23《變量間的相關(guān)關(guān)系2》（新人教A版必修3）

1、v主講老師 潘學(xué)國問題提出問題提出1 1、兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義如何？成、兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義如何？成正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的兩個相關(guān)變量的散點圖分別正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的兩個相關(guān)變量的散點圖分別有什么特點？有什么特點？ 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系. . 正相關(guān)的散點圖中的點散布在從左下角到正相關(guān)的散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，負(fù)相關(guān)的散點圖中的點散布在右上角的區(qū)域，負(fù)相關(guān)的散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域從左上角到右下角的區(qū)域 2 2、觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本

2、數(shù)據(jù)、觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數(shù)據(jù)的散點圖，這兩個相關(guān)變量成正相關(guān)的散點圖，這兩個相關(guān)變量成正相關(guān). .我們需要進(jìn)我們需要進(jìn)一步考慮的問題是，當(dāng)人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪一步考慮的問題是，當(dāng)人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究上作些研究. .第二課時第二課時思考：思考：一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？一定是散點圖中的點嗎？ ( , )x y思考：思考：在各種各樣的

3、散點圖中，有些散點圖中的點是在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？的分布有什么特點？ 這些點大致分布在一條直線附近這些點大致分布在一條直線附近. .思考：思考：如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)線性相關(guān)關(guān)系系，這條直線叫做，這條直線叫做回歸直線回歸直線. .對具有線性

4、相關(guān)關(guān)系的對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎？思考：思考：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條？其回歸直線是一條還是幾條？思考：思考：在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線？回歸直線？ 在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程回歸方程. .對對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果

5、能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進(jìn)行估計并根據(jù)回歸方程對總體進(jìn)行估計. . 思考：思考：回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？關(guān)系？ 整體上最接近整體上最接近 思考：思考：對于求回歸直線方程，你有哪些想法？對于求回歸直線方程，你有哪些想法？ 整體上最接近整體上最接近 采用測量的方法：先畫一條直線，測量出采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離各點到它的距離，然后移

6、動直線，到達(dá)一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。就得到回歸方程。 在圖中選取兩點畫直線，使得直線在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。脂肪010203040020406080脂肪 在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪 上述三種方案均有

7、一定的道理，但可靠性上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強，我們回到回歸直線的不強，我們回到回歸直線的定義定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點與直線的偏差最小從整體上看，各點與直線的偏差最小”。 如果散點圖中點的分布從如果散點圖中點的分布從整體整體上看大致在上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做，這條直線就叫做回歸直線回歸直線。 設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x x1 1，y

8、 y1 1），（），（x x2 2，y y2 2），），（，（x xn n，y yn n） 設(shè)所求的回歸直線方程為設(shè)所求的回歸直線方程為 其中其中a a，b b是待定的系數(shù)。是待定的系數(shù)。 我們可以用點我們可以用點 與這條直線上橫坐標(biāo)為與這條直線上橫坐標(biāo)為 的點之間的距離來刻畫的點之間的距離來刻畫 到直線的遠(yuǎn)近，即用到直線的遠(yuǎn)近，即用 （i=1i=1，2 2，n n）表示點表示點 到直線的遠(yuǎn)近。到直線的遠(yuǎn)近。abxy+=|）（abxyyyiiii+=-(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)()iiyx ,ix()iiyx ,()iiyx , 這樣，用這這樣，用這n個距離之和

9、來刻畫各點與此直線的個距離之和來刻畫各點與此直線的“整體距離整體距離”是比較合適的，即用是比較合適的，即用表示各點到直線的表示各點到直線的“整體距離整體距離”。| )(|.| )(| )(| )(|abxyabxyabxyabxynninii+=+=-22111)(niiiabxyQ12-= 由于絕對值使得計算不方便，在實際應(yīng)用中人們由于絕對值使得計算不方便，在實際應(yīng)用中人們更喜歡用更喜歡用 即：即：問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為:a,b取什么值時取什么值時Q最小，即總體和最小。最小，即總體和最小。 下面是計算回歸方程的斜率和截距的一般公式下面是計算回歸方程的斜率和截距的一般公式:x xb b- -y

10、y= =a a, ,x xn n- -x xy yx xn nx x= =) )x x( (x x) )y y) )( (y yx x( (x x= =b bn n1 1= =i i2 22 2i in n1 1= =i ii in n1 1= =i i2 2i in n1 1= =i ii ii i-y-i回歸方程：回歸方程： y = bx + a 這種通過求這種通過求Q最小值而得到回歸直線的方法，即最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做方法叫做最小二乘法最小二乘法。求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列

11、步驟進(jìn)行：求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第二步，計算平均數(shù)第二步，計算平均數(shù) , , ;xy第三步，寫出回歸方程第三步，寫出回歸方程 y = bx + a第一步，畫散點圖，判斷變量是否線性相關(guān)；第一步，畫散點圖，判斷變量是否線性相關(guān)； 求和求和 , , ; niiiyx1=niix12= 計算計算 ；xbyaxnxyxnyxbniiniii,-1221=思考：思考：利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 ，由此我們可以根據(jù)一個人年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的由此我們可以根據(jù)一個人年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪

12、含量的百分比的回歸值。若某人百分比的回歸值。若某人3737歲，則其體內(nèi)脂肪含量的歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？百分比約為多少？20.9% y = 0.577x 0.448攝氏溫度攝氏溫度(） -504712熱飲杯數(shù)熱飲杯數(shù) 15615013212813015192327313611610489937654（1 1）畫出散點圖；）畫出散點圖；（2 2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；（3 3）求回歸方程；）求回歸方程；（4 4）如果某天的氣溫是）如果某天的氣溫是22，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù). . 例

13、：例：有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當(dāng)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：天氣溫的對比表： 理論遷移理論遷移當(dāng)當(dāng)x=2時，時，y=143.063。練習(xí)練習(xí)x1234y1/23/2231、已知變量、已知變量x和變量和變量y有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)則則y對對x的回歸直線方程是什么？的回歸直線方程是什么？x2 2、設(shè)有一個回歸方程、設(shè)有一個回歸方程，當(dāng)變量，當(dāng)變量增加增加1 1個單位時（個單位時（ ）y A平均增加平均增加2個單位個單位CD平均增加平均增加3

14、個單位個單位平均減少平均減少2個單位個單位平均減少平均減少3個單位個單位.Bxy23+=y y y 3、線性回歸方程表示的直線線性回歸方程表示的直線必經(jīng)過點必經(jīng)過點( )A(6,0) B(0,6) C(1,6) D(6,1)4、線性回歸方程表示的直線線性回歸方程表示的直線必經(jīng)過點必經(jīng)過點( )A(0,0)xB(,0)yC(0,)D( ， )xy 6、已知回歸方程、已知回歸方程 =4.4x+838.19，則可估計，則可估計x與與y的增長速度之比約為的增長速度之比約為_.y bxy+= 6bxay+=810-50.xy =5、已知、已知回歸方程回歸方程 ，則則x=25時時y的估計的估計值為值為_。課時小結(jié)課時小結(jié): :1 1、回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大、回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近致分布在回歸直線附近. .對同一個總體，不同的對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性具有隨機性. . 2 2、對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可、對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述