數(shù)列通項公式的求法課件學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)列數(shù)列(shli)通項公式的求法課件通項公式的求法課件第一頁，共41頁。等差數(shù)列等差數(shù)列(dn ch (dn ch sh li)sh li)的通項公式：的通項公式： 等比數(shù)列等比數(shù)列(dn b sh (dn b sh li)li)的通項公式：的通項公式： 1(1)naand11nnqaa第1頁/共40頁第二頁，共41頁。 1 1、觀察法、觀察法 觀察法就是觀察數(shù)列特征，橫向看各項之間的觀察法就是觀察數(shù)列特征，橫向看各項之間的結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n n的內(nèi)在聯(lián)系。適用于一的內(nèi)在聯(lián)系。適用于一些較簡單些較簡單(jindn)(jindn)、特殊的數(shù)列。、特殊的數(shù)列。 第2頁

2、/共40頁第三頁，共41頁。例例1 1 寫出下列寫出下列(xili)(xili)數(shù)列的一個通項公式數(shù)列的一個通項公式（1 1） -1 -1，4 4，-9-9，1616，-25-25，3636， ；解：解： （如果（如果(rgu)(rgu)數(shù)列是正負相間數(shù)列是正負相間的，把相應(yīng)的關(guān)于的，把相應(yīng)的關(guān)于 的式子乘以的式子乘以 或或 就可以了）就可以了） （2 2） 2 2， 3 3， 5 5， 9 9， 17 17， 33 33， ；解：解：na121nna21nannn111nn第3頁/共40頁第四頁，共41頁。1 1、累加法、累加法 若數(shù)列若數(shù)列 , ,滿足滿足其中其中 是可求和數(shù)列，那么可用逐

3、項作差后累加是可求和數(shù)列，那么可用逐項作差后累加的方法求的方法求 ，適用，適用(shyng)(shyng)于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。 na)(1Nnnfaann)(nfna第4頁/共40頁第五頁，共41頁。 例例1 1 已知數(shù)列已知數(shù)列(shli) ,(shli) ,滿足滿足 ，求數(shù)列，求數(shù)列(shli) (shli) 的通項公式。的通項公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnnaaaaaaaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得則則 121naann所以數(shù)列所以數(shù)列(shli) 的通項公式的通項公式na2nan第5頁

4、/共40頁第六頁，共41頁。2 2、累乘法、累乘法(chngf)(chngf) 若數(shù)列若數(shù)列 , ,滿足滿足(mnz)(mnz)其中數(shù)列其中數(shù)列 前前n n項積可求，則通項項積可求，則通項 可用可用逐項作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。逐項作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。 )(1Nnnfaannna)(nfna第6頁/共40頁第七頁，共41頁。例例2 2、已知、已知 ， , ,求通項公式求通項公式(gngsh) (gngsh) 31annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nnnnaa2)1(2

5、3nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa第7頁/共40頁第八頁，共41頁。3 3、 利用數(shù)列前利用數(shù)列前 項和項和 求通項公式求通項公式(gngsh)(gngsh)：數(shù)列前數(shù)列前 項和項和 與與 之間有如下關(guān)系：之間有如下關(guān)系： n.,) 2(111nnnnnaSnSSaSa求由此即可由nnSnSnna第8頁/共40頁第九頁，共41頁。)(1(31*NnaSnnna2a1a例例 4 4、設(shè)數(shù)列、設(shè)數(shù)列 的前項的前項(qin xin(qin xin) )的和的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求證數(shù)列）、求證數(shù)列 為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。 na) 1(31)

6、1(311) 2(11nnnnnaaSSan時，、當(dāng)) 1(31nnaS解解(1)(1)、由由 ，得，得 ) 1(3111aa41),1(31) 1(31212221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比數(shù)列，公比為是首項所以2121na第9頁/共40頁第十頁，共41頁。例例3 3 已知數(shù)列已知數(shù)列 的前的前 項和項和 求證：求證： 為等比數(shù)列為等比數(shù)列(dn(dn b sh b sh li)li)并求通項公式。并求通項公式。nan12nnaSna1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比數(shù)列，公比為為首項即21na第10頁

7、/共40頁第十一頁，共41頁。4 4、構(gòu)造、構(gòu)造(guzo)(guzo)等差、等比數(shù)列法等差、等比數(shù)列法 對于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜對于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜(fz)(fz)的數(shù)列，可通過的數(shù)列，可通過對遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一個新的對遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一個新的等比或等差數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為前面已解決的幾等比或等差數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為前面已解決的幾種情形來處理。種情形來處理。（1 1）構(gòu)造）構(gòu)造(guzo)(guzo)等差列法等差列法 pqaaqappaannnnn1111則若第11頁/共40頁第十二頁，共41頁。例例5 5、已知數(shù)列、已知數(shù)列 中，中， ，（1 1

8、）、求證）、求證 是等差數(shù)列是等差數(shù)列(dn(dn ch ch sh li)sh li)（2 2）、求）、求 的通項公式的通項公式221nnnaaanana11a1na解：解：22)1 (1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首項首項(shu xin(shu xin) )為為1 1，公差為，公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列1na212121)1(11)2(nnan、12nan即第12頁/共40頁第十三頁，共41頁。變式題：變式題： 已知數(shù)列已知數(shù)列(shli)an(shli)an中，中，a1=1,a1=1, an+1+3an+1an-an=0, an+1+3an

9、+1an-an=0, 求數(shù)列求數(shù)列(shli)an(shli)an的通項的通項公式公式. .111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：1113naa 是是以以為為首首項項，以以 為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列111(1)31(1)332nnaann 132nan 第13頁/共40頁第十四頁，共41頁。（1 1）若）若c=1c=1時，數(shù)列時，數(shù)列anan為等差數(shù)列為等差數(shù)列; ;（2 2）若）若d=0d=0時，數(shù)列時，數(shù)列anan為等比數(shù)列為等比數(shù)列; ;（3 3）若）若c1c1且且d0d0時，數(shù)列時，數(shù)列anan為線性遞推數(shù)列，為線性遞推數(shù)列，其通項可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來

10、求其通項可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求. .方法方法1 1：待定系數(shù)法：待定系數(shù)法 設(shè)設(shè)an+1+m=c( an+m),an+1+m=c( an+m),得得an+1=c an+(c-1)m, an+1=c an+(c-1)m, 與題設(shè)與題設(shè)an+1=c an+d,an+1=c an+d,比較系數(shù)得比較系數(shù)得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此數(shù)列因此數(shù)列 構(gòu)成構(gòu)成(guchng)(guchng)以以 為首項，以為首項，以c c為公比為公比的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，這種方法類似這種方法類似(li s)(li s)于換元法于換元法, , 主

11、要用于形如主要用于形如an+1=c an+1=c an+d(c0,a1=a)an+d(c0,a1=a)的已知遞推關(guān)系式求通項公式。的已知遞推關(guān)系式求通項公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（構(gòu)造（構(gòu)造(guzo)法或待定系數(shù)法）法或待定系數(shù)法）6.6.輔助數(shù)列法輔助數(shù)列法第14頁/共40頁第十五頁，共41頁。方法2： 方法2： 1,nnacad 當(dāng)當(dāng)2 2時時1,nnnacad 兩式相減，得：兩式相減，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2數(shù)數(shù)列列是是以以為為首首項項，以以

12、為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 第15頁/共40頁第十六頁，共41頁。方法四：歸納、猜想方法四：歸納、猜想(cixing)(cixing)、證明、證明. . 先計算出先計算出a1,a2,a3;a1,a2,a3; 再猜想再猜想(cixing)(cixing)出通項出通項an;an; 最后用數(shù)學(xué)歸納法證明最后用數(shù)學(xué)歸納法證明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacadc ca

13、ddc ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法方法(fngf)(fngf)三：迭代法三：迭代法 由由 遞推式遞推式直接直接(zhji)(zhji)迭代得迭代得第16頁/共40頁第十七頁，共41頁。例例6:6:已知數(shù)列已知數(shù)列(shli)an(shli)an中，中，a1=3,an+1=2an+3,a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列求數(shù)列(shli)(shli)的通的通項公式項公式解法解法1 1：由：由an+1=2an+3an+1=2an+3得得 an+1+3=2 an+1+3=2（an+3an+3）所以所以

14、an+3an+3是以是以a1+3a1+3為首項，以為首項，以2 2為公比為公比(n b)(n b)的等比數(shù)列，所以的等比數(shù)列，所以:an+3=:an+3=（ a1+3 a1+3） 2n-1 2n-1故故an=6an=62n-1-32n-1-3解法解法2 2：因為：因為(yn wi)an+1=2an+3(yn wi)an+1=2an+3，所以，所以n1n1時，時，an=2an-1+3an=2an-1+3，兩式相減，得：，兩式相減，得：an+1 - an=2(an-an-1).an+1 - an=2(an-an-1).故故an-an-1an-an-1是以是以a2-a1=6a2-a1=6為首項，以為

15、首項，以2 2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. . an-an-1=(a2-a1)2n-1=6an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1,2n-1,an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1) =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)第17頁/共40頁第十八頁，共41頁。2*110(),6263.23nnna xaxnNa 變變式式題題：設(shè)設(shè)二二次次方方程程有有兩兩根根滿滿足足求求證證：是是等等比比數(shù)數(shù)列列。n+1+ =1n

16、naaa 證證：依依題題意意，由由韋韋達達定定理理可可知知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa 又又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa 是是以以 為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列第18頁/共40頁第十九頁，共41頁。例例7.7.已知已知，111,1nnanana 求數(shù)列求數(shù)列(shli)an(shli)an的通項公式的通項公式. .解解：11,nnanan 11,nnanan （1）（1）11(1),nnan a 又又11a 即即110a 10na 由由得得：，11(1)1nnana 故故由由累累乘乘法法，得得/p>

17、11(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa 1(1)! (1)1nana 1(1) (2) (3)2 1 (1)nnna 第19頁/共40頁第二十頁，共41頁。7.7.逐差法逐差法 形如形如an+1+an=f(n)an+1+an=f(n)的數(shù)列的數(shù)列. .（1 1）若）若an+1+an=d an+1+an=d （d d為常數(shù)），則數(shù)列為常數(shù)），則數(shù)列 an an為為“等和數(shù)列等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為，它是一個周期數(shù)列，周期為2 2，其通，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項分奇數(shù)項和偶數(shù)(u sh)(u sh)項來討論項來討論; ;（2 2）若）若f(n)f(n)為為n n的函數(shù)（非常數(shù)）

18、時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為化為an+1-an=f(n) an+1-an=f(n) 型，通過累加來求出通項型，通過累加來求出通項; ;或用逐或用逐差法差法( (兩式相減兩式相減) )轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為an+1-an-1=f(n)-f(n-1),an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶分奇偶項來分求通項項來分求通項. .第20頁/共40頁第二十一頁，共41頁。例例8. 8. 數(shù)列數(shù)列(shli)an(shli)an滿足滿足a1=0, a1=0, an+1+an=2n, an+1+an=2n, 求數(shù)列求數(shù)列(shli)an(shli)an的通項公的通項公式式. .分析1

19、.構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型分析1.構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型1( )nnaaf n 解解法法1 1：令令( 1)nnnba 則則111111( 1)( 1)( 1)() ( 1)2nnnnnnnnnnbbaaaan 時時111222111( 1) 2(1)( 1)2(2)2 ,( 1) 2 10nnnnnnbbnbbnnbbba 1322 ( 1) (1) ( 1) (2)( 1) 2 ( 1) 1nnnbnn 各式相加得：各式相加得：第21頁/共40頁第二十二頁，共41頁。當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時時，22 (1)( 1)2nnnbnn 此此時時，nnabn 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時時，12()12nnnbn 此時，此時，nn

20、ba 1nan 為為奇奇數(shù)數(shù)故故為為偶偶數(shù)數(shù)1,.nnnan n 第22頁/共40頁第二十三頁，共41頁。解解法法2 2：12nnaan 當(dāng)當(dāng)2 2時時1,2(1)nnnaan 兩式相減，得：兩式相減，得：112nnaa構(gòu)構(gòu)成成以以 為為首首項項，以以2 2為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列1351,a a aa211(1)22kaakdk 22(1)2kaakdk 為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)1,.nnnan n . 2 24 46 62 2構(gòu)構(gòu)成成以以 為為首首項項，以以2 2為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列,a a aa第23頁/共40頁第二十四頁，共41頁。課時課時(ksh)(ksh)小結(jié)小

21、結(jié) 這節(jié)課我們主要這節(jié)課我們主要(zhyo)(zhyo)學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項公式的求法，學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項公式的求法，大家需要注意以下幾點大家需要注意以下幾點: :1 1、若數(shù)列、若數(shù)列 滿足滿足 可用累加法可用累加法來求通項公式；若數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列 滿足滿足 可用累乘法來求通項公式可用累乘法來求通項公式; ;若數(shù)列若數(shù)列 滿足滿足 可用構(gòu)造等差數(shù)列可用構(gòu)造等差數(shù)列(dn(dn ch sh li) ch sh li)來求通項公來求通項公式；若數(shù)列式；若數(shù)列 滿足，滿足， 可用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列可用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列已知前已知前 項項 和和 的關(guān)系可用的關(guān)系可用)(1Nnnfaannnanana)(1NnnfaannnSnanannnqappaa1qpaann1nan.1,)2(2111要單獨討論時注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn第24頁/共40頁第二十五頁，共41頁。課后作業(yè)課后作業(yè)(