高三數(shù)學(xué)課件：第七章 第八節(jié) 直線的方向向量、直線與平面的垂直關(guān)系、平面的法向量、共面與平行

1、第八節(jié) 直線的方向向量、直線與平面的垂直關(guān)系、平面的法向量、共面與平行1.1.直線的方向向量、直線與平面的垂直關(guān)系、平面的法向量直線的方向向量、直線與平面的垂直關(guān)系、平面的法向量(1)(1)直線的方向向量直線的方向向量在直線在直線l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)A A，B B，稱，稱_為直線為直線l的方的方向向量向向量. .一般地，如果向量一般地，如果向量_與直線與直線l_，就稱，就稱 為為l 的方向向量的方向向量. .AB(BA) 或平行平行0(2)(2)直線與平面的垂直關(guān)系直線與平面的垂直關(guān)系直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義如果一條直線如果一條直線l與一個(gè)平面與一個(gè)平面相交，

2、并且垂直于平面相交，并且垂直于平面內(nèi)內(nèi)_，就稱直線，就稱直線l與平面與平面垂直，記作垂直，記作l. .直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)_直線直線, ,那么這條直線那么這條直線就與這個(gè)平面垂直就與這個(gè)平面垂直. .所有所有的直線的直線兩條相交兩條相交射影射影()()過空間任意一點(diǎn)過空間任意一點(diǎn)P P作平面作平面的垂線與的垂線與相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P P0 0, ,則則P P0 0稱為稱為點(diǎn)點(diǎn)P P在平面在平面內(nèi)的射影內(nèi)的射影. .()()預(yù)先給定平面預(yù)先給定平面，空間任何一個(gè)圖形的每一個(gè)點(diǎn)，空間任何一個(gè)圖形的每一個(gè)點(diǎn)P P在平面

3、在平面上都有一個(gè)射影上都有一個(gè)射影P P0 0，所有這些，所有這些P P0 0在平面在平面上組成一個(gè)圖形，稱為上組成一個(gè)圖形，稱為這個(gè)空間圖形在平面這個(gè)空間圖形在平面上的射影上的射影. .三垂線定理三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和直，那么它也和_垂直垂直. .三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和么它也和_垂直垂直. .這條斜線這條斜線這條斜線在平面內(nèi)的射影這條斜線在平面內(nèi)的射影(3

4、)(3)平面的法向量平面的法向量向量與平面平行、垂直向量與平面平行、垂直如果有向線段如果有向線段ABAB所在的直線與平面所在的直線與平面_，或者，或者_(dá)上，就稱向量上，就稱向量 與平面與平面平行平行. .如果有向線段如果有向線段ABAB所在的直線與平面所在的直線與平面_，就稱向量，就稱向量 與平與平面面垂直垂直. .平面的法向量平面的法向量與平面與平面_的的_向量稱為向量稱為的法向量的法向量. .平行平行ABAB在平面在平面AB 垂直垂直AB 垂直垂直非零非零【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)思考：如何確定直線的方向向量？思考：如何確定直線的方向向量？在求平面的法向量時(shí)，所列的方程組中有三個(gè)變量

5、，但只有在求平面的法向量時(shí)，所列的方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何求法向量？?jī)蓚€(gè)方程，如何求法向量？直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎？直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎？提示提示: :在直線上任取兩點(diǎn)，由這兩點(diǎn)確定的向量即可作為直在直線上任取兩點(diǎn)，由這兩點(diǎn)確定的向量即可作為直線的方向向量線的方向向量. .給其中某一變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即給其中某一變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標(biāo)可作為法向量的坐標(biāo). .不唯一，凡是在直線不唯一，凡是在直線l上的非零向量或與上的非零向量或與l平行的非零向量都平行的非零向量都可以作為直線的方向向量，凡

6、是與平面垂直的非零向量都可以可以作為直線的方向向量，凡是與平面垂直的非零向量都可以作為平面的法向量作為平面的法向量. .(2)(2)若若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面是平面內(nèi)的三內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面點(diǎn)，設(shè)平面的法向量的法向量n=(=(x,y,zx,y,z) )，則，則xyzxyz=_.=_.【解析解析】由由 得得所以所以xyz= yy( y)=23(-4).xyz= yy( y)=23(-4).答案答案: :23(-4)23(-4)198585877AB(13) AC(21)44 ， ， ，7ABx3yz047

7、AC2xyz04 nn2xy3.4zy3 2343(3)(3)若平面若平面,的法向量分別為的法向量分別為a=(-1,2,4)=(-1,2,4)，b=(x,-1,-2),=(x,-1,-2),并且并且，則，則x x的值為的值為_._.【解析解析】由由得得ab=0=0，解得，解得x=-10.x=-10.答案答案: :-10-10( (4)4)若直線若直線l1 1, ,l2 2的方向向量分別為的方向向量分別為a=(2,4,-4),=(2,4,-4),b=(-6,9,6),=(-6,9,6),則則直線直線l1 1, ,l2 2的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.【解析解析】由由ab=2=2(-6)+4(-

8、6)+49+(-4)9+(-4)6=06=0得得ab，從而，從而l1 1l2 2. .答案答案: :l1 1l2 22.2.共面與平行共面與平行(1)(1)圖形共面圖形共面如果若干個(gè)圖形如果若干個(gè)圖形_，就稱這些圖形共面，就稱這些圖形共面. .(2)(2)設(shè)設(shè)n是平面是平面ABCABC的任意一個(gè)法向量，則的任意一個(gè)法向量，則A,B,C,DA,B,C,D共面共面直線直線ADAD在平面在平面ABCABC內(nèi)內(nèi)_._.在同一個(gè)平面內(nèi)在同一個(gè)平面內(nèi)AD n(3)(3)利用法向量判定共面與平行利用法向量判定共面與平行設(shè)設(shè)n是平面是平面的一個(gè)法向量，的一個(gè)法向量， 是直線是直線l的方向向量的方向向量, ,則

9、則 n_._.如果如果 且且l上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)AA, ,則則_；如果如果 且且l上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)A A ，則，則_._.l或或lllnn【即時(shí)應(yīng)用即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)若直線若直線a,ba,b的方向向量分別為的方向向量分別為a=(1,-1,2),=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),=(-2,2,-4),則則直線直線a a與與b b的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.(2)(2)設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為a，平面，平面的法向量為的法向量為b，若，若ab=0,=0,則直線則直線l與平面與平面的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.(3)(3)空間直角坐標(biāo)系中，空間直角坐標(biāo)系

10、中，A(1A(1，2 2，3)3)，B(-2B(-2，-1-1，6)6)，C(3C(3，2 2，1)1)，D(4D(4，3 3，0)0)，則直線，則直線ABAB與與CDCD的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.【解析解析】(1)(1)a=(1,-1,2),=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),=(-2,2,-4),b=-2=-2a, ,a與與b共線，即共線，即abab或或a a與與b b重合重合. .(2)(2)ab=0,=0,ab, ,l或或l. .(3) =(-3(3) =(-3，-3-3，3)3)， =(1=(1，1 1，-1)-1)， 與與 共線，又共線，又 與與 沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)

11、. .ABCD.ABCD.答案答案: :(1)ab(1)ab或或a a與與b b重合重合(2)(2)l或或l(3)ABCD(3)ABCD AB CD AB3CD ，AB CD AB CD 熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 1 1 利用空間向量證平行利用空間向量證平行【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】用向量證平行的方法用向量證平行的方法線線平行線線平行證明兩直線的方向向量共線證明兩直線的方向向量共線. .線面平行線面平行(1)(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；直；(2)(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行量平行.

12、.面面平行面面平行(1)(1)證明兩平面的法向量為共線向量；證明兩平面的法向量為共線向量；(2)(2)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題. .【提醒提醒】用向量證明平行問題時(shí)，要注意解題的規(guī)范性用向量證明平行問題時(shí)，要注意解題的規(guī)范性. .如證明如證明線面平行時(shí)，仍需要表明一條直線在平面內(nèi)、另一條直線在平線面平行時(shí)，仍需要表明一條直線在平面內(nèi)、另一條直線在平面外面外. . 【例例1 1】(1)(1)若直線若直線l的方向向量為的方向向量為a，平面，平面的法向量為的法向量為n，能使，能使l的是的是( )( )(A)(A)a=(1,0,0)=(1,0,0)，n=(-2,0,0)

13、=(-2,0,0)(B)(B)a=(1,3,5)=(1,3,5)，n=(1,0,1)=(1,0,1)(C)(C)a=(0,2,1)=(0,2,1)，n=(-1,0,-1)=(-1,0,-1)(D)(D)a=(1,-1,3)=(1,-1,3)，n=(0,3,1)=(0,3,1)(2)(2)如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分別是分別是C C1 1C C，B B1 1C C1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：MNMN平面平面A A1 1BD.BD.【解題指南解題指南】(1)(1)驗(yàn)證驗(yàn)證an=0=0是否成立即可

14、是否成立即可. .(2)(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由向量共線得線線平行，從而得出線建立空間直角坐標(biāo)系，由向量共線得線線平行，從而得出線面平行面平行. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.若若l，則，則an=0.=0.經(jīng)驗(yàn)證知，經(jīng)驗(yàn)證知，D D滿足條滿足條件件. .(2)(2)方法一：如圖所示，以方法一：如圖所示，以D D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，DADA，DCDC，DDDD1 1所在直線分別所在直線分別為為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸建立空間直角坐標(biāo)系，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 1，則則D(0,0,0)D(0,0,0)，A A1 1(1,0,1),(1,

15、0,1),M(0,1M(0,1， ) )，N( ,1,1)N( ,1,1)，于是于是DADA1 1MN.MN.而而MN MN 平面平面A A1 1BDBD，DADA1 1平面平面A A1 1BDBDMNMN平面平面A A1 1BD.BD.1212111MN(0) DA101 .22 ， ， ， ，11DA2MNDAMN ，方法二：建立如方法一中的坐標(biāo)系，則方法二：建立如方法一中的坐標(biāo)系，則D(0,0,0),M(0,1, ),N( ,1,1)D(0,0,0),M(0,1, ),N( ,1,1)，A A1 1(1,0,1),B(1,1,0).(1,0,1),B(1,1,0).設(shè)平面設(shè)平面A A1

16、1BDBD的法向量是的法向量是n=(x=(x，y y，z)z)，則則n =0 =0，且，且n =0 =0，得，得1212111DA101 DB110 MN(0)22 ， ， ， ， ， ，xz0.xy01DA DB 取取x=1x=1，得，得y=-1y=-1，z=-1z=-1，n=(1=(1，-1-1，-1).-1).又又 n. .又又MN MN 平面平面A A1 1BDBD，MNMN平面平面A A1 1BD.BD.11MN(0) 111022 ， ， ，nMN 【反思反思感悟感悟】1.1.利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的證利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的證明問題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空

17、間想象，為解決立體幾何問明問題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空間想象，為解決立體幾何問題帶來了簡(jiǎn)捷的方法題帶來了簡(jiǎn)捷的方法. .2.2.用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并準(zhǔn)確地確定點(diǎn)的坐標(biāo)，另外運(yùn)算錯(cuò)誤也是解題中常出現(xiàn)的問并準(zhǔn)確地確定點(diǎn)的坐標(biāo)，另外運(yùn)算錯(cuò)誤也是解題中常出現(xiàn)的問題題. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，DA=2DA=2，DC=3DC=3，DDDD1 1=4=4，M,N,E,FM,N,E,F分別是棱分別是棱A A1 1D D1 1,A,A1 1B

18、 B1 1,D,D1 1C C1 1,B,B1 1C C1 1的中點(diǎn)，求證：平面的中點(diǎn)，求證：平面AMNAMN平面平面EFBD.EFBD.【解析解析】方法一：建立如圖所示的空間方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取直角坐標(biāo)系，取MNMN、DBDB及及EFEF的中點(diǎn)的中點(diǎn)R R，T T，S S，則，則A(2A(2，0 0，0)0)，M(1M(1，0 0，4)4)，N(2N(2， ，4)4)，D(0D(0，0 0，0)0)，B(2B(2，3 3，0)0)，E(0E(0， 4)4)，F(xiàn)(1F(1，3 3，4)4)，R( 4)R( 4)，S( 4)S( 4)，T(1T(1， 0) 0)，32，3 3

19、2 4，1 92 4，32，33MN(10) EF(10)221 31 3AR(4) TS(4).2 42 4 ， 32 MNEFMNEF，ARTS.ARTS.MNMN平面平面EFBDEFBD，ARAR平面平面EFBD.EFBD.又又ARMN=R,AR,MN ARMN=R,AR,MN 平面平面AMN,AMN,平面平面AMNAMN平面平面EFBD.EFBD.MNEFARTS， 方法二方法二：由方法一可知，：由方法一可知，A(2A(2，0 0，0)0)，M(1M(1，0 0，4)4)，N(2N(2， 4) 4)，D(0D(0，0 0，0)0)，E(0E(0， 4) 4)，F(xiàn)(1F(1，3 3，4)

20、4)，則則 =(-1=(-1，0 0，4)4)， =(0=(0， 4) 4)， =(0=(0， 4) 4)， =(1 =(1，3 3，4).4).設(shè)平面設(shè)平面AMNAMN，平面，平面EFBDEFBD的法向量分別為的法向量分別為n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),則則32，32，AM AN32，DE 32，DF 111111x4z0,AM0,3y4z0,AN02， nn令令x x1 1=1,=1,得得又又令令y y2 2=-1=-1，得，得 得得n1 1n2 2.平面平面AMNAMN平面平面EFBD.EFBD

21、.1112z,y,43 22222223DE0,y4z0,2DF0,x3y4z0, nn2233z,x,82122 133(1, ),( , 1, ).3 428nn213,2nn熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 2 2 利用空間向量證明垂直利用空間向量證明垂直【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】用向量證明垂直的方法用向量證明垂直的方法線線垂直線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零的數(shù)量積為零. .線面垂直線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒆C明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示線面垂直的判定定理用向量表示. .面

22、面垂直面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐凶C明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎径ǘɡ碛孟蛄勘硎? . 【例例2 2】如圖所示如圖所示, ,在四棱錐在四棱錐P-ABCDP-ABCD中中, ,PCPC平面平面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, ,B=C=90B=C=90,AB=4,CD=1,AB=4,CD=1,點(diǎn)點(diǎn)M M在在PBPB上上, ,PB=4PM,PBPB=4PM,PB與平面與平面ABCDABCD的夾角為的夾角為3030. .(1)(1)求證求證:CM:CM平面平面PADPAD；(2)(2)求證求證: :平面平

23、面PABPAB平面平面PAD.PAD.【解題指南解題指南】建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系.(1).(1)可證明可證明 與平面與平面PADPAD的的法向量垂直；也可將法向量垂直；也可將 分解為平面分解為平面PADPAD內(nèi)的兩個(gè)向量的線性組內(nèi)的兩個(gè)向量的線性組合，利用共面向量定理證明合，利用共面向量定理證明.(2).(2)取取APAP中點(diǎn)中點(diǎn)E E，利用向量證明，利用向量證明BEBE平面平面PADPAD即可即可. .CMCM【規(guī)范解答規(guī)范解答】由題意可知：以由題意可知：以C C為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), , 所在直線為所在直線為x x軸軸, , 所在直線為所在直線為y y軸，軸， 所在直線為所在

24、直線為z z軸建立如圖所示的空間軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系. .PCPC平面平面ABCD,ABCD,PBCPBC為為PBPB與平面與平面ABCDABCD的夾角，的夾角，PBC=30PBC=30. .CB CD CP PC=2,BC= ,PB=4.PC=2,BC= ,PB=4.D(0,1,0),B( ,0,0),D(0,1,0),B( ,0,0),2 32 333A(2 3 4 0)P 0 0 2M(0)22DP01 2 DA(2 3 3 0)33CM(0)22 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，(1)(1)方法一方法一: :令令n=(x,y,z)=(x,y,z)為平面

25、為平面PADPAD的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量, ,則則即即令令y=2,y=2,得得n=( ,2,1).=( ,2,1).n , ,又又CM CM 平面平面PADPAD，CMCM平面平面PAD.PAD.DP0,DA0, nn1zy,y2z0,22 3x3y0,3xy,2 333CM32 0 1022 ，nCM方法二方法二: ,: ,假設(shè)假設(shè) 平面平面PADPAD，則存在則存在x,yx,y使使 則則 方程組的解為方程組的解為由共面向量定理知由共面向量定理知 與與 共面，故假設(shè)成立，共面，故假設(shè)成立，又又CM CM 平面平面PAD,PAD,CMCM平面平面PAD.PAD.PD0,1, 2 ,PA(2

26、3,4, 2) CMCMxPDyPA ，32 3y20 x4y32x2y2 ，x11y4 ，1CMPDPA.4 CMPD PA 、(2)(2)取取APAP的中點(diǎn)的中點(diǎn)E,E,連接連接BEBE，則，則E( ,2,1),E( ,2,1),又又 ，BEDABEDA，又，又PADA=A.PADA=A.BEBE平面平面PAD,PAD,又又BEBE平面平面PAB,PAB,平面平面PABPAB平面平面PAD.PAD.3BE3,2,1 .PBAB,BEPA. BE DA(3 21) 2 3 3 00 ， ， ，BEDA 【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】本例的條件不變，結(jié)論改為本例的條件不變，結(jié)論改為“求證：求證：ABCM

27、.”ABCM.”則則如何用向量法證明？如何用向量法證明？【證明證明】由本例的解題過程可知由本例的解題過程可知 =(0,-4,0),=(0,-4,0),即即ABCM.ABCM.AB 33CM(0)2233AB CM0400022ABCM ， ， .，【反思反思感悟感悟】方向向量與法向量的作用方向向量與法向量的作用利用直線的方向向量與平面的法向量證明線線、線面、面面的利用直線的方向向量與平面的法向量證明線線、線面、面面的平行和平行和垂直關(guān)系的關(guān)鍵就是把垂直與平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的垂垂直關(guān)系的關(guān)鍵就是把垂直與平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行關(guān)系，然后利用向量的數(shù)量積解決直與平行關(guān)系，然后利用向量的數(shù)量積

28、解決. .當(dāng)然垂直與平行關(guān)當(dāng)然垂直與平行關(guān)系的判斷與證明也可以不利用向量方法，而利用定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化系的判斷與證明也可以不利用向量方法，而利用定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明證明. .兩種方法都要熟練掌握兩種方法都要熟練掌握. . 【變式備選變式備選】如圖如圖, ,已知直三棱柱已知直三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,ABCABC為等腰直角三角形為等腰直角三角形, ,BAC=90BAC=90, ,且且AB=AAAB=AA1 1,D,D、E E、F F分別分別為為B B1 1A A、C C1 1C C、BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證求證: :(1)DE(1)DE平面平面ABCABC；

29、(2)B(2)B1 1FF平面平面AEF.AEF.【證明證明】如圖以如圖以A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)， 的方向分別為的方向分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸的正方軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系向建立空間直角坐標(biāo)系. .令令A(yù)B=AAAB=AA1 1=4,=4,則則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),BB(4,0,0),B1 1(4,0,4).(4,0,4).1AB AC AA 、 、(1)(1)取取ABAB中點(diǎn)為中點(diǎn)為N,N,連接連接CN,CN,則則N(2,0,0),C(0,4,0),N(2,0,0),C

30、(0,4,0),D(2,0,2),D(2,0,2), =(-2,4,0), =(-2,4,0), =(-2,4,0), =(-2,4,0), .DENC, .DENC,又又NCNC在平面在平面ABCABC內(nèi)內(nèi),DE,DE不在平面不在平面ABCABC內(nèi)，故內(nèi)，故DEDE平面平面ABC.ABC.DE NC DENC (2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2),(2) =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0), =(2,2,0), =(-2) =(-2)2+22+2(-2)+(-4)(-2)+(-4)(-2)=0(-2)=0，則則 ，B B1 1FEFFEF， =(

31、-2)=(-2)2+22+22+(-4)2+(-4)0=0,0=0, , ,即即B B1 1FAF,FAF,又又AFFE=F,BAFFE=F,B1 1FF平面平面AEF.AEF.1B FEFAF 1B F EF 1B FEF1B F AF 1B FAF 熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 3 3 三垂線定理的應(yīng)用三垂線定理的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】三垂線定理主要用于以下方面三垂線定理主要用于以下方面(1)(1)證明問題，如線線垂直、線面垂直、面面垂直證明問題，如線線垂直、線面垂直、面面垂直. .(2)(2)計(jì)算問題，如求空間一點(diǎn)到平面內(nèi)某一直線的距離，求兩平計(jì)算問題，如求空間一點(diǎn)到平面內(nèi)某一直線的距離，求兩平行

32、直線間的距離，求兩條異面直線所成的角等行直線間的距離，求兩條異面直線所成的角等. .(3)(3)二面角問題，主要是構(gòu)造二面角的平面角二面角問題，主要是構(gòu)造二面角的平面角. . 【例例3 3】如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分別是棱分別是棱BBBB1 1、DDDD1 1上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn). .(1)(1)求證：求證：EFACEFAC；(2)(2)當(dāng)當(dāng)E E恰為棱恰為棱BBBB1 1的中點(diǎn)時(shí)，能否在棱的中點(diǎn)時(shí)，能否在棱DDDD1 1上確定點(diǎn)上確定點(diǎn)F F的位置，使的位置，使平面平面ACEACE與平面與平面ACFACF

33、垂直，請(qǐng)說明理由垂直，請(qǐng)說明理由. .【解題指南解題指南】(1)(1)利用線面垂直證利用線面垂直證EFAC.EFAC.(2)(2)通過三垂線定理證二面角的平面角為通過三垂線定理證二面角的平面角為9090, ,證面面垂直證面面垂直. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)在正方體中，在正方體中，DDDD1 1底面底面ABCDABCD，ACAC底面底面ABCDABCD，DDDD1 1AC.AC.連接連接BDBD，B B1 1D D1 1, ,則則ACBDACBD，又又DDDD1 1BD=D,BD=D,于是知于是知ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D.D.又又E E、F F分別是棱分別是棱BBB

34、B1 1、DDDD1 1上的動(dòng)點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)，所以所以EFEF平面平面BBBB1 1D D1 1D D，故，故EFAC.EFAC.(2)DF(2)DF底面底面ABCDABCD，設(shè)，設(shè)ACBD=OACBD=O，ACBD,ACBD,由三垂線定理知由三垂線定理知FOAC.FOAC.同理同理EOACEOAC，故，故EOFEOF是二面角是二面角E-AC-FE-AC-F的平面角的平面角. .設(shè)正方體棱長(zhǎng)為設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1 1，F(xiàn)D=t,FD=t,在在RtRtFDOFDO中，中，E E為棱為棱BBBB1 1的中點(diǎn)，在的中點(diǎn)，在RtRtEBOEBO中，中，2221FOFDDOt.222113EOEBBO.422

35、在平面在平面BBBB1 1D D1 1D D內(nèi)，過點(diǎn)內(nèi)，過點(diǎn)E E作作EGDDEGDD1 1于于G G，則則FG=|t- |FG=|t- |，要使平面要使平面ACEACE與平面與平面ACFACF垂直，即垂直，即EOF=90EOF=90. .則則EOEO2 2+FO+FO2 2=EF=EF2 2，即，即解得解得t=1.t=1.故當(dāng)點(diǎn)故當(dāng)點(diǎn)F F運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)D D1 1時(shí)，平面時(shí)，平面ACEACE與平面與平面ACFACF垂直垂直. .122221EFEGFG2(t) .222311t(t)2,422【反思反思感悟感悟】解答本題容易出現(xiàn)找不出正確的二面角的平面解答本題容易出現(xiàn)找不出正確的二面

36、角的平面角而得出錯(cuò)誤答案的情況角而得出錯(cuò)誤答案的情況. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】如圖如圖, ,ABCABC所在平面所在平面外一點(diǎn)外一點(diǎn)P,P,已知已知PABC,PBAC,PABC,PBAC,(1)(1)求證：求證：P P在平面在平面內(nèi)的投影內(nèi)的投影是是ABCABC的垂心；的垂心；(2)(2)求證：求證：PCAB.PCAB.【證明證明】(1)(1)作作POPO平面平面于于O O點(diǎn)點(diǎn), ,連接連接AOAO并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交BCBC于于D.D.連接連接BOBO并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交ACAC于于E.E.PABC,BCAD.PABC,BCAD.同理同理,ACBE,ACBE,OO為為ABCABC的垂心的垂心. .(

37、2)(2)連接連接OCOC并延長(zhǎng)交并延長(zhǎng)交ABAB于于F F，O O為為ABCABC的垂心的垂心,ABCF.,ABCF.又又POPO平面平面,ABPC,ABPC. . 1.(20131.(2013寧德模擬寧德模擬) )已知已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三點(diǎn)，三點(diǎn)，n=(1,1,1)=(1,1,1)，則以，則以n為方向向量的直線為方向向量的直線l與平面與平面ABCABC的關(guān)系是的關(guān)系是( )( )(A)(A)垂直垂直 (B)(B)不垂直不垂直(C)(C)平行平行 (D)(D)以上都有可能以上都有可能【解析解析】選選A.A.由題意知，由題意知， =(-1=(-1，1 1，0)0)， =(0=(0，-1-1，1)1)，以以n為方向向量的直線為方向向量的直線l與平面與平面ABCABC垂直垂直. .AB BC AB0,BC0, nn2.(20132.(2013廈門模擬廈門模擬) )在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，若中，若E E為為A A1 1C C1 1的