數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)8-曲線擬合

1、Mathematics Laboratory阮小娥博士Experiments in Mathematics李換琴數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)辦公地址：理科樓辦公地址：理科樓225電話：電話：82663174實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)13 13 人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型實(shí)驗(yàn)人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型實(shí)驗(yàn)2 2、掌握在最小二乘意、掌握在最小二乘意義下數(shù)據(jù)擬合的理論和義下數(shù)據(jù)擬合的理論和方法方法. .1 1、學(xué)會(huì)用、學(xué)會(huì)用MATLABMATLAB軟件軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合3、通過對(duì)實(shí)際問題的、通過對(duì)實(shí)際問題的分析和研究，初步掌分析和研究，初步掌握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型的方法模型的方法實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膿?jù)人口統(tǒng)計(jì)年鑒，知我國從據(jù)

2、人口統(tǒng)計(jì)年鑒，知我國從19491949年至年至19941994年人口數(shù)據(jù)資料如下：年人口數(shù)據(jù)資料如下： ( (人口數(shù)單位為：百萬人口數(shù)單位為：百萬) )（1 1）在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。）在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。（2 2）建立人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并估算）建立人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并估算19991999年年的人口數(shù)。的人口數(shù)。實(shí)驗(yàn)問題實(shí)驗(yàn)問題年份年份19491954 1959 1964 1969人口數(shù)人口數(shù) 541.67602.66 672.09 704.99 806.71 年份年份 1974 1979 1984 1989 1994人口數(shù)人口數(shù) 908.59 975.42

3、1034.751106.761176.74 如何確定如何確定a,b?baxy 線性模型線性模型1 曲線擬合問題的提法曲線擬合問題的提法: 已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的n 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)),(iiyx， ixni, 2 , 1L互不相同，尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）互不相同，尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）)(xfy ，使使)(xf在在某種準(zhǔn)則下某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好，如圖得最好，如圖: xy0+i ),(iiyx)(xfy 一、曲線擬合一、曲線擬合 niiiniiyxf1212)( 確定確定f(x)使得使得 達(dá)到最小達(dá)到最小

4、最小二乘準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則 . 用什么樣的曲線擬合已知數(shù)據(jù)用什么樣的曲線擬合已知數(shù)據(jù)?常用的曲線函數(shù)系類型：常用的曲線函數(shù)系類型：畫圖觀察；畫圖觀察；理論分析理論分析xaeay21 指數(shù)曲線：指數(shù)曲線： 21axay 雙曲線（一支雙曲線（一支):): 11 mmmaxaxayL多項(xiàng)式：多項(xiàng)式： 21axay 直線：直線： 擬合函數(shù)組中系數(shù)的確定擬合函數(shù)組中系數(shù)的確定達(dá)到最小。達(dá)到最小。 niiiniiyaxaaaJ12211221),( 21,aa,)(21為例為例以以axaxf 使得使得，即確定即確定21aa 0) 20) 2121121niiiiniiiyaxaxyaxa二、人口預(yù)測(cè)線性模型

5、二、人口預(yù)測(cè)線性模型對(duì)于開始提出的實(shí)驗(yàn)問題對(duì)于開始提出的實(shí)驗(yàn)問題, 代如數(shù)據(jù)，計(jì)算得代如數(shù)據(jù)，計(jì)算得27754,1521 aa從而得到人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系為從而得到人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系為2775415 xy把把x=1999代如，估算出代如，估算出1999年的人口數(shù)為年的人口數(shù)為 y=1252.1（百萬）（百萬）12.52億億1999年實(shí)際人口數(shù)量為年實(shí)際人口數(shù)量為.億。億。線性預(yù)測(cè)模型線性預(yù)測(cè)模型 英國人口學(xué)家英國人口學(xué)家MalthusMalthus根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于料，于17981798年提出了著名的人口自然增長的年提出了著名的人口自然增長的指數(shù)增指數(shù)增長

6、模型長模型。 btaetx 三、人口預(yù)測(cè)的三、人口預(yù)測(cè)的Malthus模型模型 0)0(,xxrxdtdxtrextx0)( 基本假設(shè)基本假設(shè) : : 人口人口( (相對(duì)相對(duì)) )增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)x(t) 時(shí)刻時(shí)刻t 的的人口人口,t=0時(shí)人口數(shù)為時(shí)人口數(shù)為x0 btatx ln指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型實(shí)際中，常用實(shí)際中，常用1. 1. 由前由前100100年的數(shù)據(jù)求出美國的人口增長年的數(shù)據(jù)求出美國的人口增長Malthus模型模型。2. 2. 預(yù)測(cè)后預(yù)測(cè)后100100年（每隔年（每隔1010年）的人口狀況。年）的人口狀況。3. 3. 根據(jù)預(yù)測(cè)的人口狀況和實(shí)際的人口數(shù)量根據(jù)預(yù)測(cè)的人

7、口狀況和實(shí)際的人口數(shù)量, ,討論人討論人口模型的改進(jìn)情況?？谀Ｐ偷母倪M(jìn)情況。美國美國17901790年年19801980年每隔年每隔1010年的人口記錄年的人口記錄226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口人口( (百萬百萬) )1980197019601950194019301920191019001890年份年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口人口( (百萬百萬) )1880187018601850184018301820181018001790年份年份例例解：解： btaetx 設(shè)設(shè)bta

8、x )ln(2101)ln(),(iiixbtabaJ 取得最小值取得最小值. .其中其中, , iitxx 表示人口數(shù)量表示人口數(shù)量。it表示年份表示年份, ,解方程組解方程組: 0ln210ln10211011012101101101iiiiiiiiiiitxbtatbJxbtaaJ即得參數(shù)即得參數(shù)ba,的值的值.ba,使得使得問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù) prog41.m %prog41.m % % This program is to predict the number of This program is to predict the number of population

9、%population %format longformat longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;0;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;0;1980;x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.x1=3.9

10、;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;2;x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;3;204.0;226.5;lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);A=a11,a12

11、;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*D;disp(a=);disp(ab(1);disp(b=);disp(ab(2);forfor i=1:10 i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2) xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)* *t1(i);t1(i);endendforfor i=1:10 i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2) xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)* *t2(i);t2(i);endendplot(t1,x1,rplot(t1,x1,r* *-,t1,xx1,b+-, -,t1,xx1,b+-, t2

12、,x2,gt2,x2,g* *-,t2,xx2,m+-);-,t2,xx2,m+-);a= -49.79535457790735b=0.02859807120038仿真結(jié)果表明：仿真結(jié)果表明： 人口增加的指人口增加的指數(shù)模型在短期數(shù)模型在短期內(nèi)基本上能比內(nèi)基本上能比較準(zhǔn)確地反映較準(zhǔn)確地反映人口自然增長人口自然增長的規(guī)律，但長的規(guī)律，但長期預(yù)測(cè)誤差很期預(yù)測(cè)誤差很大，需要修正大，需要修正預(yù)測(cè)模型。預(yù)測(cè)模型。擬合曲線擬合曲線原始數(shù)據(jù)曲線原始數(shù)據(jù)曲線四、人口預(yù)測(cè)的四、人口預(yù)測(cè)的Logistic模型模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口

13、增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)r固有增長率固有增長率(x很小時(shí)很小時(shí))k人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1()(kxrxr r是是x的減函數(shù)的減函數(shù)krs 0)( kr)1()(mxxrxxxrdtdx 000)()(xexkkxtxtr 例的例的LogisticLogistic模型留給同學(xué)們練習(xí)模型留給同學(xué)們練習(xí)五、多項(xiàng)式擬合的五、多項(xiàng)式擬合的Matlab指令指令a = polyfit（xdata，ydata，n）其中其中n n表示多項(xiàng)式的最高階數(shù)表示多項(xiàng)式的

14、最高階數(shù) xdata，ydata 為要擬合的數(shù)據(jù)，它是為要擬合的數(shù)據(jù)，它是用向量的方式輸入。用向量的方式輸入。輸出參數(shù)輸出參數(shù)a為擬合多項(xiàng)式為擬合多項(xiàng)式 y = a1xn + + anx + an+1的的系數(shù)系數(shù)a = a1, , an, an+1。多項(xiàng)式在多項(xiàng)式在x x處的值處的值y y可用下面程序計(jì)算?？捎孟旅娉绦蛴?jì)算。 y = polyval (a, x) 用多項(xiàng)式擬合人口模型用多項(xiàng)式擬合人口模型% % This program is to predict the model of population by This program is to predict the model of

15、 population by 4-degree polynomial% 4-degree polynomial% % %prog42.m%prog42.m%format longformat longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;196

16、0;1970;1980;t=t1;t2;t=t1;t2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;2P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;26.5;P=P1;P2;P=P1;P2;n=4; n=4; % The degree of the fitting

17、polynomial% The degree of the fitting polynomial% a,sa,s=polyfit(t1,P1,n);=polyfit(t1,P1,n);y=y=polyval(a,tpolyval(a,t););% % a a is the coefficients vector from n-degree to 0- is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%degree%plot(t,P,rplot(t,P,r* *-,-,t,y,bt,y,b+-);+-);23a =1.0e+006 * -0

18、.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427仿真結(jié)果表明仿真結(jié)果表明, , 人口增加的模型用多項(xiàng)式擬合能人口增加的模型用多項(xiàng)式擬合能比較準(zhǔn)確地反映人口自然增長的規(guī)律，對(duì)長期預(yù)比較準(zhǔn)確地反映人口自然增長的規(guī)律，對(duì)長期預(yù)測(cè)具有指導(dǎo)意義。測(cè)具有指導(dǎo)意義。例例2: 2: 海底光纜線長度預(yù)測(cè)模型海底光纜線長度預(yù)測(cè)模型某一通信公司在一次某一通信公司在一次施工中施工中, ,需要在水面寬需要在水面寬為為2020m m的河溝底沿直線的河溝底沿直線走向鋪設(shè)一條溝底光走向鋪設(shè)一條溝底光纜纜.

19、 .在鋪設(shè)光纜之前需在鋪設(shè)光纜之前需要對(duì)溝底的地形做初要對(duì)溝底的地形做初Bix2468101214161820986420ADCih0 x20 x探測(cè)到一組等分點(diǎn)位置的深度數(shù)據(jù)如下表所示探測(cè)到一組等分點(diǎn)位置的深度數(shù)據(jù)如下表所示. .25步探測(cè)步探測(cè), ,從而估計(jì)所需光纜的長度從而估計(jì)所需光纜的長度, ,為工程預(yù)算為工程預(yù)算提供依據(jù)提供依據(jù). .基本情況如圖所示基本情況如圖所示. .10.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.96

20、8.969.01深度深度(m)9876543210分點(diǎn)分點(diǎn)2121個(gè)等分點(diǎn)處的深度個(gè)等分點(diǎn)處的深度(1) (1) 預(yù)測(cè)通過這條河溝所需光纜長度的近似值預(yù)測(cè)通過這條河溝所需光纜長度的近似值. .(2) (2) 作出鋪設(shè)溝底光纜的曲線圖作出鋪設(shè)溝底光纜的曲線圖. .024681012141618207891011121314解：解： 用用12次多項(xiàng)式函數(shù)擬合光纜走勢(shì)的曲線圖如下次多項(xiàng)式函數(shù)擬合光纜走勢(shì)的曲線圖如下仿真結(jié)果表仿真結(jié)果表明明,擬合曲線擬合曲線能較準(zhǔn)確地能較準(zhǔn)確地反映光纜的反映光纜的走勢(shì)圖走勢(shì)圖.The length of the label is L= 26.3809 (m)假設(shè)所鋪設(shè)

21、的光纜足夠柔軟假設(shè)所鋪設(shè)的光纜足夠柔軟,在鋪設(shè)過程中光纜觸地在鋪設(shè)過程中光纜觸地走勢(shì)光滑走勢(shì)光滑,緊貼地面緊貼地面,并且忽略水流對(duì)光纜的沖擊并且忽略水流對(duì)光纜的沖擊.% % prog45.m This program is to fit the data by polynomial %prog45.m This program is to fit the data by polynomial %format longformat longt=linspace(0,20,21);t=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);x=linspace(0,20,10

22、0);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;80,10.93; a,sa,s=polyfit(t,P,12);=polyfit(t,P,12);yyyy= =polyval(a,xpoly

23、val(a,x););plot(x,yy,rplot(x,yy,r* *-,-,t,P,bt,P,b+-);+-);L=0;L=0;forfor i=2:100 i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2); L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);endenddisp(Thedisp(The length of the label is L=); length of the label is L=);disp(Ldisp(L););format longt=linspace(0,20,21);x=linsp

24、ace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;n=input(n=) %通過鍵盤輸入擬合次數(shù)a,s=polyfit(t,P,n);yy=polyval(a,x);p1=polyval(a,t);d=norm(P-p1) %計(jì)算擬合誤差plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);L=0;for i=2:100 L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)

25、2);enddisp(The length of the label is L=);disp(L);x0 x1x2x3x4xg(x)(xfy 函函數(shù)數(shù)：:在一些點(diǎn)處測(cè)得函數(shù)值在一些點(diǎn)處測(cè)得函數(shù)值nixfyiiL2 , 1 , 0 )( 使使得得求求一一個(gè)個(gè)簡簡單單易易算算的的函函數(shù)數(shù)),(xgniyxgiiL2 , 1 , 0 )( ),()(,0 xfxgxxn 上上在在.)()(的的插插值值函函數(shù)數(shù)稱稱為為xfxg實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)14 插值問題插值問題,表表達(dá)達(dá)式式未未知知或或非非常常復(fù)復(fù)雜雜 f(x)w插值函數(shù)有各種類型，如代數(shù)多項(xiàng)式，插值函數(shù)有各種類型，如代數(shù)多項(xiàng)式，三角函數(shù)，有理函數(shù)等。三角

26、函數(shù)，有理函數(shù)等。w當(dāng)當(dāng)p(x)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為（代數(shù)）插為多項(xiàng)式時(shí)，稱為（代數(shù)）插值多項(xiàng)式。值多項(xiàng)式。一階一階 二階二階 三階三階nnyyyxfyxxxxLL1010)( ，設(shè)設(shè)nnnxaxaaxp L10)()1 . 1(2 , 1 , 0 )(niyxpiinL 滿滿足足,1,)(10處處的的函函數(shù)數(shù)值值個(gè)個(gè)互互異異點(diǎn)點(diǎn)上上在在已已知知nxxxnbaxfL 由克萊姆法則知方程組有唯一解，即滿足由克萊姆法則知方程組有唯一解，即滿足(1.1)的插值多項(xiàng)式存在且唯一。的插值多項(xiàng)式存在且唯一。Matlab指令：指令：yb=interp1(x,y,xb,method)詳見課本詳見課本204頁頁實(shí)驗(yàn)任務(wù)實(shí)驗(yàn)任務(wù):觀測(cè)觀測(cè)序號(hào)序號(hào)12345678910X46495152545657585960Y40505563727077739093觀測(cè)觀測(cè)序號(hào)序號(hào)11121314151617181920X61626364666768717271Y9688991101131201271371321371、下表中，、下表中，X是華氏溫度，是華氏溫度，Y是一分鐘內(nèi)一只蟋是一分鐘內(nèi)一只蟋蟀的鳴叫次數(shù)，試用多項(xiàng)式模型擬合這些數(shù)據(jù)，蟀的鳴叫次數(shù)，試用多項(xiàng)式模型擬合這些數(shù)據(jù)，畫出擬合曲線，分析你的擬合模型是否很好？畫出擬合曲線，分析你的擬合模型是否很好？2、(1)