高等數學--高斯公式

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣推廣一、高斯公式一、高斯公式 *二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 *三、通量與散度三、通量與散度 高斯公式 *通量與散度 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1 上有連續(xù)的一階偏導數 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先證:函數 P, Q, R 在面 所圍成, 則有 (Gauss 公式公式)高斯 的方向取外側, 設空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲目錄 上頁 下頁 返回 結束

2、231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd稱為XY -型區(qū)域 , ),(:22yxzz 則yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理1 設目錄 上頁 下頁 返回 結束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型區(qū)域 , 則可引進輔助面將其分割成若干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側面積分正負

3、抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x3z1y例例1zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個邊界曲面的外側. 解解利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考:若 為圓柱側面(取外側) , 如何計算? zyxddd)230(利用質心公式, 注意23, 0zyO用Gauss 公式計算 這里若 改為內

4、側, 結果有何變化? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 hzyxO例例2SzyxId)coscoscos(222其中 為錐面222zyx解解,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z = 0及 z = h 之間部分的下側, , , 為法向量的方向角.1,記所圍區(qū)域為 ,則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1利用Gauss 公式計算積分作輔助面目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用質心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4h思考思

5、考:提示提示:,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2之間部分的下側. , 2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一計算曲面積分作取上側的輔助面目錄 上頁 下頁 返回 結束 Ozxy例例3 .dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設 為曲面21,222zyxz取上側, 求 解解 作取下側的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標2111yxD目錄 上頁 下頁 返回 結束 cosc

6、oscoszvyvxv( , , ), ( , , )u x y zv x y z在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導數, 證明格林( Green )第一公式Sd 例例4uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整個 邊界面的外側. uP xvuQ yvuR zv注意注意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv設函數目錄 上頁 下頁 返回 結束 注意注意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd 高斯公式證證uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscos

7、zvyvxvuSd移項即得所證公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd令目錄 上頁 下頁 返回 結束 *二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1. 連通區(qū)域的類型連通區(qū)域的類型 設有空間區(qū)域 G , 若 G 內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G, 則稱 G 為空間二維單連通域 ; 若 G 內任一閉曲線總可以張一片全屬于 G 的曲面, 則稱 G 為例如例如, 球面所圍區(qū)域 環(huán)面所圍區(qū)域 立方體中挖去一個小球所成的區(qū)域 不是二維單連通區(qū)域 .既是一維也是二維單連通區(qū)域 ;是二維但不是一維單連通區(qū)域 ;是一維但空間一維單連通域 .目錄 上頁

8、 下頁 返回 結束 2. 閉曲面積分為零的充要條件閉曲面積分為零的充要條件定理定理2 ),(),(),(zyxRzyxQzyxP設在空間二維單 連通域G內具有連續(xù)一階偏導數, 為G內任一閉曲面, 則0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),(,0證證根據高斯公式可知是的充分條件. 的充要條件是: “必要性”. 用反證法. 使假設存在,0GM 00MzRyQxP已知成立,“充分性”.目錄 上頁 下頁 返回 結束 因P, Q, R 在G內具有連續(xù)一階偏導數 , 則存在鄰域 ,)(0GMU,)(0上使在MU0zRyQxP的邊界為設)(0MU則由 yxRxzQzyPddddddzyxzR

9、yQxPMUddd)(00與矛盾, 故假設不真. 因此條件是必要的. 取外側,高斯公式得 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、通量與散度三、通量與散度引例引例. 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1, 速度場為kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意義可知, 設 為場中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd單位時間通過曲面 的流量為 則由對坐標的曲面積分的物 由兩類曲面積分的關系, 流量還可表示為SRQPdcoscoscosSnvd目錄 上頁 下頁 返回 結束 若 為方向向外的閉曲面, yxRxzQzyPdddddd當 0 時, 說明流入 的流體質量少于 當 0

10、 時, 說明流入 的流體質量多于流出的, 則單位時間通過 的流量為 當 = 0 時, 說明流入與流出 的流體質量相等 . 流出的, 表明 內有泉; 表明 內有洞 ;根據高斯公式, 流量也可表為zyxzRyQxPdddnn目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxzRyQxPddd方向向外的任一閉曲面 , 記 所圍域為 , 設 是包含點 M 且為了揭示場內任意點M 處的特性, M在式兩邊同除以 的體積 V, 并令 以任意方式縮小至點 M 則有),(M記作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反應了流速場在點M 的特點: 其值為正,負或 0, 分別反映

11、在該點有流體涌出, 吸入, 或沒有任何變化. ),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義 設有向量場kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導數, 是場內的一片有向 則稱 曲面, 其單位法向量 n, SnAd為向量場 A 通過在場中點 M(x, y, z) 處 記作AdivzRyQxPAdiv顯然A有向曲面 的 通量(流量) .稱為向量場 A 在點 M 的 散度.目錄 上頁 下頁 返回 結束 0divA表明該點處有正源, 0divA表明該點處有負源, 0divA表明該點處無源, 散度絕對值的大小反映了源的強度.0divA若向量場 A 處

12、處有 例如, 勻速場 ),(),(為常數其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是無源場.說明說明: 由引例可知, 散度是通量對體積的變化率, 且散度意義 , 則稱 A 為 無源場. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxydd112例例5 5解解kzjy22zy )0(122zzyffnkzjzyA2穿過曲面 流向上側的通量,其中 為柱面被平面10 xx及截下的有限部分.x122 zy1)0 , 1, 1 ( O)0 , 1 , 1 (zyn,),(22zyyxf則 上側的法向量為kzjy在 上32zzyzzyz)(22nA故所求通量為SnAdSzdxyDy212求向量場記目錄 上頁 下頁

13、 返回 結束 內容小結內容小結1. 高斯公式及其應用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. *通量與散度 設向量場P, Q, R, 在域G 內有一階 連續(xù) 偏導數, 則 向量場通過有向曲面 的通量為 G 內任意點處的散度為 ),(RQPA SnAdzRyQxPAAdiv( n 為 的單位法向量） 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習,:2222取外側設Rzyx所圍立體,222zy

14、xr判斷下列演算是否正確?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)(3222 為2R目錄 上頁 下頁 返回 結束 rncosrn補充題補充題所圍立體 的體 是 外法線向量與點 ( x , y , z ) 的向徑,222zyxr試證.dcos31VSr證證則coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夾角,積為V, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 設 是一光滑閉曲面,設 的單位外法向量為 目錄 上頁 下