專題13 解直角三角形及其應(yīng)用問題(解析版)2022年中考數(shù)學(xué)二輪解題方法分類專項(xiàng)突破

1、專題13 解直角三角形及其應(yīng)用問題 一、單選題1如圖，坡角為的斜坡AB長5米，若tan，則BC的長為（）A米B5米C10米D5米【答案】B【解析】【分析】設(shè)BCx米，根據(jù)正切的定義用x表示出AC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案【詳解】解：設(shè)BCx米，tan，AC2x米，在RtABC中，AB2AC2+BC2，即（5）2x2+（2x）2，解得：x15，x25（舍去），則BC5米，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查度數(shù)解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，準(zhǔn)確掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵2如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋?；?）量得測(cè)角儀的高度；（

2、3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（）米ABCD【答案】A【解析】【分析】過C作CFAB于F，則四邊形BFCD是矩形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】解：過C作CFAB于F，則四邊形BFCD是矩形，BFCDa，CFBDl，ACF，tan，AFltan，ABAF+BFa+ltan，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的定義，并根據(jù)題意構(gòu)建合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵3某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)一斜坡的坡度i1，則這個(gè)斜坡的坡角為（）A30B45C60D90【答案】A【解析】【分析】根據(jù)坡度可以求得該坡

3、角的正切值，根據(jù)正切值即可求得坡角的角度.【詳解】解：如圖，坡度為i=1:，tanA= ，tan30= ，這個(gè)斜坡的坡角為30故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了三角函數(shù)值在直角三角形中的應(yīng)用4如圖，已知太原南站某自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31，自動(dòng)扶梯AB的長為15 m，則大廳兩層之間的高度BC為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin31=，進(jìn)而得出答案【詳解】解：由題意可得：sin31=，則BC=15sin31（m）故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵5如圖所示，九（二）班的同學(xué)準(zhǔn)備在坡

4、角為的河堤上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為8 m，那么這兩棵樹在坡面上的距離AB為（）A8mB mC8sina mD m【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用余弦函數(shù)求兩樹在坡面上的距離AB【詳解】解：坡角為，相鄰兩樹之間的水平距離為8米，兩樹在坡面上的距離（米）故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形中的坡度坡角問題及學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力6如圖，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部的仰角為55，看這棟高樓底部的俯角為35，若熱氣球與高樓的水平距離為35m，則這棟高樓度大約是（）（考數(shù)據(jù)：sin55，cos55，tan55）A74米B80米C84米D98米【答案】A【解析】

5、【分析】過點(diǎn)A作ADBC于D，然后分別解直角三角形，求出BD和CD的長即可即可答案【詳解】解：過點(diǎn)A作ADBC于D，在RtABD中，BAD55，AD35m，tanBAD，BDADtanBAD3549（m），在RtACD中，ACD90CAD55，AD35m，tanACD，CD25（m），BCBD+CD49+2574（m），故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵7如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，B30，過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，若現(xiàn)將ABE沿直線AE翻折至AFE的位置，設(shè)AF與CD交于點(diǎn)G，則等于（）ABCD【答案】D【解析】【分析】首先利用RtAB

6、E求出BE根據(jù)折疊得到BF2BE再利用ADGFCG求出結(jié)果.【詳解】解：在RtABE中，B30，AB2，BE根據(jù)折疊性質(zhì)可得BF2BECF2，ADCF，ADGFCG故選：D【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形得到比例式是解決問題的關(guān)鍵.8如圖，小東在教學(xué)樓距地面8米高的窗口C處，測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45，升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面2.5米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放46秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗勻速上升的速度為（）米/秒（參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75）A0.3B0.2C0

7、.25D0.35【答案】C【解析】【分析】由條件可得BCD是等腰直角三角形，再利用解直角三角形即可求得國旗上升的高度，從而可求得國旗勻速上升速度【詳解】在RtBCD中，BD8米，BCD45，BCD是等腰直角三角形，BDCD8米，在RtACD中，CD8米，ACD37，ADCDtan3780.756（米），旗桿AB的高為：AD+BD6+814（米）；升旗時(shí)，國旗上升高度是：142.511.5（米），耗時(shí)46s，國旗勻速上升的速度為：0.25（米/秒），故選：C【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，正確理解題中俯角、仰角的含義是關(guān)鍵9如圖，菱形 AB

8、CD 的邊長為4 ，A = 60， M 是 AD 的中點(diǎn)， N 是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn)， 將DAMN 沿 MN 所在的直線翻折得到DAMN ，連接 AC ，則當(dāng) AC 取得最小值時(shí)， tan DCA的值為（）ABCD【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定點(diǎn)的位置，再作MHDC，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)可知MD，HDM，再根據(jù)30直角三角形的性質(zhì)求出HD和HM，進(jìn)而求出CH，最后根據(jù)正切值定義求出答案即可【詳解】因?yàn)槭嵌ㄖ担瑑牲c(diǎn)之間線段最短，即當(dāng)點(diǎn)在MC上時(shí)，取最小值過點(diǎn)M作MHDC于點(diǎn)H邊長為4的菱形ABCD中，A=60，M為AD的中點(diǎn)，2MD=AD=CD=4，HDM=60，MDH=H

9、DM=60，HMD=30，CH=HD+CD=5，的值為故選：B【點(diǎn)睛】這是一道應(yīng)用菱形的性質(zhì)求線段最短問題，主要考查了菱形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)等10如圖，邊長為4的正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿直線DF折疊，點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處，折痕DF交AC于點(diǎn)M，則OM長是（）ABCD2【答案】B【解析】【分析】連接EF，先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BD，再根據(jù)折疊的性質(zhì)證明BEF是等腰直角三角形，可求出CF，再根據(jù)兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似，得，即可求出OM【詳解】如圖，連接EF，四邊形ABCD時(shí)正方形，AB=AD=BC=CD=4，DCB=C

10、OD=BOC=90，OD=OC，根據(jù)折疊性質(zhì)可知，OEF=DCB=90，EDF=CDF，BEF=90，BFE=FBE=45，BEF時(shí)等腰三角形，DCB=COD=90，EDF=CDF，即，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，相似三角形的性質(zhì)判定，正方形的性質(zhì)等，正確的識(shí)圖是解題的關(guān)鍵11如圖1，某小區(qū)入口處安裝“曲臂桿”，OAAB，OA=1米，點(diǎn)O是臂桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)C是曲臂桿兩段的連接點(diǎn)，曲臂桿CD部分始終與AB平行如圖2，曲臂桿初始位置時(shí)O、C、D三點(diǎn)共線，當(dāng)曲臂桿升高到OE時(shí)，AOE=121，點(diǎn)E到AB的距離是1.7米，當(dāng)曲臂桿升高到OF時(shí)，AOF=156，則點(diǎn)F到AB的距離是（結(jié)

11、果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin310.5，sin660.9）（）A2.0米B2.3米C2.4米D2.6米【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作EGOD，F(xiàn)HOD，于點(diǎn)G，H，根據(jù)已知條件可得EOG=121-90=31，F(xiàn)OH=156-90=66，然后利用銳角三角函數(shù)列式計(jì)算可得OE的長，根據(jù)OE=OF，計(jì)算可得FH的長，進(jìn)而可得點(diǎn)F到AB的距離【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作EGOD，F(xiàn)HOD，于點(diǎn)G，H，OAAB，OAOD，AOD=90，AOE=121，AOF=156，EOG=121-90=31，F(xiàn)OH=156-90=66，點(diǎn)E到AB的距離是1.7米，OA=1米，EG=1.7-1=

12、0.7(米），在RtOEG中，(米），OE=OF，在RtOFH中，(米），F(xiàn)H+OA=1.26+1=2.262.3(米）點(diǎn)F到AB的距離是2.3米故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形12如圖，給出了一種機(jī)器零件的示意圖，其中米，米，則（）A米B米C米D米【答案】C【解析】【分析】作于H，利用三角函數(shù)求出EF，再根據(jù)得出AB的長即可【詳解】作于H由圖知，BE與水平方向呈30夾角，米米AC與水平方向呈45夾角是等腰直角三角形米米米故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的應(yīng)用，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵13我校興趣小組同學(xué)為測(cè)量校外“御墅臨楓”的一

13、棟電梯高層AB的樓高，從校前廣場(chǎng)的C處測(cè)得該座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為45，沿著C向上走到30米處的D點(diǎn)再測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為22，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面內(nèi)，則高樓AB的高度為（）（參考數(shù)據(jù)；sin220.37，cos220.93，tan220.40）A60B70C80D90【答案】D【解析】【分析】作AHED交ED的延長線于H，根據(jù)坡度的概念分別求出CE、DE，根據(jù)正切的定義求出AB【詳解】解：作AHED交ED的延長線于H，設(shè)DEx米，CD的坡度：i1：2，CE8x米，由勾股定理得，DE2+CE2CD8，即x2+（2x）2（30）2，解得，x30，則DE30米，CE6

14、0米，設(shè)ABy米，則HEy米，DHy30，ACB45，BCABy，AHBEy+60，在RtAHD中，tanDAH則0.4，解得，y90，高樓AB的高度為90米，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵14如圖1，在ABC中，ABAC，BAC120，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PCx，PA+PEy圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點(diǎn)那么a的值為（）A6B7CD14【答案】A【解析】【分析】首先構(gòu)造菱形，根據(jù)軸對(duì)稱求線段和最小，可判斷點(diǎn)P的位置，再根據(jù)圖象中的含義可

15、知點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，確定菱形的邊長，然后判斷是等邊三角形，最后在直角三角形中求出a的值【詳解】解：如圖，將ABC沿BC折疊得到，則四邊形為菱形，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，共線時(shí)，此時(shí)y最小由圖2可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，yPA+PEAB+PEABAB，解得：，即菱形的邊長為因?yàn)锽AC=120，AB=AC，所以，即，所以是等邊三角形因?yàn)辄c(diǎn)E是中點(diǎn)，所以菱形的高在中，即，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，根據(jù)軸對(duì)稱求線段和最小問題，等邊三角形的性質(zhì)和判定，特殊角三角函數(shù)，動(dòng)點(diǎn)問題的圖象等，根據(jù)圖象中關(guān)鍵點(diǎn)的含義求出菱形的邊長是解決問題的前提條件15在正

16、方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，作DFAE于點(diǎn)F、BGAE于點(diǎn)G連接BF，作GHBF交DF于點(diǎn)H，連接BH、AH，若AF=FG，則BAG=30；ABGDAF；BH=AD；SABH=（+1）SAFH在上述結(jié)論中，正確的有（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)正方形有性質(zhì)，利用AAS證ABG=DAF，判定正確；再利用全等三角形的性質(zhì)，證四邊形BGHF是平行四邊形，得OF=OG，OB=OH，F(xiàn)H=BG，設(shè)OF=x，則OF=OG=x，AF=FG=BG= FH =2x，AG=4x，在RtABG中，tanBAG= ，則BAG30，判定錯(cuò)誤；在RtOBG中，求得由勾股定理OB= x，從而得 BH= 2

17、x，在RtABG中，由勾股定理求得AB= = 2x，從而得到AB=BH，判定正確；SABH=SABO+SAHO= + =6x2，SAfH=2x2，得到SABH=3SAFH，判定錯(cuò)誤【詳解】解：連接AH，正方形ABCD中，AB=AD，AB/AD，BAG+FAD=BAD=90，DFAE、BGAE，AFD=BGA=90，ABG+BAG=90，ABG=DAF，ABGDAF（AAS），故正確；BG=AF，AF=FG，BG=AF=FG，DFAE、BGAE，F(xiàn)H/BG，BF/GH，四邊形BGHF是平行四邊形，OF=OG，OB=OH，F(xiàn)H=BG，設(shè)OF=x，則OF=OG=x，AF=FG=BG= FH =2x，

18、AG=4x，在RtABG中，AGB=90，tanBAG= ，BAG30，故錯(cuò)誤； 在RtOBG中，BGO=90，OB= x，BH= 2x，在RtABG中，AGB=90，AB= = 2x，AB=BH，BH=AD，故正確；SABH=SABO+SAHO= + = = ，SAFH=，SABH=3SAFH，故錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，涉及知識(shí)有：正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等.熟練掌握這些相關(guān)知識(shí)，并能靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.16將反比例函數(shù)y的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，得到如圖的新曲線A（3，3），B（，）的直線相交

19、于點(diǎn)C、D，則OCD的面積為（）A3B8C2D【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求出OA、OB的長，以及OA、OB與x軸的夾角，進(jìn)而可得到旋轉(zhuǎn)前各個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及原直線的關(guān)系式，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)前C、D的坐標(biāo)，畫出相應(yīng)圖形，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象，可求出面積【詳解】解：連接OA、OB，過點(diǎn)A、B，分別作AMx軸，BNx軸，垂足為M、N，點(diǎn)A（3，3），B（，），OM3，AM3，BN，ON，OA6，OB3，tanAOM，AOM60，同理，BON30，因此，旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B（3，0），設(shè)直線AB的關(guān)系式為ykxb，故有，解得，k2，b6，直線AB的關(guān)

20、系式為y2x6，由題意得，解得，因此，點(diǎn)C、D在旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C（1，4），D（2，2），如圖2所示，過點(diǎn)C、D，分別作CPx軸，DQx軸，垂足為P、Q，則，CP4，OP1，DQ2，OQ2，SCODSCODS梯形CPQD（24）（21）3，故選：A【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出直線AB在旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵17如圖，在矩形ABCD中，ABD=60，BC4，連接BD，將BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n（0n90），得到BCD，連接BB，CC，延長CC交BB于點(diǎn)N，連接AB，當(dāng)BAB=BNC時(shí)，則ABB的面積為（）A2-6BCD【答案】A【解析】【分

21、析】設(shè)BD與CN交點(diǎn)為M，AB與BD交點(diǎn)為O，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得DC=DC，DB=DB，CDC=BDB=n，證明ABOBDO，根據(jù)矩形性質(zhì)和ABD=60，AD=BC4，設(shè)AO=x，BO=y，則BO=4-x，DO=8-y，求得y=2x，然后利用勾股定理和含30度角的直角三角形即可解決問題【詳解】解：如圖，設(shè)BD與CN交點(diǎn)為M，AB與BD交點(diǎn)為O，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：DC=DC，DB=DB，CDC=BDB=n，DCC=DCC=（180-n）=90-，同理：DBB=DBB=90-，DCCDBB，NMB=CMD，MBN=MCD，BMNCMD，BNM=CDM，四邊形ABCD是矩形，ABCD，CDM=ABD=60，B

22、NM=BAB=60，AOB=BOD，BAO=DBO，ABOBDO，在矩形ABCD中，ABD=60，AD=BC4，AB=AD=4，BD=2AB=8，設(shè)AO=x，BO=y，則BO=4-x，DO=8-y，y=2x，在RtADO中，根據(jù)勾股定理，得AO2+AD2=OD2，x2+48=（8-2x）2，化簡得，3x2-32x+16=0，解得x=或x=（舍去），如圖，過點(diǎn)O作OHAB于點(diǎn)H，在RtHBO中，根據(jù)勾股定理，得OB2=BH2+OH2=（AB-AH）2+（AOsin60）2=AB2-2ABAH+AH2+AO2sin260=AB2-2ABAOcos60+AO2cos260+AO2sin260=AB2

23、+AO2-2ABAOcos60，解得AB=x=2-6，ABB的面積=ABABsin60=AB=2-6故選：A【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形，三角形面積，一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是得到ABOBDO二、填空題18如圖，在一筆直的海岸線l上有相距2km的A、B兩個(gè)觀測(cè)站，B站在A站的正東方向上，從A站測(cè)得船C在北偏東60的方向上，從B站測(cè)得船C在北偏東30的方向上，則船C到海岸線l的距離是_km【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可證得ABC為等腰三角形，即可求出BC的長，然后再解直角三角形CBD即可求

24、得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=60-30=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在RtCBD中，(km)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是證出ABC是等腰三角形19如圖，AB是半圓O的直徑，ACAD，OC2，CAB30，E為線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OE，則OE的最小值為_【答案】【解析】【分析】過O點(diǎn)作OFCD于F，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出ACD=ADC=75，再利用圓周角定理得到BOC=2A=60，則OCD=45，利

25、用等腰直角三角形的性質(zhì)得到OF，然后根據(jù)垂線段最短求解【詳解】解：過O點(diǎn)作OFCD于F，如圖，AC=AD，BOC=2A=60，OCD=180DOCODC=1806075=45，COF為等腰直角三角形，OE的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短，找到最短的點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵20如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC4，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)將OCE沿OE翻折得到O E，OC交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)在BC下方，連接B當(dāng)BEC是直角三角形時(shí)，BEC的周長為 _【答案】或【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)可得OBCOCB，再根據(jù)

26、翻折性質(zhì)得BCOBEO，然后分兩種情況：當(dāng)BE90時(shí)；當(dāng)B E90時(shí)，根據(jù)勾股定理可得答案【詳解】在矩形ABCD中，BDAC2OBOCOBCOCBOCE沒OE翻折得到OE，OCEOEOBC，COEOE，OOCOB，ECEOBOB，BE+EBC4BO+2OCE+2COE180，BO+2（OCE+COE）180，BO+2OB180，OBBOBEOBFOE，分再種情況：如圖1，當(dāng)BE90時(shí)，BO180（OBC+BE+BO）180（OE+BE+BO）180（BE+BE）90BBE的周長為B+BE+E+4如圖2，當(dāng)BE90時(shí)，BF+EF90BEO+OBC90，BOE90cosOBE，即，BE ，ECE4

27、，B2BE的周長為B+BE+E6綜上所述，BEC的周長為+4或6故答案為：+4或6【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，利用分類討論的思想進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵21足球射門時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門AB的張角越大，射門越好當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門點(diǎn)通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，一學(xué)生帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得CQA=ABQ（此時(shí)也有DQB=QAB）時(shí)，恰好能使球門AB的張角AQB達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門點(diǎn)如圖2所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門一部分，CDAB于點(diǎn)，AB=6米，BD=2米某球員沿CD向球

28、門AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)Q（1）tanAQB =_（2）已知對(duì)方守門員伸開雙臂后，成功防守的范圍為米，若此時(shí)守門員站在張角AQB內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進(jìn)行防守，為了確保防守成功，MN中點(diǎn)與AB的距離至少為_ 米【答案】 【解析】【分析】（1）證明BDQQDA，利用相似三角形的性質(zhì)求出QD，過點(diǎn)B作BHAQ于點(diǎn)H利用面積法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得結(jié)論；（2）如圖，設(shè)NM的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)N作NKAD于點(diǎn)K，根點(diǎn)O作OJNK于點(diǎn)J解直角三角形求出NJ，NK，可得結(jié)論【詳解】（1）由題意，BQD=QAD，BDQ=QDA，BDQQDA，QD2=DBDA，AB=6，BD=2，DA=8

29、，QD=4，如圖，過點(diǎn)B作BHAQ于點(diǎn)HCDAD，ADQ=90，AD=8DQ=4，AQ=，64=4BH，BH=，BQ=，HQ=，tanAQB=；故答案為：；（2）如圖，設(shè)NM的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)N作NKAD于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OJNK于點(diǎn)JMNBH，BN=，NK=BNsinQBD=，MNAQ，NKAD，AMN+AKN=180，QAD+MNK=180，MNK+ONJ=180，ONJ=QAD，cosONJ=cosQAD=，JN=ONcosONJ=，JK=NJ+NK=+=，MN中點(diǎn)與AB的距離至少為米時(shí)才能確保防守成功故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的

30、關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題三、解答題22如圖，在菱形ABCD中，AB8cm，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE、EF，且AEFABD，cosAEF(1)求證：ABEEDF；(2)如圖，若EFAB，求EF長【答案】(1)見解析(2)cm【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得，則，再由三角形的外角性質(zhì)證，然后由相似三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）過作于，過作于，先證，則，再由銳角三角函數(shù)定義得，則，然后證，得，即可得出答案(1)解：證明：四邊形是菱形，即，；(2)過作于，過作于，如圖所示：，在中，即長為【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角

31、形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵23如圖，小明在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為60，沿山坡向上走到D處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為30，已知山坡的坡比為1：3，BC45米(1)求該建筑物的高度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)求小明所在位置點(diǎn)D的鉛直高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)1.414，1.732）【答案】(1)米(2)19米【解析】【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義即可得出答案；（2）設(shè)米，則（米），米，由銳角三角函數(shù)定義得米，再由米，得出方程，解方程即可(1)解：在中，米，（米），答：建筑物的高度為米；(2)過點(diǎn)作于，于

32、，則四邊形是矩形，設(shè)米，在中，（米），（米），在中，（米），又（米），解得：，即（米），答：人所在的位置點(diǎn)的鉛直高度約為19米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵24如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)F在AB的延長線上，C，D是圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，CAD=BDF若BF=1，DF=2，求解下列問題：(1)求證：FBDFDA；(2)求AB的長度；(3)求tanCAD和弦AD的長度【答案】(1)見解析(2)3(3)，【解析】【分析】(1)由點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，可得CAD=BAD，即可證得BAD=BDF，據(jù)此即可證得結(jié)論；(2)由

33、FBDFDA，可得，據(jù)此即可求得；(3) 由FBDFDA，可得，再根據(jù)勾股定理即可求得(1)證明：點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，CAD=BAD，CAD=BDF，BAD=BDF，在FBD與FDA中，F(xiàn)BDFDA；(2)解：FBDFDA，得，AF=4，AB=AF-BF=4-1=3；(3)解：點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，CAD=BAD，F(xiàn)BDFDA，AB是圓O的直徑，在RtABD中，AD=2BD，在RtABD中，得，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的定義，勾股定理，證得FBDFDA是解決本題的關(guān)鍵25如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知OAOC，OBOD，過點(diǎn)O

34、作EFBD，分別交AB、DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，BF，AF(1)求證：四邊形DEBF是菱形；(2)設(shè)ADEF，AD+AB12，BD4，求AF的長【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）先根據(jù)對(duì)角線互相平分證得四邊形為平行四邊形，再證得，從而得到，得到四邊形為平行四邊形，最后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得證；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，在中，解直角三角形可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得(1)證明：，四邊形為平行四邊形，在和中，又，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形(2)解

35、：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，解得，在中，四邊形是菱形，則在中，【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵26小明與小華在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，想要測(cè)量他們家對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N，如圖所示，小明爬到居民樓窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角1的度數(shù)為60，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)于是，他倆又上了幾層樓來到窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角2的度數(shù)為30，已知A，B，C三點(diǎn)共線，CAAM，NMAM，AB18m，BC6m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N【答案】90m【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得四邊

36、形和四邊形均為矩形，再通過解直角三角形，即可求得【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形和四邊形均為矩形，在中，在中，由矩形性質(zhì)可知：， 答：商業(yè)大廈的高為【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵27閱讀理解：如圖1，RtABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，C90，其外接圓半徑為R根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：，可得，即：，（規(guī)定sin901）(1)探究活動(dòng)：如圖2，在銳角ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，其外接圓半徑為R，那么： （用、或連接）事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形(2)初步應(yīng)用：在ABC中，a，b，c分別是A

37、，B，C的對(duì)邊，A60，B45，a6，求b(3)綜合應(yīng)用：如圖3，在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小冰同學(xué)測(cè)量一古塔CD的高度，在A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂C的仰角為15，又沿古塔的方向前行了100m到達(dá)B處，此時(shí)A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，在B處測(cè)得塔頂C的仰角為45，求古塔CD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（，）【答案】(1)=；=；(2)；(3)古塔高度約為36.6m【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作直徑CD交O于點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)圓周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，從而得出答案；（2）根據(jù)，得出，即可得出b的值；（3）由題意得：D90，A15，DBC45，AB100，可知ACB30設(shè)古塔高DCx，則BC

38、，災(zāi)解直角三角形即可得出答案(1)解： ，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作直徑CD交O于點(diǎn)D，連接BD，CD是O的直徑， DBC90，AD，sinAsinD，sinD，同理可證：，；故答案為：，；(2)，A60，B45，a6，(3)由題意得：D90，A15，DBC45，AB100，ACB30設(shè)古塔高DCx，則BC，古塔高度約為36.6m【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵28等腰ABC中，BABC，過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，平面上有一點(diǎn)E，連接ED，EB，ED2EB，作BED的角平分線交BC于點(diǎn)F(1)如圖1，當(dāng)EBC90時(shí)，若BAD45，BE2，求線段DC的長；(

39、2)如圖2，當(dāng)EBC90時(shí)，過點(diǎn)F作FGAC，分別交AC，AD于點(diǎn)G，H，若AD2BF，P為EF中點(diǎn)，連接BP，求證：AB3BPDH；(3)如圖3，在（1）問的條件下，BE上取點(diǎn)O，BO，點(diǎn)M，N為線段BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），連接AN，將AND繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AND，若滿足ADAN于點(diǎn)P，連接OM，MP，當(dāng)OM+MP的值最小時(shí)，直接寫出OMP的面積【答案】(1)；(2)見解析；(3)【解析】【分析】（1）解RtBED，求出BD，解RtABD，求出AB，進(jìn)而求得CD；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得DF2BF，設(shè)BFa，表示出BD，AD，發(fā)現(xiàn)ADDF2a，進(jìn)而證明ADCFDH，從而

40、推出ABDH3a，從而需證明BPBF，通過證明BEPDEF，從而證得EBPEDF，進(jìn)而證得BPFBFP，進(jìn)一步命題得證；（3）由APD90得出點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上，作點(diǎn)O關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接圓心I與F的線段，交BD于M，交圓于P，根據(jù)MBFMDI，求得BM，作PHBD交BE于H，交AD于G，求出PG，從而求得PH，進(jìn)而求出POF和MOF的面積，從而求得OMP的面積(1)解：BE2，DE2BE，DE4，EBC90，BD6，ADB90，BAD45，AB6，BCAB6，DCBCBD66；(2)證明：設(shè)BFa，則AD2a，EF平分BED，DE2BE，DF2BF2a，BDBF+DF3a，ADB9

41、0，ABa，BCABa，CDBCBDa3a，HDFADC90，C+DAC90，F(xiàn)GC90，CFG+C90，DACCFH，ADDF2a，ADCFDH（ASA），DHCDa3a，ABDHa（a3a）3a，P是EF的中點(diǎn)，BEPDEF，EBPEFD，EBPEDF，BFPDEF+EDF，BPFBEP+EBP，BFPBPF，BPBFa，ABDH3BP，AB3BPDH；(3)如圖，BE2，OBBE，OB2，ADAN，APD90，點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上，圓心記作I，延長OB至F，使BFBO2，連接FI，交BD于M，交I于P，則OM+MP的值最小，作PHBE于H交AD于G，EBAD，PIGF，BD6，BM，

42、sinF，PGIPsinPIG3，PHGHPG6，SPOF（6）12，SMOF，SPOM（12）【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，確定圓的條件，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對(duì)定角”等模型29定義：兩個(gè)相似等腰三角形，如果它們的底角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，那么把這兩個(gè)三角形稱為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”如圖，在ABC與AED中，BABC，EAED，且ABCAED，所以稱ABC與AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，設(shè)它們的頂角為，連接EB，DC，則稱為“關(guān)聯(lián)比” 下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與之間的關(guān)系的思維過程，請(qǐng)閱讀后，解答下列問題：(1)當(dāng)ABC與AED為

43、“關(guān)聯(lián)等腰三角形“，且90時(shí)，在圖1中，若點(diǎn)E落在AB上，則“關(guān)聯(lián)比” ；在圖2中，探究ABE與ACD的關(guān)系，并求出“關(guān)聯(lián)比”的值(2)如圖3，當(dāng)ABC與AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且120時(shí)，“關(guān)聯(lián)比” ；猜想：當(dāng)ABC與AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且n時(shí)，“關(guān)聯(lián)比” （直接寫出結(jié)果，用含n的式子表示）遷移運(yùn)用(3)如圖4，ABC與AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”若ABCAED90，AC4，點(diǎn)P為AC邊上一點(diǎn)，且PA1，點(diǎn)E為PB上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑長【答案】(1)；，(2)；，(3)【解析】【分析】（1）由=90可得ABC與AED為等腰直角三角形，斜邊AC=AB，

44、AD=AE，而DC=AC-AD，EB=AB-AE，代入計(jì)算即求得=由ABC與AED為等腰直角三角形可得BAC=EAD=45，減去公共角CAE得CAD=BAE，再加上兩夾邊成比例，證得CADBAE，所以等于相似比（2）過點(diǎn)E作EFAD于點(diǎn)F，由=120可得EAD=30，所以得到RtAED的三邊比，則AE=2EF，AF=EF，進(jìn)而有AD=2AF=2EF，代入計(jì)算即求得=由=n可得EAD=90-，又因?yàn)閏osEAD=，所以得AF=AEcos（90-），AD=2AF=2AEcos（90-），根據(jù)的證明過程可得=2cos（90-）（3）過點(diǎn)B作BFAC于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的條件求得PB的長，即求得

45、點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)BE的長連接CD，由（1）的證明過程可知CADBAE，所以ACD=ABE為一個(gè)定角，即點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑是線段CD根據(jù)“關(guān)聯(lián)比”的值為，求得CD=EB=(1)解：當(dāng)=90時(shí)，ABC與AED為等腰直角三角形，AC=AB，AD=AE，CD=AC-AD=AB-AE，故答案為：；當(dāng)=90時(shí)，ABC與AED為等腰直角三角形，BAC=EAD=45，AC=AB，AD=AE，=，EAD-CAE=BAC-CAE，CAD=BAE，CADBAE，=，“關(guān)聯(lián)比”的值為(2)解：過點(diǎn)E作EFAD于點(diǎn)F，AFE=90，AE=DE，AED=120，EAD=EDA=30，AF=DF，AE=2EF，AF=E

46、F，AD=2AF=2EF，=，同理可證：BAC=30，=，EAD+CAE=BAC+CAE，即CAD=BAE，CADBAE，=，故答案為：過點(diǎn)E作EFAD于點(diǎn)F，AFE=90，a=n，EAD=EDA=90-，RtAEF中，cosEAD=，AF=AEcos（90-），AD=2AF=2AEcos（90-），=2cos（90-），由的證明過程可得=2cos（90-），故答案為：2cos（90-）(3)解：過點(diǎn)B作BFAC于點(diǎn)F，連接CD，ABC與AED為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，ABC=AED=90，AC=4，ABC與AED為等腰直角三角形，CF=FA=FB=AC=2，PA=1，PF=AF-PA=2-1=1，PB= ，由（1）的證明過程可知CADBAE，ACD=ABE為一個(gè)定角，點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑是線段CD，=90時(shí)，“關(guān)聯(lián)比”的值為，當(dāng)點(diǎn)E自點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過的路徑長為=【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解和應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用解題關(guān)鍵是理解新定義并把性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)用，利用轉(zhuǎn)化思想解決新問題30如圖1，一次函數(shù)yx4的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點(diǎn)，二次函數(shù)