第6章 曲線與曲面

1、第六章第六章 曲線和曲面曲線和曲面6.1 6.1 曲線曲線1. 1. 曲線的形成與分類曲線的形成與分類 曲線可分成兩類：所有的點都位于同一平面上的曲線稱曲線可分成兩類：所有的點都位于同一平面上的曲線稱為為平面曲線平面曲線；連續(xù)四點不在同一平面上的曲線稱為；連續(xù)四點不在同一平面上的曲線稱為空間曲線空間曲線。平面曲線平面曲線空間曲線空間曲線2.2.曲線的投影曲線的投影 曲線的投影，在一般情況下仍為曲線。曲線的投影，在一般情況下仍為曲線。 當平面曲線所在的平面垂直于投影面時，則曲當平面曲線所在的平面垂直于投影面時，則曲線的投影積聚為一直線；線的投影積聚為一直線； 當平面曲線所在的平面平行于投影面時，

2、那當平面曲線所在的平面平行于投影面時，那么它的投影反映曲線的實形。么它的投影反映曲線的實形。 6.1 曲線曲線 例題例題1 如圖如圖6.1所示，已知所示，已知三角形三角形PQR平面內的平面曲線平面內的平面曲線AE的水平投影，求作這條平的水平投影，求作這條平面曲線的正面投影。面曲線的正面投影。作平面內的平面曲線作平面內的平面曲線AEAE的正面投影的正面投影(a)(a)已知條件已知條件作圖過程和作圖結果作圖過程和作圖結果解解在曲線在曲線AE的水平投影的水平投影ae上取上取點點b、c、d，過，過a、b、c、d、e作作正平線，分別與正平線，分別與qr交得交得1、2、3、4、5。將。將a1 1延伸，與延

3、伸，與pq交得交得f。過過1、2、3、4、5引正面投影引正面投影的連線，分別與的連線，分別與qr交得交得1、2、3、4、5；由；由f引正面投影的連引正面投影的連線，與線，與pq交得交得f，連，連1和和f；過；過2、3、4、5分別作分別作1f的平行的平行線。從線。從a、b、c、d、e分別引正分別引正面投影的連線，順次與面投影的連線，順次與1f及其及其平行線交得平行線交得a、b、c、d、e。用曲線板將用曲線板將a、b、c、d、e順序連成光滑曲線，即為所求順序連成光滑曲線，即為所求的曲線的曲線AE的正面投影。的正面投影。6.1.2 曲線的投影曲線的投影6.1.3 6.1.3 圓的投影圓的投影 當平面

4、上圓與投影面的相對位置不同，其投影也不相當平面上圓與投影面的相對位置不同，其投影也不相同。平行于投影面的圓在該投影面上的投影反映圓的實形，同。平行于投影面的圓在該投影面上的投影反映圓的實形，而傾斜于投影面的圓在該投影面上的投影為橢圓。而傾斜于投影面的圓在該投影面上的投影為橢圓。 例題例題2 如圖如圖6.2所示，所示，已知直徑為已知直徑為24mm24mm的鉛垂圓的圓心的鉛垂圓的圓心C的兩面投影，的兩面投影，圓平面與圓平面與V V面的傾角為面的傾角為30，水平直徑，水平直徑的方向是從左后往右前，作出這個鉛的方向是從左后往右前，作出這個鉛垂圓的水平投影和正面投影。垂圓的水平投影和正面投影。解解按給定

5、條件作出鉛垂圓的兩面投影按給定條件作出鉛垂圓的兩面投影(a)(a)已知條件已知條件作圖過程和作圖結果作圖過程和作圖結果以以c為中點、按從左后往右為中點、按從左后往右前的方向作與前的方向作與OX軸成軸成30角角的直線，由的直線，由c向兩側量取向兩側量取12，得得a和和b，即為這個鉛垂圓的，即為這個鉛垂圓的有積聚性的水平投影。有積聚性的水平投影。作作O1X1ab，換面，由，換面，由c和和c作出作出c1。以以c1為圓心作直徑為圓心作直徑24的圓，的圓，即為該圓的真形。過即為該圓的真形。過c1分別分別作作O1X1軸的平行線軸的平行線a1b1和垂和垂直線直線d1e1 ，就是這個圓的水，就是這個圓的水平直

6、徑平直徑AB和鉛垂直徑和鉛垂直徑DE的的V1面投影。面投影。過過c作水平線和鉛垂線；作水平線和鉛垂線；由由a、b作垂直于作垂直于OX軸的投影軸的投影連線，與過連線，與過c的水平線交得的水平線交得a、b；在過；在過c的鉛垂線上，的鉛垂線上，由由c向兩側各量取向兩側各量取12，得，得d、e。在反映圓的真形的在反映圓的真形的V1 1面投面投影上，任取一系列的點，將影上，任取一系列的點，將這些點返回，即得圓周上一這些點返回，即得圓周上一系列點的兩面投影，順次光系列點的兩面投影，順次光滑連接滑連接V V面投影中的點，即面投影中的點，即得所求的鉛垂圓的正面投影得所求的鉛垂圓的正面投影橢圓。橢圓。6.1.3

7、 6.1.3 圓的投影圓的投影 例題例題3 如圖如圖6.3所示，所示，在平行四邊形在平行四邊形IJKL內有一內有一個圓，已知圓心個圓，已知圓心C的正面的正面投影投影c，直徑為，直徑為28mm，求，求作這個圓的兩面投影。作這個圓的兩面投影。解解按給定條件作平行四邊形上的圓的兩面投影按給定條件作平行四邊形上的圓的兩面投影(a)(a)已知條件已知條件作圖過程和作圖結果作圖過程和作圖結果作圓心作圓心C C的水平投影的水平投影c c。作圓的水平投影橢圓作圓的水平投影橢圓。作圓的正面投影橢圓作圓的正面投影橢圓。6.1.3 圓的投影圓的投影6.2 6.2 曲面的形成和分類曲面的形成和分類1.1.曲面的形成曲

8、面的形成v 曲面可以看成是一動線運動的軌跡。運動的直線或曲面可以看成是一動線運動的軌跡。運動的直線或曲線稱母線，母線在曲面上任一位置稱為素線。當母線曲線稱母線，母線在曲面上任一位置稱為素線。當母線作規(guī)則運動而形成的曲面，稱為規(guī)則曲面?？刂颇妇€運作規(guī)則運動而形成的曲面，稱為規(guī)則曲面。控制母線運動的點、線、面分別稱為定點，導線和導面。動的點、線、面分別稱為定點，導線和導面。 2.2.曲面的分類曲面的分類曲面按母線形狀的不同可分為：曲面按母線形狀的不同可分為： （1）直線面）直線面 由直線運動而形成的曲面稱為直線面，如圓柱面、由直線運動而形成的曲面稱為直線面，如圓柱面、圓錐面、橢圓柱面、橢圓錐面、扭

9、面圓錐面、橢圓柱面、橢圓錐面、扭面(雙曲拋物面雙曲拋物面)、錐、錐狀面和柱狀面，其中圓柱面和圓錐面稱為直線回轉面。狀面和柱狀面，其中圓柱面和圓錐面稱為直線回轉面。 （2）曲線面）曲線面 由曲線運動形成的曲面稱為曲線面，如球面、環(huán)由曲線運動形成的曲面稱為曲線面，如球面、環(huán)面等，球面、環(huán)面又稱為曲線回轉面。面等，球面、環(huán)面又稱為曲線回轉面。6.2 曲面的形成和分類曲面的形成和分類圓柱面投影圓柱面投影1.1.圓柱面圓柱面(a)(a)立體圖立體圖(b)(b)投影圖投影圖6.3 6.3 回轉曲面回轉曲面如圖如圖6.5a所示，已知圓柱表面上的點所示，已知圓柱表面上的點A、B的水平投影的水平投影ab，以，以

10、及曲線及曲線CD的正面投影的正面投影cd，補全這些點和線的三面投影。，補全這些點和線的三面投影。補全圓柱表面上給定的點和線的三面投影補全圓柱表面上給定的點和線的三面投影(a)(a)已知條件已知條件(b)(b)作圖過程和作圖結果作圖過程和作圖結果解解因為因為a(b)位于圓周內，所以點位于圓周內，所以點A和和B分別是圓柱的頂面和底面上。分別是圓柱的頂面和底面上。由于由于cdcd可見，所以可見，所以CDCD是前半圓柱面上的橢圓曲線。是前半圓柱面上的橢圓曲線。6.3.1.6.3.1.圓柱面的投影圓柱面的投影6.3.2 6.3.2 圓錐面圓錐面圓錐面投影圓錐面投影(a)(a)立體圖立體圖(b)(b)投影

11、圖投影圖 如圖如圖6.7a所示，已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點所示，已知一個圓錐的三面投影及其表面上的點A的正面投影的正面投影a，求作點，求作點A的水平投影的水平投影a和側面投影和側面投影a。作圓錐表面上的點的投影作圓錐表面上的點的投影(a)(a)已知條件已知條件(d)(d)緯圓法緯圓法(b)(b)解題分析解題分析 (c) (c)素線法素線法素線素線素線素線緯圓緯圓用過圓錐面上的點取素線來求作這個點的投影的方法，稱為用過圓錐面上的點取素線來求作這個點的投影的方法，稱為素線法素線法。用過圓錐面上的點取緯圓來求作這個點的投影的方法，稱為用過圓錐面上的點取緯圓來求作這個點的投影的方法，稱為緯圓

12、法緯圓法。3 3 球面球面球面投影球面投影(a)(a)立體圖立體圖(b)(b)投影圖投影圖6.3 回轉曲面回轉曲面 如圖如圖6.9a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的點面上的點A的正面投影，需求作球的側面投影，以及點的正面投影，需求作球的側面投影，以及點A的水的水平投影平投影a和側面投影和側面投影a。（a)a)已知條件已知條件解解作球體表面上的點的投影作球體表面上的點的投影(b)(b)作法一作法一 (c)(c)作法二作法二(d)(d)作法三作法三網格球面網格球面曲面造型曲面造型4 4 環(huán)面環(huán)面環(huán)面投影環(huán)面投影(a)(a)立體圖立體圖(b)(b

13、)投影圖投影圖6.3 回轉曲面回轉曲面 如圖如圖6.11a所示，已知環(huán)所示，已知環(huán)面上順次向后的四個點面上順次向后的四個點A、B、C、D的互相重合的正面投影的互相重合的正面投影abcd，作出這四個點的水，作出這四個點的水平投影，并表明可見性。平投影，并表明可見性。（a)a)已知條件已知條件解解作環(huán)面上的點的投影作環(huán)面上的點的投影作圖過程和作圖結果作圖過程和作圖結果6.3.4 6.3.4 環(huán)面環(huán)面6.3.5 6.3.5 單葉雙曲面單葉雙曲面(b)(b)曲面的形成曲面的形成(c)(c)投影圖投影圖 以一直母線繞與其相交叉的定軸運動旋以一直母線繞與其相交叉的定軸運動旋轉一周而形成的曲面，稱為轉一周而

14、形成的曲面，稱為單葉雙曲面單葉雙曲面。(a)(a)軸線與母線軸線與母線單葉雙曲回轉面的形成和投影單葉雙曲回轉面的形成和投影（雙擊）（雙擊）6.3.5 6.3.5 單葉雙曲面單葉雙曲面1 1 柱面柱面 直母線沿曲導線運動且始終平行于直導線時，所形成直母線沿曲導線運動且始終平行于直導線時，所形成的曲面稱為的曲面稱為柱面柱面。6.4 6.4 幾種常見的非回轉曲面幾種常見的非回轉曲面正圓柱面和斜圓柱面在工程上的應用正圓柱面和斜圓柱面在工程上的應用柱面柱面柱面柱面柱面柱面6.4 6.4 幾種常見的非回轉曲面幾種常見的非回轉曲面1 1 柱面柱面2 2 錐面錐面錐面及其投影錐面及其投影 一直母線一直母線SA

15、沿某一曲導線沿某一曲導線()運動，并始終通過運動，并始終通過某定點某定點(頂點頂點)而形成的曲面稱為錐面。而形成的曲面稱為錐面。 6.4 幾種常見的非回轉曲面幾種常見的非回轉曲面(a)(a)橢圓錐面橢圓錐面(b)(b)斜圓錐面斜圓錐面圓錐面投影圓錐面投影(c)(c)斜橢圓錐面斜橢圓錐面6.4 幾種常見的非回轉曲面幾種常見的非回轉曲面2 2 錐面錐面錐面的應用示例錐面的應用示例斜橢圓錐面圓心連線ACSSSSssssssssssssAAAA常用于大壩的進水口常用于大壩的進水口2 2 錐面錐面6.4 幾種常見的非回轉曲面幾種常見的非回轉曲面水工圖中常出現(xiàn)的水工建筑物結構水工圖中常出現(xiàn)的水工建筑物結構

16、攔污柵、閘門槽、喇叭口、攔污柵、閘門槽、喇叭口、漸變段、蝸殼、尾水管等。漸變段、蝸殼、尾水管等。6.4 幾種常見的非回轉曲面幾種常見的非回轉曲面漸變段漸變段喇叭口喇叭口尾水管尾水管6.4.3 6.4.3 雙曲拋物面雙曲拋物面雙曲拋物面的形成及其投影圖雙曲拋物面的形成及其投影圖(a)(a)立體圖立體圖(b)(b)投影圖投影圖 直母線沿著兩條交叉的直導線且平行于某一導平直母線沿著兩條交叉的直導線且平行于某一導平面運動而形成的曲面稱為面運動而形成的曲面稱為雙曲拋物面雙曲拋物面，也稱為，也稱為翹平面翹平面。3434雙曲拋物面的應用示例雙曲拋物面的應用示例雙曲拋物面的應用示例雙曲拋物面的應用示例(a)(

17、a)屋面屋面(b)(b)水渠的過渡曲面水渠的過渡曲面6.4.3 雙曲拋物面雙曲拋物面6.4.4 6.4.4 錐狀面錐狀面錐狀面的形成、投影圖和應用實例錐狀面的形成、投影圖和應用實例(a)(a)形成和投影圖形成和投影圖(b)(b)應用實例應用實例屋面屋面 直母線沿著一條直導線和一條曲導線且平行于一個導平直母線沿著一條直導線和一條曲導線且平行于一個導平面運動而形成的曲面稱為面運動而形成的曲面稱為錐狀面錐狀面。路堤邊坡腳線錐狀面護坡6.4.5 6.4.5 柱狀面柱狀面柱狀面的形成、投影圖和應用實例柱狀面的形成、投影圖和應用實例 直母線沿著兩條曲導線且平行于一個導平面運動而形直母線沿著兩條曲導線且平行

18、于一個導平面運動而形成的曲面稱為成的曲面稱為柱狀面柱狀面。(a)(a)形成和投影圖形成和投影圖(b)(b)應用實例應用實例閘墩閘墩6.5 6.5 圓柱螺旋面圓柱螺旋面1.1.圓柱螺旋線圓柱螺旋線 一動點沿著圓柱一動點沿著圓柱的直母線作等速直線的直母線作等速直線運動，同時該母線繞運動，同時該母線繞圓柱面的軸線作等角圓柱面的軸線作等角速度旋轉運動，動點速度旋轉運動，動點的這種復合運動的軌的這種復合運動的軌跡就是圓柱螺旋線跡就是圓柱螺旋線(簡簡稱螺旋線稱螺旋線) 。圓柱螺旋線有三個基本要素：圓柱螺旋線有三個基本要素： (1)(1)導圓柱直徑導圓柱直徑D D：即圓柱螺旋線所在的圓柱面的直徑。：即圓柱螺旋線所在的圓柱面的直徑。 (2)(2)導程導程s s：即動點隨圓柱面上的直母線旋轉一周時，沿直：即動點隨圓柱面上的直母線旋轉一周時，沿直母線所移動的軸向距離。母線所移動的軸向距離。(3)(3)旋向旋向( (左旋或右旋左旋或右旋) )：當動點沿直母線移動和繞圓柱面：當動點沿直母線移動和繞圓柱面的軸線旋轉符合右手法則時，稱為的軸線旋轉符合右手法則時，稱為右旋右旋；若符合左手法則；若符合左手法則時，稱為時，稱為左旋左旋。6.5 圓柱螺旋面圓柱螺旋面1.1.圓柱螺旋線圓柱螺旋線圓柱螺旋線的畫法圓柱螺旋線的畫