概率論與統(tǒng)計(jì)課件：概率論與統(tǒng)計(jì)課件：第四節(jié)（第二章）

1、 2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X，其函數(shù)，其函數(shù)Y = g(X) 也是一個(gè)隨機(jī)變量，在實(shí)也是一個(gè)隨機(jī)變量，在實(shí)際中我們常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣際中我們常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣 如我們要知道一批鋼球的體積，往往是通過(guò)測(cè)量鋼球的直徑如我們要知道一批鋼球的體積，往往是通過(guò)測(cè)量鋼球的直徑X來(lái)實(shí)現(xiàn)的。直徑測(cè)量值來(lái)實(shí)現(xiàn)的。直徑測(cè)量值X 是一隨機(jī)變量，而我們關(guān)心的是體積是一隨機(jī)變量，而我們關(guān)心的是體積是直徑的函數(shù)，即隨機(jī)變量的函數(shù)。是直徑的函數(shù)，即隨機(jī)變量的函數(shù)。 下面將討論怎樣由隨機(jī)變量下面將討論怎樣由隨機(jī)變量X 的分布去求其函數(shù)的分布去求其函數(shù)Y 的分布

2、的分布 一般地，設(shè)一般地，設(shè) f (x) 是一個(gè)函數(shù)，所謂隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù)，所謂隨機(jī)變量X 的函數(shù)的函數(shù)Y= f (X)是指隨機(jī)變量是指隨機(jī)變量Y，當(dāng)，當(dāng)X 取值為取值為x 時(shí)，時(shí)，Y 取值取值y = f (x) 下面分兩種情況討論由隨機(jī)變量下面分兩種情況討論由隨機(jī)變量X 的分布求的分布求Y= f (X) 的分的分布布 1X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量 當(dāng)當(dāng)X 為離散型隨機(jī)變量時(shí)，一般為離散型隨機(jī)變量時(shí)，一般Y= f(X)也是離散型隨機(jī)變也是離散型隨機(jī)變量若量若X 的分布律已知，則不難求出的分布律已知，則不難求出Y 的分布律的分布律 例例1 設(shè)設(shè)X 的分布律為的分布律為X=xi 1 0

3、 1 2pi 0.2 0.3 0.1 0.4求求Y = 2X1和和Y = (X1)2 的分布律的分布律 解解X=xi 1 0 1 2pi 0.2 0.3 0.1 0.4Y= yi = 2xi+1 1 1 3 5Y= yi = (xi 1)2 4 1 0 1 Y = 2X1的分布律為的分布律為Y= yi 1 1 3 5pi 0.2 0.3 0.1 0.4 Y = (X1)2 的分布律為的分布律為Y= yi 0 1 4pi 0.1 0.7 0.21 . 010 XPYP)2()0(1 XXPYP4 . 03 . 020 XPXP2 . 014 XPYP 一般地，若一般地，若X 的分布律為的分布律為

4、PX = xk = pk (k = 1,2,)則則Y= f (X) 的全部可能取值為的全部可能取值為yk = f (xk ) (k = 1,2,)，由于其中，由于其中可以有重復(fù)的，所以在求可以有重復(fù)的，所以在求Y 的分布律即計(jì)算的分布律即計(jì)算PY = yk 時(shí)應(yīng)將時(shí)應(yīng)將使使yk = f (xk ) 的所有的所有xk 所對(duì)應(yīng)的概率所對(duì)應(yīng)的概率PX = xk 累加起來(lái)，即有累加起來(lái)，即有 kiyxfikxXPyYP)( 2X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量 例例2 設(shè)設(shè)X N（0，1）,求求Y = eX 的分布的分布 解由題設(shè)知，解由題設(shè)知，X 的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，故的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，故Y

5、= eX 的全的全 部可能取值在（部可能取值在（0,）內(nèi)于是當(dāng)）內(nèi)于是當(dāng)y 0 時(shí)顯然有時(shí)顯然有 FY(y) =PYy = 0又由于生成又由于生成Y 的函數(shù)的函數(shù) g(x)= ex 為為R上的嚴(yán)上的嚴(yán) 格單增函數(shù)，所以當(dāng)格單增函數(shù)，所以當(dāng) y0 時(shí)時(shí) FY(y) = PYy = PeX y = PX lny = FX(lny)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得兩邊對(duì)求導(dǎo)，得2221)(xXexf 而而2ln221)(yYeyyf )(ln1)(yfyyfXY 于是，于是，Y 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 02100)(2ln2yeyyyfyY 此時(shí)隨機(jī)變量此時(shí)隨機(jī)變量Y 服從以（服從以（0，1）為參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布）

6、為參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布 例例3 若若XN（0，1），求），求Y=X 2 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) 解解 令令Y 的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y) 和和FY(y) Y=X 20， 當(dāng)當(dāng)y 0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)Y(y) = PY y = 0， 0)()( yFyfYY當(dāng)當(dāng)y0 時(shí)，時(shí)，F(xiàn)Y(y) = PY y = PX 2y|yXP dtedteyyytt 0222221221 )(212)()(2)(2 yeyFyfyYY 22121yey Y 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) 02100)(221yeyyyfyY 此時(shí)稱此時(shí)稱Y 服從自由度為服從自由度為1 的的2

7、分布，記為分布，記為Y 2 (1) 此分布在第六章將詳細(xì)介紹此分布在第六章將詳細(xì)介紹 上述兩例子解法的關(guān)鍵一步是上述兩例子解法的關(guān)鍵一步是從從“Y y ” ，即，即 “g(X)y ” 中解出中解出X ，得到一個(gè)與，得到一個(gè)與“g(X) y ”等價(jià)的關(guān)于等價(jià)的關(guān)于X 的不等式，并的不等式，并以后者代替以后者代替g(X)y 以上做法具有普遍性一般來(lái)說(shuō)，都可以上做法具有普遍性一般來(lái)說(shuō)，都可以用此方法求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度以用此方法求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)或概率密度 定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度 fX(x) (- x 0 (或恒有或恒有g(shù)(x)

8、0 )，則，則 Y =g(X) 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量, 其概率密度為其概率密度為 yyyyhyhfyfXY,0| )(|)()(),(),(min gg 其中其中),(),(max gg 的反函數(shù)。的反函數(shù)。是是)()(xgyh證明見(jiàn)教材證明見(jiàn)教材50面。面。例例4：XbaXYN ),(2 ),(22 abaN abyyhxbaxxgy )()(法一：用定理。法一：用定理。ayh1)( )(),(mingg )(),(maxgg 其它其它0| )(|)()( yyhyhfyfXY22)|(|2)()|(|21)( abayYeayf baXY ),(22 abaN 表示表示用用定義將定義將法二：先用分布函數(shù)的法二：先用分布函數(shù)的)()(xFyFXY正負(fù)的討論。正負(fù)的討論。注意對(duì)注意對(duì)再求導(dǎo)得再求導(dǎo)得ayfY).(),(lg52 NXY ：例例求求X 的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。Y：X10 法一法一yygx10