數(shù)學(xué)和中國文學(xué)的比較

1、數(shù)學(xué)和中國文學(xué)的比較數(shù)學(xué)和中國文學(xué)的比較 很多人會覺得我今日的講題有些奇怪，中很多人會覺得我今日的講題有些奇怪，中國文學(xué)與數(shù)學(xué)好像是風(fēng)馬牛不相及，但我卻討國文學(xué)與數(shù)學(xué)好像是風(fēng)馬牛不相及，但我卻討論它。其實(shí)這關(guān)乎個人的感受和愛好，不見得論它。其實(shí)這關(guān)乎個人的感受和愛好，不見得其他數(shù)學(xué)家有同樣的感覺，如人飲水，冷暖其他數(shù)學(xué)家有同樣的感覺，如人飲水，冷暖自知。每個人的成長和風(fēng)格跟他的文化背自知。每個人的成長和風(fēng)格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關(guān)系。景、家庭教育有莫大的關(guān)系。 我幼受庭訓(xùn)，影響我至深的是中國文學(xué)，我幼受庭訓(xùn)，影響我至深的是中國文學(xué)，而我最大的興趣是數(shù)學(xué)，所以將他們做一個比而我最大的興

2、趣是數(shù)學(xué)，所以將他們做一個比較，對我來說是相當(dāng)有意義的事。較，對我來說是相當(dāng)有意義的事。一、數(shù)學(xué)之基本意義一、數(shù)學(xué)之基本意義 數(shù)學(xué)之為學(xué)，有其獨(dú)特之處，它本身數(shù)學(xué)之為學(xué)，有其獨(dú)特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學(xué)，但數(shù)學(xué)家是尋求自然界真相的一門科學(xué)，但數(shù)學(xué)家也如文學(xué)家般天馬行空，憑愛好而創(chuàng)作也如文學(xué)家般天馬行空，憑愛好而創(chuàng)作，故此數(shù)學(xué)可說是人文科學(xué)和自然科學(xué)的橋故此數(shù)學(xué)可說是人文科學(xué)和自然科學(xué)的橋梁。梁。 數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)尋找它們共同的規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)出來。出來。這里所說的大自然比一般人所了解這里

3、所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛，我們認(rèn)為數(shù)字、幾何圖形和的來得廣泛，我們認(rèn)為數(shù)字、幾何圖形和各種有意義的規(guī)律都是自然界的一部份，各種有意義的規(guī)律都是自然界的一部份，我們希望用簡潔的數(shù)學(xué)語言將這些自然現(xiàn)我們希望用簡潔的數(shù)學(xué)語言將這些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來。象的本質(zhì)表現(xiàn)出來。 大部份數(shù)學(xué)著作枯燥乏味，而有些卻大部份數(shù)學(xué)著作枯燥乏味，而有些卻令人嘆為觀止，其中的分別在那里？令人嘆為觀止，其中的分別在那里？ 大略言之，數(shù)學(xué)家以其對大自然感受的深刻大略言之，數(shù)學(xué)家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于

4、個人的氣質(zhì)，性，也有其主觀性，后者則取決于個人的氣質(zhì)，氣質(zhì)與文化修養(yǎng)有關(guān)，無論是選擇懸而未決的難氣質(zhì)與文化修養(yǎng)有關(guān)，無論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性的作用。人文知識致力于描述心靈對大自然的感的作用。人文知識致力于描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫史記除了受，所以司馬遷寫史記除了通古今之變通古今之變外，外，也要也要究天人之際究天人之際。 劉勰在文心雕龍?jiān)榔f文章之道在于：劉勰在文心雕龍?jiān)榔f文章之道在于：寫天地之輝光，曉生民之耳目。寫天地之輝光，曉生民之耳目。 劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。劉勰以為文章之可

5、貴，在尚自然，在貴文采。歷代的大數(shù)學(xué)家如阿基米德歷代的大數(shù)學(xué)家如阿基米德、如牛頓莫不以自然為宗，見物象而如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數(shù)學(xué)之所出，即有微積分的創(chuàng)作。思數(shù)學(xué)之所出，即有微積分的創(chuàng)作。費(fèi)爾瑪和尤拉對變分法的開創(chuàng)性發(fā)費(fèi)爾瑪和尤拉對變分法的開創(chuàng)性發(fā)明也是由于探索自然界的現(xiàn)象而引明也是由于探索自然界的現(xiàn)象而引起的。起的。 近代幾何學(xué)的創(chuàng)始人高斯近代幾何學(xué)的創(chuàng)始人高斯則則認(rèn)為認(rèn)為幾何和物理不可分幾何和物理不可分。費(fèi)爾瑪費(fèi)爾瑪(公元公元1601)高斯高斯( (公元公元1777)1777)阿基米德阿基米德(公元前公元前287)二十世紀(jì)幾何學(xué)的發(fā)展，則因二十世紀(jì)幾何學(xué)的發(fā)展，則因物理學(xué)上重要的

6、突破而屢次改變其物理學(xué)上重要的突破而屢次改變其航道。當(dāng)?shù)依税血M義相對論用到航道。當(dāng)?shù)依税血M義相對論用到量子化的電子運(yùn)動理論時，發(fā)現(xiàn)了量子化的電子運(yùn)動理論時，發(fā)現(xiàn)了狄拉克方程，以后的發(fā)展連狄拉克狄拉克方程，以后的發(fā)展連狄拉克本人也嘆為觀止，認(rèn)為他的方程比本人也嘆為觀止，認(rèn)為他的方程比他的想象來得美妙，這個方程在近他的想象來得美妙，這個方程在近代幾何的發(fā)展起著關(guān)鍵性的貢獻(xiàn)，代幾何的發(fā)展起著關(guān)鍵性的貢獻(xiàn)，我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它出于自然，自然界賦予感覺，但它出于自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至。幾何的威力可說是無微不至。狄拉克狄拉克（公元（公

7、元1902）廣義相對論提出了場方程，它的廣義相對論提出了場方程，它的幾何結(jié)構(gòu)成為幾何學(xué)家夢寐以求的對幾何結(jié)構(gòu)成為幾何學(xué)家夢寐以求的對象，因?yàn)樗苜x予空間一個調(diào)和而完象，因?yàn)樗苜x予空間一個調(diào)和而完美的結(jié)構(gòu)。我研究這種幾何結(jié)構(gòu)垂三美的結(jié)構(gòu)。我研究這種幾何結(jié)構(gòu)垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同詩經(jīng)、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明詩經(jīng)、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。 捕捉大自然的真和美，實(shí)遠(yuǎn)勝于捕捉大自然的真和美，實(shí)遠(yuǎn)勝于一切人為的造作，正如文心雕龍說的：一切人為的造作，正如文心雕龍說的：云霞雕色，有踰畫工

8、之妙。草木菁云霞雕色，有踰畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳。然耳。陶淵明陶淵明（公元（公元404） 在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結(jié)在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結(jié)構(gòu)是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成構(gòu)是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學(xué)家都不相信幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學(xué)家都不相信它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：就如屈原所說：亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔。亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔。 我花了五年工夫，終于找到了

9、具有超對稱的我花了五年工夫，終于找到了具有超對稱的引力場結(jié)構(gòu)，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)上的重要工具。引力場結(jié)構(gòu)，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)上的重要工具。當(dāng)時的心境，可以用以下兩句來描述：當(dāng)時的心境，可以用以下兩句來描述：落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛。落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛。 以后大批的弦理論學(xué)家以后大批的弦理論學(xué)家參與研究這個結(jié)構(gòu)，得出很參與研究這個結(jié)構(gòu)，得出很多深入的結(jié)果。剛開始時，多深入的結(jié)果。剛開始時，我的朋友們都對這類問題敬我的朋友們都對這類問題敬而遠(yuǎn)之，不愿意與物理學(xué)家而遠(yuǎn)之，不愿意與物理學(xué)家打交道。但我深信造化不致打交道。但我深信造化不致弄人，回顧十多年來在這方弄人，回顧十多年來在這方面的研究尚算滿意，現(xiàn)

10、在卡面的研究尚算滿意，現(xiàn)在卡拉拉比比丘丘空間的理論已經(jīng)成空間的理論已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的一支主流。為數(shù)學(xué)的一支主流。卡拉比卡拉比丘空間丘空間丘成桐教授（右一）和丘成桐教授（右一）和卡拉比教授（右二）卡拉比教授（右二） 數(shù)學(xué)的文采，表現(xiàn)于簡潔，寥寥數(shù)學(xué)的文采，表現(xiàn)于簡潔，寥寥數(shù)語，便能道出不同現(xiàn)象的法則，甚數(shù)語，便能道出不同現(xiàn)象的法則，甚至在自然界中發(fā)揮作用，這是數(shù)學(xué)優(yōu)至在自然界中發(fā)揮作用，這是數(shù)學(xué)優(yōu)雅美麗的地方。我的老師陳省身先生雅美麗的地方。我的老師陳省身先生創(chuàng)作的陳氏類，就文采斐然，令人贊創(chuàng)作的陳氏類，就文采斐然，令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現(xiàn)象界

11、中成為物理學(xué)界求量變量，在現(xiàn)象界中成為物理學(xué)界求量子化的主要工具，可說是描述大自然子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明美麗的詩篇，直如陶淵明采菊東蘺采菊東蘺下，悠然望南山下，悠然望南山的意境。的意境。陳省身陳省身（公元（公元1911） 從歐氏幾何的公理化、到從歐氏幾何的公理化、到笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，到牛笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，到牛頓、來布尼茲的微積分，到高頓、來布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)幾何，一斯、黎曼創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)幾何，一直到與物理學(xué)水乳相融的近代直到與物理學(xué)水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富于變化為幾何，都以簡潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色與任何一宗，其文采絕不遜

12、色與任何一件文學(xué)創(chuàng)作，它們軔生的時代件文學(xué)創(chuàng)作，它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。不是巧合。 數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)想法數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)想法的時候，可以看到高雅的文采和的時候，可以看到高雅的文采和嶄新的風(fēng)格，例如歐幾里得證明嶄新的風(fēng)格，例如歐幾里得證明存在無窮多個素數(shù)，開創(chuàng)反證法存在無窮多個素數(shù)，開創(chuàng)反證法的先河。高斯研究十七邊形的對的先河。高斯研究十七邊形的對稱群，使伽羅華群成為數(shù)論的骨稱群，使伽羅華群成為數(shù)論的骨干。這些研究異軍突起，論斷華干。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩的始祖蘇茂，使人想起五言詩的始祖蘇武武和和李李陵的陵的唱和詩和

13、詞的始祖李太唱和詩和詞的始祖李太白的憶秦娥。白的憶秦娥。歐幾里得歐幾里得（公元前（公元前330）伽羅華伽羅華（公元（公元1811） 中國詩詞都講究比興，鍾爃在詩品中說：中國詩詞都講究比興，鍾爃在詩品中說： 文已盡而意有余，興也。因物喻志，比也文已盡而意有余，興也。因物喻志，比也。 白居易批評謝朓詩白居易批評謝朓詩余霞散成綺，澄江凈余霞散成綺，澄江凈如練。麗則麗矣，吾不知其所諷焉，故仆所謂如練。麗則麗矣，吾不知其所諷焉，故仆所謂嘲風(fēng)雪，弄花草而已，文意盡去矣。嘲風(fēng)雪，弄花草而已，文意盡去矣。 有深度的文學(xué)作品必需要有義、有有深度的文學(xué)作品必需要有義、有諷、有比興。數(shù)學(xué)亦如是。我們在尋求諷、有比興

14、。數(shù)學(xué)亦如是。我們在尋求真知時，往往只能憑已有的經(jīng)驗(yàn)，因循研究的大真知時，往往只能憑已有的經(jīng)驗(yàn)，因循研究的大方向，憑我們對大自然的感覺而向前邁進(jìn)，這種方向，憑我們對大自然的感覺而向前邁進(jìn)，這種感覺是相當(dāng)主觀的，因個人的文化修養(yǎng)而定。感覺是相當(dāng)主觀的，因個人的文化修養(yǎng)而定。 白居易白居易（公元（公元772） 舉例而言，三十年前我提出一個猜測，舉例而言，三十年前我提出一個猜測，斷言三維球面里的光滑極小曲面，其第一斷言三維球面里的光滑極小曲面，其第一特征值等于二。當(dāng)時這些曲面例子不多，特征值等于二。當(dāng)時這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關(guān)情況類比而得出的只是憑直覺，利用相關(guān)情況類比而得出的猜測，最

15、近有數(shù)學(xué)家寫了一篇文章證明這猜測，最近有數(shù)學(xué)家寫了一篇文章證明這個猜想。其實(shí)我的看法與文學(xué)上的比興很個猜想。其實(shí)我的看法與文學(xué)上的比興很相似。相似。 我一方面想象三維球的極小子曲面應(yīng)當(dāng)我一方面想象三維球的極小子曲面應(yīng)當(dāng)是如何的勻稱，一方面想象第一譜函數(shù)能夠是如何的勻稱，一方面想象第一譜函數(shù)能夠同空間的線性函數(shù)比較該有多妙，通過原點(diǎn)同空間的線性函數(shù)比較該有多妙，通過原點(diǎn)的平面將曲面最多切成兩塊，于是猜想這兩的平面將曲面最多切成兩塊，于是猜想這兩個函數(shù)應(yīng)當(dāng)相等，同時第一特征值等于二。個函數(shù)應(yīng)當(dāng)相等，同時第一特征值等于二。 當(dāng)時我與卡拉比教授討論這個問題，他當(dāng)時我與卡拉比教授討論這個問題，他也相信這

16、個猜測是對的。旁邊我的一位研究也相信這個猜測是對的。旁邊我的一位研究生問為甚么會做這樣的猜測，不待我回答，生問為甚么會做這樣的猜測，不待我回答，卡教授便微笑說這就是洞察力了?？ń淌诒阄⑿φf這就是洞察力了。 數(shù)學(xué)上常見的對比方法乃是低維空間和數(shù)學(xué)上常見的對比方法乃是低維空間和高維空間現(xiàn)象的對比。我們雖然看不到高維高維空間現(xiàn)象的對比。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現(xiàn)象，空間的事物，但可以看到一維或二維的現(xiàn)象，并由此來推測高維的變化。我在做研究生時并由此來推測高維的變化。我在做研究生時企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的

17、猜測，我認(rèn)為曲率的正間，得到一些漂亮的猜測，我認(rèn)為曲率的正或負(fù)可以作為復(fù)結(jié)構(gòu)的指向，這個看法影響或負(fù)可以作為復(fù)結(jié)構(gòu)的指向，這個看法影響至今，可以溯源到十九世紀(jì)和二十世紀(jì)初期至今，可以溯源到十九世紀(jì)和二十世紀(jì)初期曲率和保角映射關(guān)系的研究。曲率和保角映射關(guān)系的研究。 事實(shí)上，愛因斯坦的廣義事實(shí)上，愛因斯坦的廣義相對論也是對比各種不同的學(xué)相對論也是對比各種不同的學(xué)問而創(chuàng)造成功的，它是科學(xué)史問而創(chuàng)造成功的，它是科學(xué)史上最偉大的構(gòu)思，可以說是驚上最偉大的構(gòu)思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統(tǒng)一天地而泣鬼神的工作。它統(tǒng)一了古典的引力理論和狹義相對了古典的引力理論和狹義相對論。愛氏花了十年功夫，基于論。愛

18、氏花了十年功夫，基于等價原理，比較了各種描述引等價原理，比較了各種描述引力場的方法，巧妙地用幾何張力場的方法，巧妙地用幾何張量來表達(dá)了引力場，將時空觀量來表達(dá)了引力場，將時空觀念全盤翻新。念全盤翻新。 愛因斯坦愛因斯坦（公元（公元1879） 愛氏所用的工具是愛氏所用的工具是黎曼幾何，乃是黎曼比黎曼幾何，乃是黎曼比他早五十年前發(fā)展出來他早五十年前發(fā)展出來的，當(dāng)時的幾何學(xué)家唯的，當(dāng)時的幾何學(xué)家唯一的工具是對比，在古一的工具是對比，在古典微積分、雙曲幾何和典微積分、雙曲幾何和流形理論的類比后得出流形理論的類比后得出來的漂亮理論。反過來來的漂亮理論。反過來說，廣義相對論給黎曼說，廣義相對論給黎曼幾何注

19、入了新的生命。幾何注入了新的生命。相對論相對論黎曼黎曼（公元（公元1826） 二十世紀(jì)數(shù)論的一個大突破乃是算術(shù)幾二十世紀(jì)數(shù)論的一個大突破乃是算術(shù)幾何的產(chǎn)生，利用群表示理論為橋梁，將古典何的產(chǎn)生，利用群表示理論為橋梁，將古典的代數(shù)幾何、拓樸學(xué)和代數(shù)數(shù)論比較，有如的代數(shù)幾何、拓樸學(xué)和代數(shù)數(shù)論比較，有如瑰麗的歌曲，它的發(fā)展，勢不可擋，氣勢如瑰麗的歌曲，它的發(fā)展，勢不可擋，氣勢如虹，虹，天之所開，不可當(dāng)也天之所開，不可當(dāng)也。 Weil研究代數(shù)曲線在有限域研究代數(shù)曲線在有限域上解的問題后，得出高維代數(shù)流上解的問題后，得出高維代數(shù)流形有限域解的猜測，推廣了代數(shù)形有限域解的猜測，推廣了代數(shù)流形的基本意義，直

20、接影響了近流形的基本意義，直接影響了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。籌學(xué)所問，無過代數(shù)學(xué)的發(fā)展?；I學(xué)所問，無過于此矣。于此矣。Weil（公元（公元1906） 西廂記和牡丹亭的每一段寫作西廂記和牡丹亭的每一段寫作和描述男女主角的手法都極為上乘，和描述男女主角的手法都極為上乘，但是全書的結(jié)構(gòu)則是一般的佳人才但是全書的結(jié)構(gòu)則是一般的佳人才子寫法，由金瓶梅進(jìn)步到紅樓夢則子寫法，由金瓶梅進(jìn)步到紅樓夢則小處和大局俱佳。小處和大局俱佳。 這點(diǎn)與數(shù)學(xué)的發(fā)展極為相似，這點(diǎn)與數(shù)學(xué)的發(fā)展極為相似，從局部的結(jié)構(gòu)發(fā)展到大范圍的結(jié)構(gòu)從局部的結(jié)構(gòu)發(fā)展到大范圍的結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個過程。往往是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個過程。往往通過比興的手法來

21、處理。幾何學(xué)和通過比興的手法來處理。幾何學(xué)和數(shù)論都有這一段歷史數(shù)論都有這一段歷史。 曹雪芹曹雪芹（公元（公元1724）西廂記西廂記好的作品需要賦比興并用。好的作品需要賦比興并用。 鍾爃詩品：鍾爃詩品： 直書其事，寓言寫物，賦也。宏斯直書其事，寓言寫物，賦也。宏斯三義，酌而用之，干之以風(fēng)力，潤之以丹三義，酌而用之，干之以風(fēng)力，潤之以丹采，使味之者無極，聞之者動心，是詩之采，使味之者無極，聞之者動心，是詩之至也。若專用比興，則患在意深，意深則至也。若專用比興，則患在意深，意深則詞躓。若但用賦體，則患在意浮，意浮則詞躓。若但用賦體，則患在意浮，意浮則文散。文散。橢橢圓圓曲曲線線Birch 有些有些數(shù)

22、學(xué)數(shù)學(xué)工作包含賦比興工作包含賦比興三種不同的精義。近五十年三種不同的精義。近五十年來數(shù)論上一個偉大的突破是來數(shù)論上一個偉大的突破是由英國人由英國人Birch和和Swinnerton-Dyer提出的一個猜測，開始提出的一個猜測，開始時用計算機(jī)大量計算，找出時用計算機(jī)大量計算，找出L函數(shù)和橢圓曲線的整數(shù)解函數(shù)和橢圓曲線的整數(shù)解的連系，與數(shù)論上各個不同的連系，與數(shù)論上各個不同的分枝比較接合，妙不可言，的分枝比較接合，妙不可言，這是賦比興都有的傳世之作。這是賦比興都有的傳世之作。Swinnerton-Dyer 由于文學(xué)家對事物有不同的感由于文學(xué)家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產(chǎn)生不同的受，同一

23、事或同一物可以產(chǎn)生不同的吟詠。對事物有不同的感受后，往往吟詠。對事物有不同的感受后，往往通過比興的方法另有所指，例如美通過比興的方法另有所指，例如美人有多重意思，除了指美麗的女子人有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原九章結(jié)微外，也可以指君主：屈原九章結(jié)微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。也可情以陳詞兮，矯以遺夫美人。也可以指品德美好的人：詩經(jīng)邶風(fēng)：云以指品德美好的人：詩經(jīng)邶風(fēng)：云誰之思，西方美人。蘇軾赤壁賦誰之思，西方美人。蘇軾赤壁賦望美人兮天一方。望美人兮天一方。蘇軾蘇軾（公元（公元1036） 數(shù)學(xué)家對某些重要的定理，也會提數(shù)學(xué)家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如勾股定理的

24、不出很多不同的證明。例如勾股定理的不同證明有十個以上，等周不等式亦有五、同證明有十個以上，等周不等式亦有五、六個證明，高斯則給出數(shù)論對偶定律六六個證明，高斯則給出數(shù)論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們以不個不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個事實(shí)，往往引導(dǎo)同的角度去理解同一個事實(shí)，往往引導(dǎo)出數(shù)學(xué)上不同的發(fā)展。出數(shù)學(xué)上不同的發(fā)展。 記得三十年前我利用分析的方法來記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積后，幾何學(xué)家大體積后，幾何學(xué)家GromovGromov開始時不相開始時不相信這個證明，以后他找出我證明方法的信這

25、個證明，以后他找出我證明方法的幾何直觀意義后，發(fā)展出他的幾何理論，幾何直觀意義后，發(fā)展出他的幾何理論，這兩個不同觀念都有它們的重要性。這兩個不同觀念都有它們的重要性。 對空間中的曲面，微分幾何學(xué)家會對空間中的曲面，微分幾何學(xué)家會問它的曲率如何，有些分析學(xué)家希望沿問它的曲率如何，有些分析學(xué)家希望沿著曲率方向來推動它一下看看有甚么變著曲率方向來推動它一下看看有甚么變化，代數(shù)幾何學(xué)家可以考慮它可否用多化，代數(shù)幾何學(xué)家可以考慮它可否用多項(xiàng)式來表示，數(shù)論學(xué)家會問上面有沒有項(xiàng)式來表示，數(shù)論學(xué)家會問上面有沒有整數(shù)格點(diǎn)。這種種主觀的感受由我們的整數(shù)格點(diǎn)。這種種主觀的感受由我們的修養(yǎng)來主導(dǎo)。修養(yǎng)來主導(dǎo)。 王國維

26、在人間詞話說：王國維在人間詞話說：詞以境界為最上。有境界則自詞以境界為最上。有境界則自成高格成高格有造境，有寫境，此理有造境，有寫境，此理想與寫實(shí)二派之所由分。然二者頗想與寫實(shí)二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必鄰于理想故也。自然，所寫之境亦必鄰于理想故也。有有我之境，有無我之境。有有我之境，有無我之境。 數(shù)學(xué)研究當(dāng)然也有境界的概念，數(shù)學(xué)研究當(dāng)然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無在某種程度上也可談有我之境、無我之境，當(dāng)年尤拉開創(chuàng)變分法和推我之境，當(dāng)年尤拉開創(chuàng)變分法和推導(dǎo)流體方程，由自然現(xiàn)象引導(dǎo)，可導(dǎo)流體方程，由自然現(xiàn)象

27、引導(dǎo)，可謂無我之境，他又憑自己的想象力謂無我之境，他又憑自己的想象力研究發(fā)散級數(shù)，而得到研究發(fā)散級數(shù)，而得到Zeta函數(shù)的函數(shù)的種種重要結(jié)果，開三百年數(shù)論之先種種重要結(jié)果，開三百年數(shù)論之先河，可謂有我之境矣。另外一個例河，可謂有我之境矣。另外一個例子是法國數(shù)學(xué)家子是法國數(shù)學(xué)家Grothendick，他著他著述極豐，以個人的哲學(xué)觀點(diǎn)和美感述極豐，以個人的哲學(xué)觀點(diǎn)和美感出發(fā)，竟然不用實(shí)例，建立了近代出發(fā)，竟然不用實(shí)例，建立了近代代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，真可謂有我之境代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，真可謂有我之境矣。矣。Grothendick（公元（公元1928） 在幾何的研究中，我們發(fā)現(xiàn)狄拉克在幾何的研究中，我們發(fā)現(xiàn)狄拉

28、克在物理上發(fā)現(xiàn)的旋子在幾何結(jié)構(gòu)中有魔在物理上發(fā)現(xiàn)的旋子在幾何結(jié)構(gòu)中有魔術(shù)性的能力，我們不知道它的內(nèi)在的幾術(shù)性的能力，我們不知道它的內(nèi)在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結(jié)構(gòu)中的何意義，它卻替我們找到幾何結(jié)構(gòu)中的精髓，在應(yīng)用旋子理論時，我們常用的精髓，在應(yīng)用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情，我們制造了曲率是一個很微妙的事情，我們制造了曲率而讓曲率自動發(fā)酵去證明一些幾何量的而讓曲率自動發(fā)酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用用Einstein結(jié)構(gòu)來證明代數(shù)幾何的問題結(jié)構(gòu)來證明

29、代數(shù)幾何的問題和用調(diào)和映射來看研究幾何結(jié)構(gòu)的剛性和用調(diào)和映射來看研究幾何結(jié)構(gòu)的剛性問題也可作如是觀。問題也可作如是觀?？ɡ瓤ɡ? -丘成桐丘成桐空間空間 好的工作應(yīng)當(dāng)是文已盡而意有余，大部份好的工作應(yīng)當(dāng)是文已盡而意有余，大部份數(shù)學(xué)文章質(zhì)木無文，流俗所好，不過兩三年耳。數(shù)學(xué)文章質(zhì)木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時所好，往往十?dāng)?shù)年但是有創(chuàng)意的文章，未必為時所好，往往十?dāng)?shù)年后始見其功。后始見其功。 我曾經(jīng)用一個嶄新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，我曾經(jīng)用一個嶄新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，以后和幾個朋友一同改進(jìn)了這個方法，成為熱方以后和幾個朋友一同改進(jìn)了這個方法，成為熱方程的一個重要工具

30、。開始時沒有得到別人的贊賞，程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領(lǐng)會到它的潛力。然而我們直到最近五年大家才領(lǐng)會到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。 白居易說謝朓的詩麗而白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實(shí)建安以后，綺麗無諷。其實(shí)建安以后，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鍾爃評謝朓詩為佳處，畢竟鍾爃評謝朓詩為中品，以后六朝駢文、五代中品，以后六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。乘，卻有賞心悅目之句

31、。白居易白居易（公元（公元772）數(shù)學(xué)華麗的作品可從泛函分析數(shù)學(xué)華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學(xué)問中找到，雖然這種比較廣泛的學(xué)問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數(shù)總是隔了一層。舉例來說，從函數(shù)空間抽象出來的一個重要概念叫做空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學(xué)有很重巴拿赫空間，在微分方程學(xué)有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學(xué)家為要的功用，但是以后很多數(shù)學(xué)家為了研究這種空間而不斷的推廣，例了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數(shù)學(xué)大流上卻題，

32、確是漂亮，但在數(shù)學(xué)大流上卻未有激起任何波瀾。未有激起任何波瀾。 巴拿赫巴拿赫（公元（公元1892） 在七十年代，高維拓樸的在七十年代，高維拓樸的研究已成強(qiáng)弩之末，作品雖然研究已成強(qiáng)弩之末，作品雖然不少，但真正有價值的不多，不少，但真正有價值的不多，有如野云孤飛，去留無跡。有如野云孤飛，去留無跡。文氣已盡，再無新的比興了。文氣已盡，再無新的比興了。當(dāng)時有拓樸學(xué)者做群作用于流當(dāng)時有拓樸學(xué)者做群作用于流形的研究，確也得到某些人的形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了八零年代，值重視。但是到了八零年代，值得懷念的工作只有得懷念的工作只有Bott的局部的局部化定理。化定理。Bott（公元（公元1923

33、） 能經(jīng)得起時間考驗(yàn)的工作寥寥無能經(jīng)得起時間考驗(yàn)的工作寥寥無幾，政府評審人材應(yīng)當(dāng)以此為首選。幾，政府評審人材應(yīng)當(dāng)以此為首選。歷年來以文章篇數(shù)和被引用多寡來做歷年來以文章篇數(shù)和被引用多寡來做指針，使得國內(nèi)的數(shù)學(xué)工作者水平大指針，使得國內(nèi)的數(shù)學(xué)工作者水平大不如人，不單與自然隔絕，連華麗的不如人，不單與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。文章都難以看到。 王國維說：王國維說： 四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，律絕敝五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習(xí)套。豪杰之

34、士亦難于其中自出新意，故遁習(xí)套。豪杰之士亦難于其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛中衰而作他體以自解脫。一切文體所以始盛中衰者，皆由于此，故謂文體后不如前，余未敢者，皆由于此，故謂文體后不如前，余未敢言。但就一體論，則此說固無以易也。言。但就一體論，則此說固無以易也。 數(shù)學(xué)的演化和文學(xué)有極為類似的變遷。數(shù)學(xué)的演化和文學(xué)有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進(jìn)，另一方面是對自一方面是工具得到改進(jìn)，另一方面是對自然界有進(jìn)一步的了解，將原來所認(rèn)識的數(shù)然界有進(jìn)一步的了解，將原來所認(rèn)識的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的美發(fā)揮盡至后，需要

35、進(jìn)入新的境學(xué)結(jié)構(gòu)的美發(fā)揮盡至后，需要進(jìn)入新的境界。江山代有人才，能夠帶領(lǐng)我們進(jìn)入新界。江山代有人才，能夠帶領(lǐng)我們進(jìn)入新的境界的都是好的數(shù)學(xué)。上面談到的高維的境界的都是好的數(shù)學(xué)。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數(shù)拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數(shù)學(xué)物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高學(xué)物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高翔。翔。 我我為了深入了解流形的幾何性質(zhì)，為了深入了解流形的幾何性質(zhì)，考慮考慮由幾何引出的微分方程?？墒且挥蓭缀我龅奈⒎址匠??？墒且话銕缀螌W(xué)家厭惡微分方程，我對它卻般幾何學(xué)家厭惡微分方程，我對它卻情有獨(dú)鐘，與幾個朋友合作將非線性情有獨(dú)鐘，與幾個朋友合作將非線性方程

36、帶入幾何學(xué)，開創(chuàng)了幾何分析這方程帶入幾何學(xué)，開創(chuàng)了幾何分析這門學(xué)問，解決了拓樸學(xué)和廣義相對論門學(xué)問，解決了拓樸學(xué)和廣義相對論一些重要問題。一些重要問題。 在一九八一年時我建議我的在一九八一年時我建議我的朋友朋友Hamilton用他創(chuàng)造的方程去用他創(chuàng)造的方程去解決三維拓樸的基本結(jié)構(gòu)問題，解決三維拓樸的基本結(jié)構(gòu)問題，二十多年來他引進(jìn)了不少重要的二十多年來他引進(jìn)了不少重要的工具，運(yùn)用上述我和李偉光在熱工具，運(yùn)用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地了解奇異點(diǎn)方程的工作，深入地了解奇異點(diǎn)的 產(chǎn) 生 。 兩 年 前 俄 國 數(shù) 學(xué) 家的 產(chǎn) 生 。 兩 年 前 俄 國 數(shù) 學(xué) 家Perelman更進(jìn)一步地

37、推廣了這個更進(jìn)一步地推廣了這個理論，很可能完成了我的愿望，理論，很可能完成了我的愿望，將幾何和三維拓樸帶進(jìn)了新紀(jì)元。將幾何和三維拓樸帶進(jìn)了新紀(jì)元。Hamilton 八年前我訪問北京，提出全國向八年前我訪問北京，提出全國向Hamilton先生學(xué)習(xí)的口號，本來討論班先生學(xué)習(xí)的口號，本來討論班已經(jīng)進(jìn)行，卻給一些急功近利的北京學(xué)已經(jīng)進(jìn)行，卻給一些急功近利的北京學(xué)者阻止，在國外也遇到同樣的阻力，中者阻止，在國外也遇到同樣的阻力，中國幾何分析不能進(jìn)步都是由于年青學(xué)者國幾何分析不能進(jìn)步都是由于年青學(xué)者不能夠自由發(fā)展思想的緣故。廣州的朱不能夠自由發(fā)展思想的緣故。廣州的朱熹平卻鍥而不舍，他的工作已經(jīng)遠(yuǎn)超國熹平卻

38、鍥而不舍，他的工作已經(jīng)遠(yuǎn)超國內(nèi)外成名的中國學(xué)者。內(nèi)外成名的中國學(xué)者。 科學(xué)家對自然界的了解，都是科學(xué)家對自然界的了解，都是循序漸進(jìn)，在不同的時空自然會有循序漸進(jìn)，在不同的時空自然會有不同的感受。有學(xué)生略識之無后，不同的感受。有學(xué)生略識之無后，不知創(chuàng)作之難，就連陳省身先生的不知創(chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識更為大作都看不上眼，自以為見識更為豐富，不自見之患也。人貴自知，豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進(jìn)步。始能進(jìn)步。 莊子：莊子：今爾出于崖涘，觀于今爾出于崖涘，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語大理大海，乃知爾丑，爾將可與語大理矣。矣。莊子莊子（公元前（公元前369） 為了達(dá)

39、到深遠(yuǎn)的效果，數(shù)學(xué)家需要為了達(dá)到深遠(yuǎn)的效果，數(shù)學(xué)家需要找尋問題的精華所在，需要不斷的培養(yǎng)找尋問題的精華所在，需要不斷的培養(yǎng)我們對問題的感情和技巧，這一點(diǎn)與孟我們對問題的感情和技巧，這一點(diǎn)與孟子所說的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋子所說的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數(shù)學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。找數(shù)學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。白居易說：白居易說： 圣人感人心而天下和平，感人圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義莫深乎義未有聲入而不應(yīng)，情交而未有聲入而不應(yīng)，情交而不感者。不感者。 孟子孟子（公元前（公元前380） 我的朋友我的朋友

40、Hamilton先生，他一見到問題可以先生，他一見到問題可以用曲率來推動，他就眉飛色舞。另外一個澳洲來用曲率來推動，他就眉飛色舞。另外一個澳洲來的學(xué)生，見到與愛因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就的學(xué)生，見到與愛因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學(xué)者，文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學(xué)者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然界、對數(shù)學(xué)問題沒有感情的現(xiàn)象，反而對名位權(quán)界、對數(shù)學(xué)問題沒有感情的現(xiàn)象，反而對名位權(quán)利特別重視。爲(wèi)了院士或政協(xié)委員的

41、名銜而甘愿利特別重視。爲(wèi)了院士或政協(xié)委員的名銜而甘愿千里仆仆風(fēng)塵地奔波，在這種情形下，難以想象千里仆仆風(fēng)塵地奔波，在這種情形下，難以想象他們對數(shù)學(xué)、對自然界有深厚的感情。他們對數(shù)學(xué)、對自然界有深厚的感情。 數(shù)學(xué)的感情是需要培養(yǎng)的，慎數(shù)學(xué)的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學(xué)多聞，于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學(xué)多聞，感慨始深，堂廡始大。感慨始深，堂廡始大。 歐陽永叔：歐陽永叔： 人間自是有情癡，此恨不關(guān)風(fēng)人間自是有情癡，此恨不關(guān)風(fēng)與月。與月。 直須看盡洛城花，始與東風(fēng)容直須看盡洛城花，始與東風(fēng)容易別。易別。 能夠有這樣的感情，才能夠逹能夠有這樣的感情，才能夠逹到晏殊所說：到晏殊所說： 昨夜

42、西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。望盡天涯路。歐陽永叔歐陽永叔（公元（公元1007） 濃厚的感情使我們對研究的對象產(chǎn)生直覺，濃厚的感情使我們對研究的對象產(chǎn)生直覺，這種直覺看對象而定，例如在幾何上叫做幾何這種直覺看對象而定，例如在幾何上叫做幾何直覺。好的數(shù)學(xué)家會將這種直覺寫出來，有時直覺。好的數(shù)學(xué)家會將這種直覺寫出來，有時可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命題或提出新的學(xué)說。題或提出新的學(xué)說。 但數(shù)學(xué)畢竟是說理的學(xué)問，不可能極度主但數(shù)學(xué)畢竟是說理的學(xué)問，不可能極度主觀。詩經(jīng)蓼莪、黍離，屈原離騷、九江。漢都觀。詩經(jīng)蓼莪、黍離，屈

43、原離騷、九江。漢都尉尉( (李陵李陵) )河梁送別，陳思王河梁送別，陳思王( (曹植曹植) )歸藩傷逝。歸藩傷逝。李后主李后主( (李煜李煜) )憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書成、直抒胸臆，非論證之學(xué)所能及也。血書成、直抒胸臆，非論證之學(xué)所能及也。 數(shù)學(xué)除與自然相交外，也與人為的數(shù)學(xué)除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數(shù)學(xué)問題都是純工程事物相接觸，很多數(shù)學(xué)問題都是純工程上的問題。有些數(shù)學(xué)家畢生接觸的都是上的問題。有些數(shù)學(xué)家畢生接觸的都是現(xiàn)象界的問題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學(xué)現(xiàn)象界的問題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學(xué)家如尤拉、如富里哀、如高斯、如維納、家如尤拉、如富里哀、

44、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，如馮紐曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，既能將抽象的數(shù)學(xué)在工程學(xué)上應(yīng)用，又既能將抽象的數(shù)學(xué)在工程學(xué)上應(yīng)用，又能在實(shí)用的科學(xué)中找出共同的理念而發(fā)能在實(shí)用的科學(xué)中找出共同的理念而發(fā)展出有意義的數(shù)學(xué)。反過來說，有些應(yīng)展出有意義的數(shù)學(xué)。反過來說，有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家只用計算機(jī)作出一些計算，不用數(shù)學(xué)家只用計算機(jī)作出一些計算，不求甚解，可謂二者皆未見矣。求甚解，可謂二者皆未見矣。 維納維納（公元（公元1894）馮紐曼馮紐曼（公元（公元1903） 好的數(shù)學(xué)家需要領(lǐng)會自然界所賦予的好的數(shù)學(xué)家需要領(lǐng)會自然界所賦予的情趣，因此也須向同道學(xué)習(xí)他們的經(jīng)驗(yàn)。情趣，因此也須向同道學(xué)習(xí)

45、他們的經(jīng)驗(yàn)。然而學(xué)習(xí)太過，則有依傍之病。然而學(xué)習(xí)太過，則有依傍之病。 顧亭林云：顧亭林云：君詩之病在于有杜，君文之病在于有君詩之病在于有杜，君文之病在于有韓，歐。有此蹊徑于胸中，便終身不脫依韓，歐。有此蹊徑于胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極。傍二字，斷不能登峰造極。 今人習(xí)數(shù)學(xué)，往往依傍名士，凡海外畢今人習(xí)數(shù)學(xué)，往往依傍名士，凡海外畢業(yè)的留學(xué)生，都為佳士，孰不知這些名士泰業(yè)的留學(xué)生，都為佳士，孰不知這些名士泰半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬矣。李義山：矣。李義山：劉郎已恨蓬山遠(yuǎn)，更隔蓬山一萬重。劉郎已恨蓬山遠(yuǎn)，更隔蓬山一萬重。 很多研究生在跟隨名師時，做出第一流很多研究生在跟隨名師時，做出第一流的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依傍之過的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導(dǎo)師提攜指。更有甚者，依傍而不自知，由導(dǎo)師提攜指導(dǎo)，竟自炫導(dǎo)，竟自炫無心插柳柳成蔭無心插柳柳成蔭，難有創(chuàng)意，難有創(chuàng)意之作矣。之作矣。 有些學(xué)者則倚洋自重，國外大師的工作已有些學(xué)者則倚洋自重，國外大師的工作已經(jīng)完成，除非另