線性代數(shù)44節(jié)(3學(xué)分)

1、14 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組齊次線性方程組AX=0. 性質(zhì)性質(zhì). 1212(1) ,0, 0.AXAX 若是的解 則也是的解(2)0, , 0.AXkkAX若 是的解為實(shí)數(shù) 則也是的解11110, ,(0), 0,.ttttSAXSAXAXXkkkk設(shè) 是的解集是 的最大無關(guān)組 稱之為的基礎(chǔ)解系 則的通解為其中是任意實(shí)數(shù)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理:證:(1) 1200AA1212()0.AAA(2)0A()0.A kkA證: 1110,.tttkkAXkk由上面性質(zhì)知是的解 其中是任意實(shí)數(shù),S反之 若1,.tS因?yàn)槭?的最大無關(guān)組1

2、,.t所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義知 可由線性表示2定理定理7. (), 0.m nm nR ArAXSnr設(shè)則齊次線性方程組的解集的秩為注意注意:. ,0. .m nAXSnr基礎(chǔ)解系不唯一 因?yàn)楦鶕?jù)最大無關(guān)組的定義 的解集 的任何個(gè)線性無關(guān)的向量組為基礎(chǔ)解系 所以通解的形式也不唯一證: 因?yàn)榻饧闹仁腔A(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù).所以根據(jù)上面的討論我們知道齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是n-r,所以解集的秩是n-r.3例例1. 123412341234030.230 xxxxxxxxxxxx求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解解 110100120000A 行初等變換124342xxxxx1

3、311,.02xx 求得=121110, . 0201 令241001xx 分別令=,.12,. 則為基礎(chǔ)解系1211221234( ,).xxccc cxxR通解為12341123. . 1224xxxx 分別令和求得和122311, 2412 令12,. 則也是基礎(chǔ)解系4例例2. (3學(xué)分) 12,0.mCX 設(shè)為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系112223112, , , , ,. , ,0.mmmstststs ts tCX 其中為實(shí)常數(shù)問滿足什么關(guān)系時(shí)也是的基礎(chǔ)解系1212(,)(,)mmK 解000000000000sttstKsts其中1212,0,.是的基礎(chǔ)解系線性無關(guān)mmCX 121

4、2(,), (,). .mmBABAK 記則| 0, K 若( )( ),R BR Am則12,.m 所以線性無關(guān)| 0, K 若( )(),R BR Km則12,.m 所以線性相關(guān)12,| 0.mK 所以線性無關(guān)5例例3. 0. ( )( ).m nn lABR AR Bn設(shè)證明證: 1(,).lB設(shè)0AB則1(,)lA1(,)lAA01,.iAil 所以對任意的0.AXS設(shè)的解集為1,.lS則1,.lS所以可由 線性表示所以1,lSRR( )R B ( ).nR A( )( ).R AR Bn所以6例例4.(Ex25) *(2), , AnnAA設(shè) 為 階矩陣為 的伴隨矩陣 證明*, (

5、),()1, ( )1,0, ( )2.nR AnR AR AnR An若若若證: 11(,),:,nnnA回憶 若則線性無關(guān)1(,)0( )| 0.nXR AnAA只有零解可逆*|.AAA E(1)( ),R An若*1|.AA A所以*.A所以可逆*().R An所以(2)( )1,| 0.R AnA若則*0.AA 所以*( )().R AR An所以*()1.R A所以( )1,R An因?yàn)?.AnD所以 有一個(gè)非零的階子式 記為,*0.A 所以*()1.R A所以*()1.R A所以(3)( )2,R An若1.An則 的所有的階子式為零*0.A 所以*()0.R A所以| 0,.AA

6、 則 可逆 且,DA是 的某個(gè)元素的余子式7例例5. (1)0(2)0(3)0(.)TTAAAA A第二章2.2節(jié)例題( )()().TTR AR A AR AA證明例例6. 證: ,.TAmnA Ann設(shè) 為 行 列的矩陣 則為 行 列的矩陣0( ).AXnR A的解集的秩為0().TTA AXnR A A的解集的秩為( )()( )(),.TTR AR A AnR AnR A A所以要證只要證00.TAXA AX所以只要證與的解集一樣00,XAX 若是的解00.AX 則00.TA AX 所以00,TXA AX 反之若是的解00.TA AX 則00.AX 要證00TA AX 000TTX A

7、 AX00()TAXAX00.AX00.TAXA AX所以與同解( )().TR AR A A所以()TR AA所以()TTTR AA()TR A( ).R A8例例7. (3學(xué)分) , , .AmnnmAX設(shè) 為矩陣線性方程組有唯一解, .TA AAX證明是可逆矩陣 并求的解證: ,AX因?yàn)橛形ㄒ唤? )( ,).R AR An所以()( ),TR A AR An所以.TA A所以可逆0AX則0TTA AXA,TA A因?yàn)榭赡?10()().TTTTXA AA AXA AA所以0.XAX設(shè)是的唯一解9非齊次線性方程組非齊次線性方程組性質(zhì)性質(zhì). 1212(1)(0). 0(AXAX 設(shè)和都是的

8、解 則是稱為(2)(0), 0. .AXAXAX 設(shè) 是的解是的解 則是的解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理:*12(0), , ,0n rAXAX 取定的某一個(gè)解設(shè)是的證: (1)1212()0.AAA0 AA().AAA12AA(2)證: *111,+ +,.n rn rn rkkAXkk由上面性質(zhì)知是的解 對任何實(shí)數(shù),AX反之設(shè) 為的解*0.AX則為的解*121122, , ,+ .n rn rn rl lllll所以存在實(shí)數(shù)使得*1122()+ .n rn rlll所以*1122. + +,n rn rAXXkkk基礎(chǔ)解系 則的通解為12, ,.n rk kk其

9、中為任意實(shí)數(shù)).AX的導(dǎo)出方程組 的解(0)AX 10例例8. 123123(Ex27)3,2132, , . .4354 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 是它的三個(gè)解向量 且求該方程組的通解解: (0) .AX設(shè)0( )431.AXnR A則的解集的秩是1232()0.AX所以是的基礎(chǔ)解系A(chǔ)XX所以的通解是.k其中 是任何實(shí)數(shù)1123(2()k23344556,k 11例例9. 12342341231234(Ex30)(,), , 2, . .AAX 設(shè)線性無關(guān)求的通解1232,因?yàn)?234,. 所以線性相關(guān)所以( )3.R A 所以0( )431.AXnR A所以的解集的秩是123

10、20.1210A12010.AX所以是的基礎(chǔ)解系解: 234, 因?yàn)榫€性無關(guān)234(,)3.R 所以1234.11121110,(.)AXXkk 所以的通解是是任意實(shí)數(shù)3234(,)R ( )4.R A 1111A 12例例10.(Ex31) *,m nAX設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解1 ,0.n rAX是的基礎(chǔ)解系*1*1:(1),;(2),.n rn r 證明線性無關(guān)線性無關(guān)證: (1) 反證法. *1,.n r 設(shè)線性相關(guān)1,n r因?yàn)榫€性無關(guān)*1,.n r所以可由線性表示*0.A所以*.A但0.所以.矛盾(2) .用定義證*121112100.n rn rn rkkkkkk *1211

11、0.n rn rkkk 下面假定*1212 11()0.n rn rn rkkkkk 則*1,n r 因?yàn)榫€性無關(guān)121210.n rn rkkkkk 所以1210.n rkkk 所以*1,.n r 所以線性無關(guān)只要證13例例11. (Ex32) 1, sAXs設(shè)是非齊次線性方程組的 個(gè)解1121 1, 1. .sssskkkkkkk為實(shí)數(shù) 滿足證明也是它的解例例12.(Ex33) 11( ). ,n rrR A 設(shè)設(shè)是非齊次線性方程組1 111111. , 1.m nn rn rn rAXnrkkkk 的個(gè)線性無關(guān)的解 試證它的任一解可表示為其中:證1 1()ssA kk12()skkk11

12、ssk Ak A證: 2111,0.n rAXnr 是的個(gè)解11,n r 因?yàn)榫€性無關(guān)2111,.n r 所以線性無關(guān)2111,0.n rAX 所以是的基礎(chǔ)解系112111()()n rn rAXXll 所以的通解為11121(1).n rn rn rllll .14, ( )1.m nAXnR A若非齊次線性方程組有解 則它的解集的秩是結(jié)論結(jié)論:證( ).rR A記11101,n rAXnr 由例知存在個(gè)線性無關(guān)的解.1112,n rAX 由例知= 的任何解可由線性表示.11,.n rAX 所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價(jià)定義知道是的解集的一個(gè)最大無關(guān)組1.AXnr所以的解集的秩是150. (.)m nAX求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 重點(diǎn)111,1,100100000000n rrr n rbbbbB不妨設(shè)( ). .R Ar AB 行初等