第九章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1、系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型這里所謂的系統(tǒng)是指由一些相互制約的部分構(gòu)成的整體，它可能是一個由反饋閉合的整體，也可能是某一控制裝置或受控對象。文章中所研究的系統(tǒng)均假定具有若干輸入端和輸出端，如圖所示。圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境，環(huán)境對系統(tǒng)的作用為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)對環(huán)境的作用為系統(tǒng)輸出，二者分別用向量量u=u1,u2upT和y=y1,y2yqT表示，它們均為系統(tǒng)的外部變量。描述系統(tǒng)內(nèi)部每個時刻所處狀況的變量為系統(tǒng)內(nèi)部變量，以X=x1,x2xnT向量表示。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述是反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述通常有兩種基本類型。一種是系統(tǒng)的外部描述

2、，即輸入輸出描述。系統(tǒng)描述的另一種類型是內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述。這種描述是基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的一類數(shù)學(xué)模型，通常由兩個數(shù)學(xué)方程組成。一是反映系統(tǒng)內(nèi)變量和輸入變量間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,常具有微分方程或差分方程的形式，稱為狀態(tài)方程。另一個是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量及變量和輸出變量間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)式，具有代數(shù)方程的形式，稱為輸出方程。僅當(dāng)在系統(tǒng)具有一定屬性的條件下，兩種描述才具有等價關(guān)系。2、系統(tǒng)狀態(tài)空間描述常用的基本概念(1)狀態(tài)和狀態(tài)變量：系統(tǒng)在時間域中的行為或運動信息的集合稱為狀態(tài)。確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的選取不具有惟一性，同一個系統(tǒng)可能有多種不同的狀態(tài)變

3、量選取方法。狀態(tài)變量常用符號表示。(2)狀態(tài)向量：把描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個狀態(tài)變量看作向量x(t)的分量，即則向量x(t)稱為n維狀態(tài)向量。12,nxxx12,Tnxxxx(3)狀態(tài)空間：以n個狀態(tài)量作為基底所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。(4)狀態(tài)軌線：系統(tǒng)在任一時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中用一點來表示，隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變化，并在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡。這種系統(tǒng)狀態(tài)向量在狀態(tài)空間中隨時間變化的軌跡稱為狀態(tài)軌跡或狀態(tài)軌線。(5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組（連續(xù)時間系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散時間系統(tǒng)）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀

4、態(tài)變化，其一般形式為:1( )( ( ), ( ), )()( (), (),)kkkkx tf x tu ttx tf x tu tt或(6)輸出方程：描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，其一般形式為(7)狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的給合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱動態(tài)方程，其一般形式為(8)線性系統(tǒng)：若在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，f和g均是線性函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng).(9)線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分程或一階向量線性差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程?；蚓€性連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為當(dāng)輸

5、出方程中D=0時，系統(tǒng)稱為絕對固有系統(tǒng)，否則稱為固有系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式常用結(jié)構(gòu)圖表示。線性連續(xù)時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下左圖所示，線性離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下右圖所示。( )( )( )(1)( )( )( )( )( )( )( )( )x tAx tBu tx kGx kHu ky tCx tDu ty kCx kDu k或(10)狀態(tài)空間分析法：在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間分析法的優(yōu)點是便于采用向量、矩陣記號簡化數(shù)學(xué)描述，便于在數(shù)字機上求解，容易考慮初始條件，能了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化特性，適用于描述時變、非

6、線性、連續(xù)、離散、隨機、多變量等各類系統(tǒng)，便于應(yīng)用現(xiàn)代設(shè)計方法實現(xiàn)最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等。3線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種：一直接根據(jù)系統(tǒng)的機理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程，繼而選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式；二是由已知的系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型經(jīng)過轉(zhuǎn)化而得到狀態(tài)空間表達(dá)式。(1）根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達(dá)式(2）由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式1）系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項。111001d( )d( )dy( )( )( )dddnnnnny ty ttaaa y tu tttt(1)12nnxyxyxy122310112101nnnnn

7、xxxxxxxa xa xaxuyx 取狀態(tài)變量為則有：XAXbuycX寫成向量形式121001000010naaaaA000b100c 12nxxxx按上式繪制的結(jié)構(gòu)圖稱為狀態(tài)變量圖，見下張圖。每個積分器的輸出都是對應(yīng)的狀態(tài)變量，狀態(tài)方程由各積分器的輸入輸出關(guān)系確定，輸出方程在輸出端獲得。2）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項。）系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項。1111( )( )( )( )( )( )110110( )( )nnnnnnnnd y tdy tdy td u tdu tdu tnnndtdtdtdtdtdtaaa y tbbbb u t取狀態(tài)變量10111212321101121102,3ii

8、innnnnnnxyh uxxh uinxxhuxxh uxxhuxa xa xaxh uyxh u 則有：0112200nnnnnhbahaha hXAXbuycXdu寫成向量形式其中121001000010naaaaA12nhhbh0100cdh二、二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性現(xiàn)代控制理論中用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可受輸入影響和是否可由輸出反映的問題，這就是可控性和可觀測性問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運動都可以由輸入來影響和控制而由任意的初態(tài)達(dá)到原點，則稱系統(tǒng)是可控的，或

9、者更確切地是狀態(tài)可控的。否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，或簡稱為系統(tǒng)不可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量地任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的，簡稱為系統(tǒng)可觀測。1、可控性系統(tǒng)可控：對于上式所示線性時變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在時刻可控的，則稱系統(tǒng)在t0時刻是完全可控的，簡稱系統(tǒng)在t0時刻可控。若系統(tǒng)在所有時刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。AI解可控性判別矩陣為123xxx已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判別系統(tǒng)的可控性。解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫出x 所以系統(tǒng)的可控2、可觀測性系統(tǒng)完全可觀測：對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時刻t0Tt，存在一個有限時刻t1Tt，t1t0,對于所有tt0,t1，系統(tǒng)的輸出y(t)能惟一確定狀態(tài)向量x(t0)的初值，則稱系統(tǒng)在t0,t1內(nèi)是完全可觀測的，簡稱可觀測。如果對于一切t1t0系統(tǒng)都是可觀測的，則稱系統(tǒng)在t0,)內(nèi)完全可觀測。系統(tǒng)不可觀測：對于線性時變系統(tǒng)，如果取定初始時刻t0Tt，存在一個有限時刻t1Tt，t1t0，對于所有tt0,t1