高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理本章整合優(yōu)質(zhì)課件 北師大版選修2-3

1、1本章整合23專題1專題2專題3專題一利用兩個(gè)原理解排列組合問題的常用方法“兩個(gè)原理”是兩種重要的計(jì)數(shù)方法,它是列式計(jì)數(shù)時(shí)選擇加法或者乘法的理論根據(jù),在排列、組合應(yīng)用題中,正確地使用加法和乘法原理是解決排列、組合應(yīng)用題的基礎(chǔ).4專題1專題2專題31.樹形圖法應(yīng)用1將A,B,C,D四名同學(xué)按一定順序排成一行,要求自左向右,A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四,試寫出他們四個(gè)人所有不同的排法.5專題1專題2專題3由此可寫出所有的排法為BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.所以他們四個(gè)人共有9種不同的排法.6專題1專題2專題3應(yīng)用

2、2三個(gè)人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過5次傳遞后,毽子又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有()A.6種 B.8種C.10種D.16種提示:充分利用樹形圖來解決問題.解析:如圖,若甲先傳給乙,則共有5種方式;同理,甲先傳給丙也有5種方式.綜上有10種傳法.答案:C7專題1專題2專題32.依次排序法利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解與排列順序有關(guān)的問題時(shí),可以用依次排序法.依次排序法就是把數(shù)字或字母分為前后,首先排前面的數(shù)字或字母,再依次排后面的數(shù)字或字母,將最后的數(shù)字或字母排完,則排列結(jié)束,這種方法多用于數(shù)字問題.8專題1專題2專題3應(yīng)用3用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字可重復(fù)地任意排成三位

3、數(shù),并把這些數(shù)由小到大排成一個(gè)數(shù)列an.(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前11項(xiàng);(2)求這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng);(3)若an=341,求n.解:(1)這個(gè)數(shù)列的前11項(xiàng)為111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)就是用1,2,3,4排成的三位數(shù)的個(gè)數(shù),每一個(gè)位置都有4種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有444=64項(xiàng).(3)比an=341小的數(shù)有兩類,分別是:9專題1專題2專題3根據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,得數(shù)列an中比341小的項(xiàng)有N=244+34=44項(xiàng),所以n=44+1=45.10專題1專題2專題33.轉(zhuǎn)化法一般情況下研究的排列問題是不重復(fù)的排列問題

4、,但是在實(shí)際生活中常會(huì)遇到這樣的問題:車輛牌照的號(hào)碼、電話號(hào)碼、電報(bào)號(hào)碼等,都是一些重復(fù)排列.事實(shí)上,解決這些問題借助于“兩個(gè)原理”非常容易辦到.11專題1專題2專題3應(yīng)用4設(shè)集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=a1,a2,a3是S的子集,且a1,a2,a3滿足a1a26包含的情況較少,只有a3=9時(shí),a2只能取2,a1只能取1一種情況,應(yīng)用正難則反思想進(jìn)行解決.答案:C12專題1專題2專題3應(yīng)用5用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)如果組成的四位數(shù)必須是偶數(shù),那么這樣的四位數(shù)有多少個(gè)?(2)如果組成的四位數(shù)必須大于6 500,那么這樣的四位數(shù)

5、有多少個(gè)?提示:本題的限制條件是:(1)個(gè)位數(shù)字必須是偶數(shù).(2)千、百這兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)受限制,因此,可以采用分步排位來求解.13專題1專題2專題314專題1專題2專題34.窮舉法窮舉法主要是適用于用排列組合解決時(shí)需分類較多的情況,或用排列組合無從下手解決,或選擇支中數(shù)目較小,或計(jì)數(shù)方法有規(guī)律可遵循的題目.針對(duì)上述題目,與其花大量時(shí)間去思考怎么用排列組合知識(shí)進(jìn)行解決,不如用“最笨”的方法一一列舉法進(jìn)行解決.此法看似笨拙,有時(shí)則省時(shí)、省力.15專題1專題2專題3應(yīng)用6如圖所示,將16這六個(gè)數(shù)字分別填到圖中字母的位置,使三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和相等,則共有()種填寫方法.A.24 B.21 C.

6、18D.12解析:由題意可得位置A,B,C,D,E,F上的數(shù)字滿足A+B+D=A+C+F=D+E+F,由題意得(A+B+D)+(A+C+F)+(D+E+F)=A+B+C+D+E+F+(A+D+F)一定能被3整除,而A+B+C+D+E+F的值為1+2+3+4+5+6=21,能被3整除,故A+D+F也一定能被3整除.由此可得A,D,F的值可能分別為1,2,3,或1,2,6,或1,3,5,或1,5,6,或2,3,4,或2,4,6,或3,4,5,或4,5,6.16專題1專題2專題317專題1專題2專題3專題二排列組合的解題方法1.直接法(元素、位置優(yōu)先考慮法)(1)特殊元素分析法:即以元素為主考慮,先

7、滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.(2)特殊位置分析法:即以位置為主考慮,先安排有特殊要求的位置,再考慮其他位置.應(yīng)用150件產(chǎn)品中有3件是次品,從中任意取4件.(1)至少有1件次品的抽法有多少種?(2)至多有兩件次品的抽法有多少種?18專題1專題2專題319專題1專題2專題32.插空法不相鄰問題常用插空法:我們可以根據(jù)題目的具體特點(diǎn),先排某些元素,再將余下的元素進(jìn)行插空,這樣處理有關(guān)的排列組合問題,往往能收到良好的解題效果.應(yīng)用2馬路上有9盞路燈,為了節(jié)約用電,可以關(guān)掉其中的三盞路燈,要求關(guān)掉的路燈不能相鄰,且不在馬路的兩頭,那么不同的關(guān)燈方案共有多少種?解:本題可以看成被關(guān)掉的路燈夾在6

8、盞亮著的燈的空當(dāng)里.6盞亮著的燈排在一起,中間有5個(gè)空當(dāng),從5個(gè)空當(dāng)中選出某3個(gè),插進(jìn)去三盞關(guān)掉的路燈,因此,不同的關(guān)燈方案20專題1專題2專題33.捆綁法對(duì)于幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題,可先將相鄰的元素“捆綁”起來,看作一個(gè)元素,與其他元素排列,然后再考慮它們“內(nèi)部”的排列,這種解決排列問題的方法稱為“捆綁法”.應(yīng)用3用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中恰有一個(gè)奇數(shù)夾在兩個(gè)偶數(shù)之間的五位數(shù)有多少個(gè)?提示:本題中一個(gè)奇數(shù)夾在兩個(gè)偶數(shù)之間可以捆綁在一起看作一個(gè)元素,體現(xiàn)了捆綁法的應(yīng)用.21專題1專題2專題322專題1專題2專題34.間接法間接法是求解排列組合問題的常用方法

9、.帶有限制條件的排列組合問題,常用“元素分析法”和“位置分析法”,當(dāng)直接考慮對(duì)象較為復(fù)雜時(shí),可用逆向思維,使用間接法(排除法),即先不考慮約束條件,求出所有排列、組合總數(shù),然后減去不符合條件的排列、組合種數(shù).應(yīng)用4從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng),按下列要求,有多少種不同選法?(1)A,B,C三人至少一人入選;(2)A,B,C三人至多二人入選.提示:解決排列組合題目時(shí),從正面入手,情況較復(fù)雜,不易解決時(shí),可以從問題的反面入手,往往能收到意想不到的效果.23專題1專題2專題324專題1專題2專題325專題1專題2專題35.隔板法這類問題的特征是:(1)被分的元素沒有區(qū)別;(2)被分的元素的個(gè)數(shù)不

10、少于分得的組數(shù);(3)每個(gè)小組至少分得一個(gè)元素.具備這些條26專題1專題2專題3應(yīng)用5某地區(qū)有9所學(xué)校,現(xiàn)有先進(jìn)教師名額11個(gè),要求每所學(xué)校至少有一個(gè)名額,共有多少種不同的分配方法?提示:本題符合隔板法的特點(diǎn).解:因?yàn)槊~沒有區(qū)別,因此,可以在11個(gè)名額所產(chǎn)生的10個(gè)空隙27專題1專題2專題328專題1專題2專題329專題1專題2專題32.賦值法應(yīng)用2已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a11x11,則a1+a2+a11=.提示:求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和的一個(gè)有效辦法就是賦值法.賦予變量的值往往是0,1,-1等.解析:欲求a1+a2+a11,需先求a0,再求a0+a1+a11,應(yīng)用賦值法求解.令x=0,得a0=(1+0)6(1-0)5=1,再令x=1,得a0+a1+a11=(1+1)6(1-2)5=-26,所以a1+a2+a11=-26-1=-65.答案:-6530專題1專題2專題3311234567891(2016全國甲高考)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12 D.9解析：由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18,故選B.答案：B32123