新人教版九上《21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系》ppt課件

1、21.2.4 一元二次方程一元二次方程的根與系數(shù)的關系的根與系數(shù)的關系張集一中張集一中 陳建河陳建河1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 復習提問復習提問2.2.求根公式求根公式 方程方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2 2-3-3x+2=0+2=0 X X2 2-2x-3=0-2x-3=0X X2 2-5x +4=0-5x +4=0問題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的兩根問題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的兩根x1+ x2，x1 x2與與系數(shù)有什么規(guī)律？系數(shù)有什么規(guī)律？ 猜想：當二次項系數(shù)為猜想：當二次項系數(shù)為1 1時，方程時，方程 x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的兩根

2、為的兩根為x x1, x2qxxpxx21212 2 1 13 32 2-1 3 2 2-3-31 1 4 4 5 54 4 方方 程程 x1x2xx21xx21.01692 xx01432 xx02732 xx31313291372343131-2-23732x1+ x2，x1x2與系數(shù)有什么規(guī)律與系數(shù)有什么規(guī)律?372猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a、b b、c c是常數(shù)且是常數(shù)且a a0 0）的兩根為的兩根為x x1 1、x x2 2，則：則： x x1 1+ +x x2 2和和x x1 1.x.x2 2與系數(shù)與系數(shù)a a

3、，b b，c c 的關系的關系. .abxx21acxx21042 acb x1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2ax1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2ax1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2xx21xx21.abac任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關系任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是的兩個根是X1 , X2 ,那么那么X1 + X2= , X1 X2= ab-ac（韋達定理

4、）（韋達定理）注：能用根與系數(shù)的關系的注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為前提條件為b2-4ac0韋達（韋達（15401603） 韋達是法國十六世紀最有影響的數(shù)學韋達是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。并對方程論做了改進。 他生于法國的普瓦圖。年青時學習他生于法國的普瓦圖。年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用

5、學研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關系（所以人們了方程根與系數(shù)之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結(jié)把敘述一元二次方程根與系數(shù)關系的結(jié)論稱為論稱為“韋達定理韋達定理”）。）。 韋達在歐洲被尊稱為韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之代數(shù)學之父父”。 一、直接運用根與系數(shù)的關系一、直接運用根與系數(shù)的關系例例1、不解方程，求下列方程兩根的和與積、不解方程，求下列方程兩根的

6、和與積.知識源于知識源于悟悟222415)3(0973)2(0156)1 (xxxxxx在使用根與系數(shù)的關系時，應注意：在使用根與系數(shù)的關系時，應注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用X X1 1+X+X2 2= = 時，時， 注意注意“ ” ”不要漏寫不要漏寫. .ab例例1 1、不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：、不解方程，求方程兩根的和與兩根的積： 2310 xx 22410 xx 123xx 121xx 122xx解：解： 我能行我能行1原方程可化為：原方程可化為：02122 xx2121 xx二次項不是二次項不是1 1，可，可以先把它化為以先

7、把它化為1 11625x 35()275k k357答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是，的值是的值是。2560 xkxk例例2 2、已知方程、已知方程求它的另一個根及求它的另一個根及的一個根是的一個根是2 2的值。的值。26055kxx原方程可化為：原方程可化為：想一想，想一想，還有其他還有其他方法嗎？方法嗎？還可以把還可以把 代入方程的兩邊，求出代入方程的兩邊，求出2x k 解：解：，那么那么1x設方程的另一根是設方程的另一根是135x 3()255k 又 我能行我能行21232xx 1212xx 22310 xx 例例3 3、不解方程，求一元二次方程、不解方程，求一元二次方程兩個根的

8、平方和；倒數(shù)和。兩個根的平方和；倒數(shù)和。12,x x設方程的兩根是設方程的兩根是，那么，那么解：解： 我能行我能行32221212212)(xxxxxx2122122212)(xxxxxx413)21(2)23(22221xx21212111xxxxxx)21()23(3二、求關于兩根的對稱式或代數(shù)式的值二、求關于兩根的對稱式或代數(shù)式的值2221) 1 (xx 例例2、設、設 是方程是方程 的兩個的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值. 21,xx03422 xx) 1)(1)(3 (21xx221221) 4 (xxxx2112)5(xxxx221

9、)(6(xx 2111) 2(xx關于兩根幾種常見的求值關于兩根幾種常見的求值2111. 4xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 6xx221)(xx 212214)(xxxx212 xx2221. 1xx221)(xx221).(2xx221)(xx 214 xx小結(jié)小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0則有的兩根分別是如果注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為b2-4ac0例例3 3、求一個一

10、元二次方程，使、求一個一元二次方程，使 它的兩個根是它的兩個根是2 2和和3 3，且二，且二 次項系數(shù)為次項系數(shù)為1.1.變式：且二次項系數(shù)為變式：且二次項系數(shù)為5 5例例4 4、已知關于、已知關于x x的方程的方程x x2 2-5x-2=0-5x-2=0（1 1）, ,且關于且關于y y的方程的兩根分別是的方程的兩根分別是方程（方程（1 1）的兩根）的兩根的平方的平方. .求關于求關于y y的方程的方程. .的倒數(shù)的倒數(shù). .的相反數(shù)的相反數(shù). .比比都大都大2.2.例例5 5、小明和小敏解同一個一元二次、小明和小敏解同一個一元二次方程時，小明看錯了一次項系數(shù)所求方程時，小明看錯了一次項系數(shù)

11、所求出的根為出的根為-9-9和和-1-1；小敏看錯了常數(shù)項；小敏看錯了常數(shù)項所求出的根是所求出的根是8 8和和2 2。你知道原來的方。你知道原來的方程是什么嗎？程是什么嗎？ 三、構(gòu)造新方程三、構(gòu)造新方程練習、甲、乙二人解同一個一元二次練習、甲、乙二人解同一個一元二次方程時，甲看錯了常數(shù)項所求出的根方程時，甲看錯了常數(shù)項所求出的根為為1 1，4 4；乙看錯了一次項系數(shù)所求出；乙看錯了一次項系數(shù)所求出的根是的根是-2-2，-3-3。則這個一元二次方程。則這個一元二次方程為為_ 三、構(gòu)造新方程三、構(gòu)造新方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)例例6 6

12、、如果如果1是方程的一個根，是方程的一個根，則另一個根是則另一個根是_=_。（還有其他解法嗎？（還有其他解法嗎？) )022mxx-3練習：已知練習：已知3 3是方程是方程 的一根，求的一根，求m m及另一根及另一根230 xmx例例7 7、方程、方程 的兩根同為正數(shù)，求的兩根同為正數(shù)，求p p、q q的取值范圍的取值范圍. .02qpxx四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)變式變式: :方程方程有一個正根，一個負根，求有一個正根，一個負根，求m m的取值范圍的取值范圍. .解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx

13、四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)一正根，一負根一正根，一負根0X1X20兩個正根兩個正根0X1X20X1+X20兩個負根兩個負根0X1X20X1+X20例例8 8、 已知方程的兩已知方程的兩 個實數(shù)根是且個實數(shù)根是且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221 xx四、求方程中的待定系數(shù)四、求方程中的待定系數(shù)注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為b2-4ac0小結(jié)小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0則有的兩根分別是如果注：能用根與系數(shù)的關系的前提條件為注：能用根與系數(shù)的關系的前提

14、條件為b2-4ac0已知兩個數(shù)的和是已知兩個數(shù)的和是1，積是，積是-2，則兩個數(shù)，則兩個數(shù)是是 解法解法(一一):設兩數(shù)分別為設兩數(shù)分別為x,y則則:1 yx2 yx解得解得:x=2y=1或或 1y=2解法解法(二二):設兩數(shù)分別為一個一元二次方程設兩數(shù)分別為一個一元二次方程的兩根則的兩根則:022aa求得求得1, 221aa兩數(shù)為兩數(shù)為2,*已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)*求未知系數(shù)的取值范圍*例題:已知關于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求證:無論k取何值時,方程總有兩不相等的實數(shù)根. (2)當k取何值時,方程的一根大于1,另一根小于1?分析分析:(1)(1)列出的代數(shù)式列出

15、的代數(shù)式, ,證其恒大于零證其恒大于零(2)(x(2)(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0+360 方程總有兩個不相等的實數(shù)根方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)由題意得由題意得:解得解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 當當 時方程的一根大于時方程的一根大于1,另一根小于另一根小于1132m *1.當當a取什么值時取什么值時,關于未知數(shù)關于未知數(shù)x的方程的方程ax2+4x-1=0,只有正實數(shù)根只有正實數(shù)根?*2.已知已知:x1,x2是關于是關于x的一元二次方程的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的兩個非零實根的兩個非零實根,問問x1,x2能否同號能否同號?若能同號若能同號,請求出相應請求出相應m的取值的取值范圍范圍;若不能同號若不能同號,請說明理由請說明理由. *題題9 在在ABC中中a,b,c分別為分別為A, B,C 的對邊的對邊,且且c= ,若關于若關于x的方程的方程 有兩個相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根,又方程又方程 的兩實數(shù)根的平方和為的兩實數(shù)根的平方和為6,求求ABC的面積的面積.350)35(2)35