高中數(shù)學(xué)2-3-2《數(shù)學(xué)歸納法》課件新人教B版選修

1、.數(shù)學(xué)歸納法（）（）證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題, ,可用下列方法可用下列方法來(lái)證明它們的正確性來(lái)證明它們的正確性: :(1)(1)驗(yàn)證驗(yàn)證當(dāng)當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時(shí)命題成立時(shí)命題成立, ,(2)(2)假設(shè)假設(shè)當(dāng)當(dāng)n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )時(shí)命題成立時(shí)命題成立, , 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n n0 0開始的所開始的所有正整數(shù)有正整數(shù)n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這

2、種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法。注意注意 1.1. 用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí), ,要分兩個(gè)要分兩個(gè)步驟步驟, ,兩個(gè)步驟缺一不可兩個(gè)步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎(chǔ)是遞推的基礎(chǔ). . 找準(zhǔn)找準(zhǔn)n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據(jù)是遞推的依據(jù)n nk k時(shí)時(shí)命題成立作為必用的條件，而命題成立作為必用的條件，而n nk+1k+1時(shí)情時(shí)情況則有待況則有待利用假設(shè)利用假設(shè)及已知的定義、公式、定及已知的定義、公式、定理等加以證明理等加以證明回顧回顧例例:已知數(shù)列已知數(shù)列 計(jì)算計(jì)算 ,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,猜想

3、猜想 的表達(dá)式的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.n nS S1 12 23 34 4S S , ,S S , ,S S , ,S S1 11 11 11 1, , , , , ,1 14 4 4 47 7 7 71 10 0( (3 3n n- -2 2) )( (3 3n n+ +1 1) )1 12121323243431111解：當(dāng)n =1時(shí)，s =解：當(dāng)n =1時(shí)，s =1441441212 當(dāng)n =1時(shí)，s =s +=當(dāng)n =1時(shí)，s =s +=4774771313 當(dāng)n =1時(shí)，s =s +=當(dāng)n =1時(shí)，s =s +=71010710101414 當(dāng) 當(dāng)n

4、=1n =1時(shí)，s =s +=時(shí)，s =s +=101313101313n nn n猜想：s =猜想：s =3n+13n+1例例: :是否存在常數(shù)是否存在常數(shù)a a、b,b,使得等式使得等式: : 對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n n都成立都成立, ,并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. .2 22 22 22 21 12 2n na an n + + n n+ + + + += =1 1 3 33 3 5 5( (2 2n n - -1 1) )( (2 2n n + +1 1) )b bn n + + 2 2點(diǎn)撥點(diǎn)撥: :對(duì)這種類型的題目對(duì)這種類型的題目, ,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值

5、, ,探求出待定系數(shù)探求出待定系數(shù), ,然后用數(shù)學(xué)歸納然后用數(shù)學(xué)歸納法證明它對(duì)一切正整數(shù)法證明它對(duì)一切正整數(shù)n n都成立都成立. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得.41,231013bababa以下用數(shù)學(xué)歸納法證明以下用數(shù)學(xué)歸納法證明: :).(24) 12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確, ,即即: :2 22 22 22 21 12 2k kk k+ + k k+ + + + += =. .1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k - - 1 1) )( (2 2k k + + 1 1)

6、)4 4k k + + 2 2則當(dāng)則當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k( (k k + + 1 1) )+ + + + + +1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + + k k( (k k + + 1 1) )k k( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )+ + 2 2( (k k + + 1 1) )= =+ += =4 4k k +

7、 + 2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3k k + + 2 2k k + + 2 2) )( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (k k + + 2 2) )= = =2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + +

8、 3 3k k + + 2 2( (k k + + 1 1) ) + +( (k k + + 1 1) )= = =4 4k k + + 6 64 4( (k k + +. .1 1) )+ + 2 2故當(dāng)故當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,結(jié)論也正確結(jié)論也正確. .根據(jù)根據(jù)(1)(1)、(2)(2)知知, ,對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,n,結(jié)論正確結(jié)論正確. .(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí), ,由上面解法知結(jié)論正確由上面解法知結(jié)論正確. .例例: :比較比較 2 2n n 與與 n n2 2 (n(nN N* *) )的大小的大小注：注：先猜想，再證明先猜想，再證明解：當(dāng)解：當(dāng)n=1n=1

9、時(shí)，時(shí)，2 2n n=2,n=2,n2 2=1, 2=1, 2n nnn2 2 當(dāng)當(dāng)n=2n=2時(shí)，時(shí)，2 2n n=4,n=4,n2 2=4, 2=4, 2n n=n=n2 2 當(dāng)當(dāng)n=3n=3時(shí)，時(shí)，2 2n n=8,n=8,n2 2=9, 2=9, 2n nnnn2 2 當(dāng)當(dāng)n=6n=6時(shí)，時(shí)，2 2n n=64,n=64,n2 2=36, 2=36, 2n nnn2 2猜想猜想當(dāng)當(dāng)n n5 5時(shí)，時(shí)，2 2n nnn2 2( (證明略證明略) )例例: :平面內(nèi)有平面內(nèi)有n n條直線條直線, ,其中任何兩條不平其中任何兩條不平行行, ,任何三條不過(guò)同一點(diǎn)任何三條不過(guò)同一點(diǎn), ,證明交點(diǎn)

10、的個(gè)數(shù)證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)=n(n-1)/2.f(n)=n(n-1)/2.說(shuō)明說(shuō)明: :用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題, ,重難重難點(diǎn)是處理好當(dāng)點(diǎn)是處理好當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立何知識(shí)證明命題成立. .注注: :在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論: :(1)(1)設(shè)這設(shè)這n n條直線互相分割成條直線互相分割成f(n)f(n)條線段或射線條線段或射線, ,-則則: f(n)=n: f(n)=n2 2. .(2)(2)這這n n條直線把平面分成條直線把平面分成(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2個(gè)區(qū)域個(gè)區(qū)域. .1:n1:n邊形有邊形有f(n)f(n)條對(duì)角線條對(duì)角線, ,則凸則凸n+1n+1邊形的對(duì)角線邊形的對(duì)角線 -的條數(shù)的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.2:2:設(shè)有通過(guò)一點(diǎn)的設(shè)有通過(guò)一點(diǎn)的k k