臨時(shí)-工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)

1、工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)主講：陳文鑫主講：陳文鑫聯(lián)系電話：聯(lián)系電話：616691，2117辦公室：辦公室：4215第一講第一講 二階與三階行列式及二階與三階行列式及n階行列式階行列式l二階、三階行列式的對(duì)角線法則二階、三階行列式的對(duì)角線法則 l n階行列式的遞推定義階行列式的遞推定義 l課堂舉例課堂舉例 先討論如下四個(gè)方程組的解的情況先討論如下四個(gè)方程組的解的情況 3342)1(2121xxxx 5323)2(2121xxxx 2323)3(2121xxxx 3231)4(212121xxxxxx 3342)1(2121xxxx 21 x32 x：唯一解唯一解其解為：其解為：適定方程適定方程 5323

2、)2(2121xxxx 無解無解 超定方程超定方程 2323)3(2121xxxx 無窮多解無窮多解 欠定方程欠定方程超定方程超定方程 3231)4(212121xxxxxx 分析與結(jié)論：一般的分析與結(jié)論：一般的n元線性方程組的解元線性方程組的解可以分成三種情況可以分成三種情況 l1) 唯一解，適定方程組唯一解，適定方程組 l2) 無解，超定方程組無解，超定方程組 l3) 無窮多解，欠定方程組無窮多解，欠定方程組 二階行列式二階行列式2112221122211211aaaaaaaa a11a12a21a22其運(yùn)算規(guī)則為其運(yùn)算規(guī)則為對(duì)角線法則對(duì)角線法則 即主對(duì)角線上的兩元素之積減去即主對(duì)角線上的

3、兩元素之積減去副對(duì)角線上兩元素之積副對(duì)角線上兩元素之積 返回返回用二階行列式求二元線性方程組的特點(diǎn)用二階行列式求二元線性方程組的特點(diǎn) 2221121122212111aaaaababDDx 2221121122111122aaaababaDDx 分母分母D是由方程組的系數(shù)所確定的二階行列式是由方程組的系數(shù)所確定的二階行列式稱系稱系數(shù)行列式數(shù)行列式x1的分子的分子D1是用常數(shù)項(xiàng)是用常數(shù)項(xiàng)b1，b2替換替換D中中x1系數(shù)系數(shù)a11，a21所所得的二階行列式得的二階行列式x2的分子的分子D2 2是用常數(shù)項(xiàng)是用常數(shù)項(xiàng)b1，b2替換替換D中中x2的系數(shù)的系數(shù)a12，a22所得的二階行列式所得的二階行列式

4、返回返回三階行列式的對(duì)角線三階行列式的對(duì)角線法則法則 332211aaa 312312aaa 322113aaa 333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa322311aaa 332112aaa 312213aaa 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、結(jié)果的每一項(xiàng)恰是三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元素位于不同的、結(jié)果的每一項(xiàng)恰是三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元素位于不同的 行，不同的列行，不同的列2、三階行列式含、三階行列式含6（3?。﹤€(gè)項(xiàng)的代數(shù)和?。﹤€(gè)項(xiàng)的代數(shù)和3、每項(xiàng)均帶有確定的符號(hào)、每項(xiàng)均帶有確定的符號(hào)返回返回遞推法遞推法aaaaaaaaa333231232

5、221131211aaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211規(guī)律：規(guī)律：（1）三個(gè)二階行列式分別是原來的三階行列式）三個(gè)二階行列式分別是原來的三階行列式D中劃去中劃去a1j（j=1，2，3）所在第）所在第1 行與第行與第j列的元素，剩下的元素列的元素，剩下的元素保持原有相對(duì)位置不變所組成。保持原有相對(duì)位置不變所組成。（2）每項(xiàng)前的符號(hào)由）每項(xiàng)前的符號(hào)由(1)1+j決定決定332211aaa 312312aaa 322113aaa 322311aaa 332112aaa 312213aaa 由規(guī)律由規(guī)律三階定義四階三階定義四階n1階定義階定義n階行

6、列式階行列式定義定義n階行列式階行列式用用n2個(gè)數(shù)組成的記號(hào)個(gè)數(shù)組成的記號(hào) aaaaaaaaannnnnnD212222111211 其值為其值為 1,211, 332311, 222211131333312232112213233332223221111) 1() 1() 1( nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa余子式余子式 aaaaaaaaaaaaaaaannjnjnnnijijiinijijiinjjijM1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 , 111, 11, 111 第第i行行 第第j列

7、列 代數(shù)余子式代數(shù)余子式 Aij(1)ijMij nnAaAaAaD1112121111 M11M12M1nA11A12A1nn階行列式按第一行元素的展開式階行列式按第一行元素的展開式 返回返回作業(yè)：作業(yè)：P29：1，2，3（2，3，4）思考題：能用三階行列式求如下三元一次線性方思考題：能用三階行列式求如下三元一次線性方程組的解嗎？如何求？程組的解嗎？如何求？ 42253221232132132xxxxxxxx 第二講第二講 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) l先復(fù)習(xí)對(duì)角線法則，先復(fù)習(xí)對(duì)角線法則，n階行列式的遞階行列式的遞推定義式推定義式；l行列式的性質(zhì)；行列式的性質(zhì)；ln階行列式的計(jì)算階行列式的計(jì)算

8、 回顧上一次課回顧上一次課 二階行列式的對(duì)角線法則二階行列式的對(duì)角線法則 用二階行列式解二元一次線性方程組用二階行列式解二元一次線性方程組 三階行列式的對(duì)角線法則三階行列式的對(duì)角線法則 n階行列式的遞推定義式階行列式的遞推定義式 212221110nnnnaaaaaaD 下三角行列式的值下三角行列式的值 )1( 3233322211112122211100nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD 4344433322110nnnnaaaaaaaa nnaaa2211 下三角行列式的值等于主對(duì)角線上所有元素的乘積下三角行列式的值等于主對(duì)角線上所有元素的乘積 對(duì)角行列式對(duì)角行列式 0021nD

9、 )1(003211nn )1()1(003211nnn 00 )1()1()1(122141nnnnn )()1(12212)2)(5(nnnnn nnnnnn 1221121042)1()1(2 nnn 212)1()1( 寫出行列式中第寫出行列式中第3行第行第2列元素的余子式和代數(shù)余子式。列元素的余子式和代數(shù)余子式。 0365140354239752 0365140354239752 第第2列列第第3行行03554397232 M035543972)1()1(23322332 MA余子式余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式 性 質(zhì)性 質(zhì)1 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等

10、，即DDT 212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD =行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)行列式中的行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)凡是對(duì)“行行”成立的，對(duì)成立的，對(duì)“列列”也同樣成立，反之也同樣成立，反之亦然亦然 nnnnnnTnnnnaaaaaaaaaDaaaaaaD22112122121122211211 00 性 質(zhì)性 質(zhì)2 2互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào) 7)4(982426321213412 D推論推論如果行列式有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，則如

11、果行列式有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式等于零此行列式等于零 證明：把這兩行互換，有證明：把這兩行互換，有DD，故，故D0。 7242)6()4(98 412213 321 性質(zhì)性質(zhì)3 3第第i行（或列）乘以行（或列）乘以k，記作，記作rik（或（或cik） 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)同一數(shù)k等于用數(shù)等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式7)4(982426321213412 DkDk7 kkkkkkkkkkD7)4(982426321213412 推論推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行

12、列式符號(hào)的外面。可以提到行列式符號(hào)的外面。第第i行（或列）提出公因子行（或列）提出公因子k，記作，記作rik（或（或cik）性質(zhì)性質(zhì)4 4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零此行列式等于零 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于相應(yīng)兩個(gè)行列式的和。和，則這個(gè)行列式等于相應(yīng)兩個(gè)行列式的和。 )()()( 2122222211111211nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD 21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa w

13、dzcybxa 21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa =+ wdzybxwdcyba wzyxdzbxwcyadcba jikcc 性質(zhì)性質(zhì)6 6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變行列式的值不變 以數(shù)以數(shù)k乘第乘第j列加到第列加到第i列上（記作列上（記作cikcj）（以數(shù)（以數(shù)k乘第乘第j行加到第行加到第i行上，記作行上，記作rikrj） 12222111111nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa )()()( 1

14、222221111111nnnjnjninnjjinjjiaakaaaaakaaaaakaaa )( ji kknjjjaaa.21+性質(zhì)性質(zhì)7 7行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和的代數(shù)余子式的乘積之和 ), 2 , 1( 1niAaDnkikik ), 2 , 1( 1njAaDnkkjkj 行列式行列式D按第按第i行的展開式行的展開式 行列式行列式D按第按第j列的展開式列的展開式 舉例舉例4000620103762841290101130005 按第四行展開按第四行展開4293010100300671152)1(34 493

15、0106115)3()1()2(32 按按第第二二行行展展開開12)1820()6(43651)1()6(22 按第二行展開按第二行展開 性質(zhì)性質(zhì)7 7), 2 , 1( 1niAaDnkikik 行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和的代數(shù)余子式的乘積之和 ), 2 , 1( 1njAaDnkkjkj 行列式行列式D按第按第i行的展開式行的展開式 行列式行列式D按第按第j列的展開式列的展開式 推論推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式

16、乘積之和等于零).( , 0).( , 022112211jijiAaAaAaAaAaAanjnijijijninjiji nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111 推論推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零).( , 0).( , 022112211jijiAaAaAaAaAaAanjnijijijninjiji njnjjjjjjAaAaAa 2211 列展開列展開按按niiiaaa.21第第j列列niaia2ia1=0要舉三階的例子來說明，否則

17、用上面的證明學(xué)生不易理解要舉三階的例子來說明，否則用上面的證明學(xué)生不易理解 性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即DDT 性質(zhì)性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào)：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號(hào) 性質(zhì)性質(zhì)4：若若ri=rj （或（或ci=cj ） 行列式值等于零行列式值等于零性質(zhì)性質(zhì)5：行列式分解：行列式分解 性質(zhì)性質(zhì)7：行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)的：行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和代數(shù)余子式的乘積之和 性質(zhì)性質(zhì)3：提取公因子：提取公因子性質(zhì)性質(zhì)6 ：cikcj（或（或rikrj） ，行列式的值不變，

18、行列式的值不變 作業(yè)作業(yè)P30: 4(2,4)，5（2，4，6）第三講第三講克萊姆法則和行列式的計(jì)算克萊姆法則和行列式的計(jì)算 l重點(diǎn)：重點(diǎn)： 1）記住克萊姆法則的成立條件）記住克萊姆法則的成立條件 2）掌握克萊姆法則計(jì)算）掌握克萊姆法則計(jì)算n元元n個(gè)方程個(gè)方程 的的 方程組解的公式方程組解的公式 3）掌握計(jì)算一般行列式的基本方法）掌握計(jì)算一般行列式的基本方法l難點(diǎn)：難點(diǎn)： 高階行列式求解的一般技巧與方法高階行列式求解的一般技巧與方法 復(fù)習(xí)舉例復(fù)習(xí)舉例 3351110243152113 D 3315112043512131 21 cc 72160112064802131 5 1412 rrrr

19、72160648011202131 32 rr 1510001080011202131 8 4 2423 rrrr 250001080011202131 45 34 rr40 上三角行列式上三角行列式 3111131111311113 D 3116131611361116 4321cccc 2000020000201111 6 141312 rrrrrr 3111131111311111 6 6 1 c48 aaaaadaaaaacaaaaabaD 000000000 )3 , 2 , 1(4aaaadcbrrkk abcd 上三角行列式上三角行列式下三角行列式下三角行列式說明說明1、等式中將

20、幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法的次序不能顛倒、等式中將幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法的次序不能顛倒 1221badbcarrdcdbcarrdcba 2112bdacdcrrbdacbarrdcba 1221bdacdbcarrrrdcba 錯(cuò)誤運(yùn)算錯(cuò)誤運(yùn)算 說明說明1、等式中將幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法的次序不能顛倒、等式中將幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法的次序不能顛倒 2、rirj與與rjri是有區(qū)別的，是有區(qū)別的，rikrj也不能寫作也不能寫作krjri 3、任何行列式均可用、任何行列式均可用rikrj把它化為上或下三角形行列式。把它化為上或下三角形行列式。同樣，利用同樣，利用cikcj也可把行列式

21、化為上或下三角行列式。也可把行列式化為上或下三角行列式。 4、求高階行列式的一般步驟是：、求高階行列式的一般步驟是： 根據(jù)行列式特點(diǎn)判斷是否可以利用簡(jiǎn)單幾步運(yùn)算化根據(jù)行列式特點(diǎn)判斷是否可以利用簡(jiǎn)單幾步運(yùn)算化成等于成等于0的形式：的形式： a. 某行（列）元素全為某行（列）元素全為0 b.兩行（列）完全相同兩行（列）完全相同 c.兩行（列）元素成比例兩行（列）元素成比例 只要滿足只要滿足a，b，c其中之一條，此行列式值即為其中之一條，此行列式值即為0。 不容易得到不容易得到所述形式或得不到所述形式或得不到所述形式，利用所述形式，利用性質(zhì)將其化為上或下三角形式性質(zhì)將其化為上或下三角形式 28053

22、21254227423 1222111baaccbbacacbcba 280532125422280521 rr041rr 1222211 23 baaccbabcabcacbcbarr 0 243rr 總結(jié)總結(jié) 1、特別要利用、特別要利用“將行列式的某一行的將行列式的某一行的k倍倍加到另一行的行列式值不變加到另一行的行列式值不變”的性質(zhì)的性質(zhì) 2、求行列式的值時(shí)利用性質(zhì)將其化為上或、求行列式的值時(shí)利用性質(zhì)將其化為上或下三角行列式是最一般的思路下三角行列式是最一般的思路 3、要多練習(xí)方能靈活掌握、要多練習(xí)方能靈活掌握 克萊姆法則克萊姆法則 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxa

23、xaxa22112222212111212111n個(gè)未知量個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組個(gè)方程的線性方程組若系數(shù)行列式不等于若系數(shù)行列式不等于0，即，即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD則有唯一解則有唯一解DDxDDxDDxDDxnnjj ,2211其中其中nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111, 111, 111 舉例舉例1 利用克萊姆法則求解方程組利用克萊姆法則求解方程組 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx 150650650651655454343232121x

24、xxxxxxxxxxxx5100065100065100065100065 D解：解：5106510656510650061)1(6510651065)1(55211111 展開后式展開前式cr0665656)114325(5 5100651006500061)1(65100651006510065)1(521111 展開r51001651000651000650000611 D4211116510650061)1(6510651065)1(5 后式下三角展開前式r15071296)114325( 6510065100650006)1(15100651006510065)1(115111 展開

25、c 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx51010651000650000601000152 D114510806565510651065)1(13111 后式下三角展開前式c6510065000610005)1(15100651006500061)1(125212 展開c 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx51100650000601000051001653 D703196619610051065)1(6510650061

26、4441 展開后式展開前式cc6500061000510065)1(15100650006100051)1(135313 展開c 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx51000601000051000651010654 D3956565510651065)1(65444 展開后式前式上三角c6100051006510065)1(15000610005100651)1(145414 展開c 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx11000051000651000651100655 D 510650061)1(6

27、510651065)1(5121111展開后式前式上三角r5100651006510065)1(11000510065100651)1(155515 展開c212)114325(1 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx665150711 DDx133229665114522 DDx353766570333 DDx1337966539544 DDx66521255 DDx所以原方程組的所以原方程組的解為解為化簡(jiǎn)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)是：化簡(jiǎn)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)是：1）選擇某一行（或列）中的一個(gè)元素通常是）選擇某一行（或列）中的一個(gè)元素通常是1，利利 用性質(zhì)六將這一行（或列）的其

28、它元素化為用性質(zhì)六將這一行（或列）的其它元素化為0，然后按這一行（或列）展開，繼續(xù)通常方法，一直然后按這一行（或列）展開，繼續(xù)通常方法，一直降到三階或二階；降到三階或二階；2）不斷利用性質(zhì)六、二、三將行列式化上或下）不斷利用性質(zhì)六、二、三將行列式化上或下三角行列式；三角行列式；3）盡量將行列式中的元素?cái)?shù)值變小；）盡量將行列式中的元素?cái)?shù)值變小；4）盡量使行列式中）盡量使行列式中0元素多些，并在同一行元素多些，并在同一行（或列）。（或列）。 150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx5100065100065100065100065 D510016510006

29、51000650000611 D51010651000650000601000152 D51100650000601000051001653 D51000601000051000651010654 D11000051000651000651100655 D D=det(5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5)D = 665 =665 D1=det(1 6 0 0 0;0 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;1 0 0 1 5)D1 = 1507 =1507 D2=det(5 1 0 0 0;1 0 6 0 0;0

30、0 5 6 0;0 0 1 5 6;0 1 0 1 5)D2 = -1145=-1145=703=-395=212用用MATLAB求解求解求得解為求得解為665150711 DDx13322922 DDx353733 DDx1337944 DDx66521255 DDx用用rref求解求解 rref(sym(5 6 0 0 0 1;1 5 6 0 0 0;0 1 5 6 0 0;0 0 1 5 6 0;0 0 0 1 5 1) ans = 1, 0, 0, 0, 0, 1507/665 0, 1, 0, 0, 0, -229/133 0, 0, 1, 0, 0, 37/35 0, 0, 0,

31、1, 0, -79/133 0, 0, 0, 0, 1, 212/665行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算1.三角形法三角形法2.降階法降階法3.升階法升階法4.和差乘積法和差乘積法5.遞推歸納法遞推歸納法6.換元法換元法l介紹高階行列式求解的一般技巧與方法介紹高階行列式求解的一般技巧與方法 nnnnnnn 11111111111111113211)(1)3()2(nnnnnnncccnnn 1111011110111101322/ )1(1)(2/ )2)(1(21三角形法三角形法 1111111111111111321nnnnn 12)2)(1(11111111111111112)1(1)( nnn

32、nnnnnn 12)2)(1(11111111111111112)1(1)( nnnnnnnnn12)2)(1(100000011112)1(1)(1,3 , 2 nnninnnnnnnnnnirr12)2)(1(12100000000011112)1(1)( nnnnnnnnnccc212)2)(1()1(2)1(1)( nnnnnnn12)1(211)(nnnnn三角形法三角形法 4321432143214321xaaaaxaaaaxaaaax升階法升階法 4321432143214321111100001xaaaaxaaaaxaaaax 4433221143211100010001000

33、1000114 , 3 , 2 , 1axaxaxaxaaaajcacjj )()()(44332211axaxaxax 按第一列展開按第一列展開)()(4433221axaxaxa )()(4433112axaxaxa )()(4422113axaxaxa)()(3322114axaxaxa 加邊升階法的一般方法加邊升階法的一般方法 nnnnnnnnnnnnnaaabaaabaaabaaaaaaaaa212222121121112122221112110001 該法關(guān)鍵是適當(dāng)選取該法關(guān)鍵是適當(dāng)選取b1，b2，bn 以便于計(jì)算右邊的行列式以便于計(jì)算右邊的行列式 和、差、乘積法和、差、乘積法 3

34、33232131323222121313212111cbacbacbacbacbacbacbacbacbaD 333232133232221231321211333232132322213132121cbacbacbcbacbacbcbacbacbcbacbaacbacbaacbacbaa 3332313232213132113332132321313211cbacbacbacbacbacbacbaaacbaaacbaaaD 3323132221312113231322132110cbcbacbcbacbcbaacbaacbaacba 同理，同理，D2也可再拆，得也可再拆，得D2=0 ，所以，

35、所以D=0 21DD 0 nnnnnnnbababababababababaD 212221212111和、差、乘積法和、差、乘積法 )2( n0000001110010010012121nnbbbaaa 2),)(2, 01221nbbaan 遞推歸納法遞推歸納法 10000010001000nD21)( nnDD 按第一行展開按第一行展開)(211 nnnnDDDD )(1221DDDDnnn 2221, DDnnnDD 1)(211 nnnnDDDD nnnDD 1 11nnnD同理由展開式得同理由展開式得 總結(jié)總結(jié)1.三角形法是最基本，最實(shí)用的方法三角形法是最基本，最實(shí)用的方法2.降階

36、法與遞推定義相適應(yīng)降階法與遞推定義相適應(yīng)3.升階法適合于相同元素比較多的行列式升階法適合于相同元素比較多的行列式4.和差乘積適合于形式復(fù)雜的行列式和差乘積適合于形式復(fù)雜的行列式5.遞推歸納法適于有規(guī)律的行列式遞推歸納法適于有規(guī)律的行列式6.換元法要求較高，一般不易掌握換元法要求較高，一般不易掌握 作業(yè)：作業(yè)：lP32：8(1,3) 第四講第四講矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算 1.矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘2.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置3.方陣的行列式方陣的行列式 單位：件單位：件 產(chǎn)品產(chǎn)品商店商店P(guān)1P2P3P4S1506010100S2500334136S328761052引例引例 210576283

37、64133500100106050 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa普遍形式普遍形式 其中其中aij為工廠向第為工廠向第i店發(fā)送第店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量種產(chǎn)品的數(shù)量 單位：件單位：件 產(chǎn)品產(chǎn)品商店商店P(guān)1P2P3P4S1456220101S2489354033S330751028一月一月二月二月81027530334035489101206245A1=A2=兩個(gè)月的總數(shù)兩個(gè)月的總數(shù)=A1+A2 若每個(gè)月都與一月份一樣若每個(gè)月都與一月份一樣2105762836413350010010605012 A1=則一年的數(shù)量則一年的數(shù)量210576283641335

38、001001060501221210512761228123612411233125001210012101260125012數(shù)乘數(shù)乘 AaaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211第四講第四講矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算 1.矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘2.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置3.方陣的行列式方陣的行列式 323122211211232221131211bbbbbbaaaaaaAB 矩陣相乘矩陣相乘CcbbbaaaABijsjjjisii 2121 311321121111bababa 321322121211bababa 312321221121bababa 3223222212

39、21bababa 322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababanmijnmnssmCBAAB )(c skkjiksjisjijiijbabababac12211（i=1,2,m；j=1,2,n） 產(chǎn)品產(chǎn)品商店商店P(guān)1P2P3S1a11a12a13S2a21a22a23產(chǎn)品產(chǎn)品單價(jià)單價(jià)單件單件重量重量P1b11b12P2b21b22P3b31b32 232221131211aaaaaaA 323122211211bbbbbbB向二個(gè)商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量為向二個(gè)商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量為

40、商店商店總價(jià)總價(jià)總重量總重量S1a11 b11+ a12 b21+a13 b31a11 b12+ a12 b22+a13 b32S2a21 b11+ a22 b21+a23 b31a21 b12+ a22 b22+a23 b32商店商店總價(jià)總價(jià)總重量總重量S1a11 b11+ a12 b21+a13 b31a11 b12+ a12 b22+a13 b32S2a21 b11+ a22 b21+a23 b31a21 b12+ a22 b22+a23 b32 32232222122131232122112132132212121131132112111122211211bababababababab

41、ababababaccccC 323122211211232221131211bbbbbbaaaaaaABBAC 322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa舉例舉例 1111A 1111BAB 2222 1111 1111 0000 1111 1111 )1(11)1()1(11)1()1()1(11)1()1(11BA 1)1()1()1()1()1(1)1(11)1(1)1(111220 一般一般AB不一定與不一定與BA相等。相等。 在在A0且且B0時(shí)，時(shí)，AB可能為零矩陣?？赡転榱憔仃?。

42、 當(dāng)當(dāng)AB0時(shí)一般不能推出時(shí)一般不能推出A0或或B0； 同樣，當(dāng)同樣，當(dāng)ABAC時(shí)，即使時(shí)，即使A0也不一定有也不一定有BC 64322111221110222211ACAB 132132A 40121321B舉例舉例AB有意義時(shí)，有意義時(shí)，BA不一定有意義。不一定有意義。 舉例舉例 nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111nmijmnmmnnaaaaaaaaaaA )(212222111211 nxxxX21 myyyY21AXY 線性變換線性變換變換矩陣變換矩陣應(yīng)變量列矩陣應(yīng)變量列矩陣自變量列矩陣自變量列矩陣變換關(guān)系可寫為變換關(guān)

43、系可寫為 舉例舉例 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 mnnmnnaaaaaaaaaA212222111211 mbbbb21線性方程組線性方程組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣常數(shù)列矩陣常數(shù)列矩陣 nxxxX21變量列矩陣變量列矩陣bAX 可以表示為可以表示為 232221131211aaaaaaAAaaaaaaaaaaaaAE 2322211312112322211312113100010001 AaaaaaaaaaaaaAE 2322211312112322211312112 1001 EAAEA 舉例舉例單位矩陣單位矩陣 11100

44、nEE或或 10012E 1000100013EMATLAB命令命令 eye()課課堂堂練練習(xí)習(xí) 615421 、 241231112、課課堂堂練練習(xí)習(xí) 204121210131431104123、課課堂堂練練習(xí)習(xí) 3213332312322211312113214xxxaaaaaaaaaxxx、 nmijaA )(mnijTbA )(jiijab 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 113021A 101231TA（1）(AT)TA；（2）(AB)TATBT（3）(A)TAT（4）(AB)TBTAT MATLAB命令命令 “”或或“.”“conj”), 2 , 1;, 2 , 1(mjni 如：如：運(yùn)算規(guī)

45、律：運(yùn)算規(guī)律：舉例：舉例： 211 A 124311012B已知已知，求求(AB)T。 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211方陣的行列式方陣的行列式 212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA AA T)1(AAn )2(BAAB )3( 運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 方陣的行列式應(yīng)用實(shí)例方陣的行列式應(yīng)用實(shí)例AA T)1(AAn )2(BAAB )3( )2(212221212111 nbababababababababaDnnnnnnn0000001110010010012121nnnbbbaaaD 2),)(2, 01221nbbaan 方陣的行列式應(yīng)用實(shí)例方陣的行列

46、式應(yīng)用實(shí)例AA T)1(AAn )2(BAAB )3( abcdbadccdabdcbaD abcdbadccdabdcbaAAD TTAAAAAAD 222222)(dcbaD 解：令解：令，則，則從而求得從而求得總結(jié)總結(jié)l1、要區(qū)別矩陣的數(shù)乘、點(diǎn)乘、矩陣的乘法、要區(qū)別矩陣的數(shù)乘、點(diǎn)乘、矩陣的乘法l2、要掌握矩陣相乘的基本運(yùn)算規(guī)律、要掌握矩陣相乘的基本運(yùn)算規(guī)律l3、要掌握矩陣轉(zhuǎn)置規(guī)律、要掌握矩陣轉(zhuǎn)置規(guī)律l4、要掌握矩陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律、要掌握矩陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律作業(yè)作業(yè)lP63-64：2，3, 6，第五講第五講 逆矩陣逆矩陣1.逆矩陣的定義逆矩陣的定義2.逆矩陣存在的唯一性逆矩陣存在的唯

47、一性3.逆矩陣的定義計(jì)算公式逆矩陣的定義計(jì)算公式4.逆矩陣的計(jì)算和應(yīng)用逆矩陣的計(jì)算和應(yīng)用 232221131211aaaaaaAAaaaaaaaaaaaaAE 2322211312112322211312113100010001 AaaaaaaaaaaaaAE 2322211312112322211312112 1001 EAAEA 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)單位矩陣單位矩陣 11100nEE或或 10012E 1000100013EMATLAB命令命令 eye() 性質(zhì)性質(zhì)7 7), 2 , 1( 1niAaDnkikik 行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)行列式等于它任一行（或列）元素與它對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子

48、式的乘積之和的代數(shù)余子式的乘積之和 ), 2 , 1( 1njAaDnkkjkj 行列式行列式D按第按第i行的展開式行的展開式 行列式行列式D按第按第j列的展開式列的展開式 推論推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零).( ,0).( ,022112211jijiAaAaAaAaAaAanjnijijijninjiji 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)逆矩陣逆矩陣bax 引子引子baabx1 BAX ?1BAABX BAX1 111 aaaaEAAAA 11特點(diǎn)特點(diǎn)這樣的這樣的A是唯一的是唯一的 1121

49、23234A 121201111BEBAAB BA 1提示：可以進(jìn)行提示：可以進(jìn)行MATLAB演示演示MATLAB命令命令 invMATLAB有多少種方法在等著你求逆矩有多少種方法在等著你求逆矩陣陣 如何求逆矩陣如何求逆矩陣*11AAA0A條件條件 A是是n階方陣，且階方陣，且 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*其中其中A的伴隨矩陣的伴隨矩陣ijA為第為第i行行j列元素的代數(shù)余子式值列元素的代數(shù)余子式值 11151331132A03390315966 11151331132 A此矩陣無此矩陣無逆矩陣逆矩陣提示：可以進(jìn)行提示：可以進(jìn)行MATLAB演示演示 nnnnnnAA

50、AAAAAAAA212221212111*11AAA 343122321B02124182466 343122321 B2 3412 )1(1111 B6 3432 )1(1221 B4 1232 )1(1331 B同理同理 B123，B226，B325，B132 ，B232 ，B332 222563462332313322212312111*BBBBBBBBBB 111253232311*1BBB提示：可以進(jìn)行提示：可以進(jìn)行MATLAB演示演示 1.若若A可逆，則可逆，則A1亦可逆，且亦可逆，且(A1)1A2.若若A可逆，數(shù)可逆，數(shù) ，則，則 可逆，且可逆，且 3.若若A，B為同階矩陣且均可

51、逆，則為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且亦可逆，且 (AB)1B 1 A14.若若A可逆，則可逆，則AT亦可逆，且亦可逆，且(AT) 1 (A 1 )T運(yùn)算規(guī)律：運(yùn)算規(guī)律： 0 A 111)( AA 提示：可以進(jìn)行提示：可以進(jìn)行MATLAB演示演示舉例舉例 343122321A 3512B 130231C 111253232311A 25131B 2513 130231 1112532323111CBAX 410410122513 202011求矩陣求矩陣X使使AXBC成立。成立。01 , 02 BA。故知。故知A，B都可逆，且都可逆，且于是于是解解：若若A1，B1存在，則用存在，則用A1左

52、乘上式，左乘上式，B1右乘上式，有右乘上式，有 A1AXBB1A1C B1 ，即即 XA1C B1 ，由于由于 321332123211232xxxyxxxyxxxy 111123121A 321xxxX 321yyyY012 111123121 A 324112131031041418314040331211211AA已知線已知線性變換性變換解解：設(shè)設(shè)所給線性變換寫成所給線性變換寫成矩陣形式矩陣形式 Y=AX舉舉例例試解出試解出x1，x2，x3，得到，得到從從y1，y2，y3到到x1，x2，x3的線性變換。的線性變換。由于由于 所以所以X=A1Y 321332123211232xxxyxxx

53、yxxxy 32131213211324112131314141 32411213103104141yyyyyyyyyyYAX 3213312211324112131314141yyyxyyxyyx已知線已知線性變換性變換求得求得 即從即從y1，y2，y3到到x1，x2，x3的線性變換為的線性變換為我們稱此線性變換為原線我們稱此線性變換為原線性變換的逆變換。性變換的逆變換。舉舉例例試解出試解出x1，x2，x3，得到，得到從從y1，y2，y3到到x1，x2，x3的線性變換。的線性變換。舉舉例例0322 EAAEEAA3)2( EEAA 32321EAA EAA322 221121)32()()(

54、)32(EAAAEA 9279442AEEAA 證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?，所以，所以，即，即，由逆矩陣的定義知：，由逆矩陣的定義知：又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以，所以A0322 EAAAEA32 1 A1)32( EA設(shè)方陣設(shè)方陣滿足滿足，證明：，證明：及及都可逆，并用都可逆，并用的表達(dá)式表示的表達(dá)式表示及及A。總結(jié)總結(jié)l1、逆矩陣的唯一性。、逆矩陣的唯一性。l2、求逆矩陣的公式，包括方陣的行列式值、求逆矩陣的公式，包括方陣的行列式值、 伴隨矩陣。伴隨矩陣。l3、利用逆矩陣求解和化簡(jiǎn)時(shí)要注意左乘與右、利用逆矩陣求解和化簡(jiǎn)時(shí)要注意左乘與右乘是不一樣的。乘是不一樣的。作業(yè)作業(yè)lP66：13 ，15（4）思考題：

55、思考題：P65：11；P66：14，18第六講第六講矩陣的初等變換矩陣的初等變換l1.高斯消元法思想；高斯消元法思想；l2.初等行變換方法（難點(diǎn)）初等行變換方法（難點(diǎn)）l3.矩陣的秩矩陣的秩l4.初等行變換求逆矩陣初等行變換求逆矩陣 解如下方程組解如下方程組 )3( 12)2( 5322)1( 42232321321xxxxxxxx解：解： )3( 12)2( 5322)1( 42232321321xxxxxxxx )3( 12 )2( 44 2)1( 33 )3()2()3()1(323131 xxxxxx )3( 22 )2( 12 )1( 33 )2()3()1(2)2(33231 xx

56、xxx )3( 1 )2( 2 2 )1( 0 )3()2()3(3)1()2()3(321 xxx )3( 1 )2( 1 )1( 0 2)2(321 xxx 1 10321xxx求得相應(yīng)求得相應(yīng)的解為的解為分析總結(jié)消元法的求解方法與特點(diǎn)：分析總結(jié)消元法的求解方法與特點(diǎn)： 1) 把一個(gè)方程的把一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程；倍加到另一個(gè)方程； 2) 互換兩個(gè)方程的位置；互換兩個(gè)方程的位置； 3) 用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程三種類型的變換統(tǒng)稱為初等行變換。三種類型的變換統(tǒng)稱為初等行變換。用矩陣形式寫出消元求解過程用矩陣形式寫出消元求解過程 )3( 12)2( 5322)1( 4

57、2232321321xxxxxxxx 112053224221B 11204402330132 31rrrr其增廣其增廣矩陣為矩陣為 220011203301232 12rrrr 1100202000013)21(3231 3rrrrr 110010100001 21 2r 1 10321xxx對(duì)應(yīng)的方程組即解為：對(duì)應(yīng)的方程組即解為： 行階梯形矩陣行階梯形矩陣: 可畫出一條階梯線，線下方全為可畫出一條階梯線，線下方全為0 ；每個(gè)臺(tái)；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的

58、第一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非一個(gè)元素為非零元，也就是非零行的第一個(gè)非零元。零元。行最簡(jiǎn)形矩陣：行最簡(jiǎn)形矩陣： 非零行的第一個(gè)非零元為非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所，且這些非零元所在的列的其他元素都為在的列的其他元素都為0的行階梯形矩陣的行階梯形矩陣 。矩陣的矩陣的初等行變換：初等行變換： 1、對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)、對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)i，j兩行，記作兩行，記作rir j） 2、以數(shù)、以數(shù)k0乘某一行中的所有元素（第乘某一行中的所有元素（第i行乘行乘k，記，記rik） 3、把某一行所有元素的、把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去（第（第j行的行的k

59、倍加到第倍加到第i行上，記作行上，記作rik r j）判斷如下矩陣是否為行階梯形矩陣，行最簡(jiǎn)形矩判斷如下矩陣是否為行階梯形矩陣，行最簡(jiǎn)形矩陣陣 100011005410962143rr 200031605072)1( 000400320851)2( 1100100054109621)3( 310000031080001)4(是行階梯形是行階梯形不是不是是行階梯形是行階梯形是行最簡(jiǎn)形是行最簡(jiǎn)形 100001000010000196254432143243rrrrrrrrr行階梯形行階梯形行最簡(jiǎn)形行最簡(jiǎn)形舉例舉例 4224422213243214324321321xxxxxxxxxxxxxx 42

60 4211244120101322211121rr 02110441203435022111221412rrrr 3435044120021102211142rr 36200483000211022111522423rrrr 1200012100021102211123443rrrr 12000001001011030111414243rrrrrr 12000001001001020001213132rrrrrr 2110000010010010200012)1()1(431rrr 210124321xxxx利用矩陣的初等行變換求方程組的解利用矩陣的初等行