前方有一靜止的接收者B,則則S接收到的由銅板反射回的聲波頻率接收到的由銅板反射回的聲波頻率1=_，B接收到的由銅板反射回的聲波頻率接收到的由銅板反射回的聲波頻率 2 =_。( 與與V平行）平行）SB0 (1994.一一.6)解：解：110201v,vuvu 波源波源S靜止，以