信號與系統(tǒng)-習(xí)題答案

1、第5章連續(xù)時間信號的抽樣與量化5.1試證明時域抽樣定理。證明：設(shè)抽樣脈沖序列是一個周期性沖激序列，它可以表示為T(t)(tnTs)n由頻域卷積定理得到抽樣信號的頻譜為：1Fs()或F()t()式中F()為原信號f(t)的頻譜，T()為單位沖激序列T(t)的頻譜?？芍闃雍笮盘柕念l譜Fs()由5()以s為周期進(jìn)行周期延拓后再與1/Ts相乘而得到，這意味著如果S2m,抽樣后的信號fs(t)就包含了信號f(t)的全部信息。如果s2m,即抽樣1間隔Ts，則抽樣后信號的頻譜在相鄰的周期內(nèi)發(fā)生混疊，此時不可能無失真地重建2fm1原信號。因此必須要求滿足Ts,f(t)才能由fs(t)完全恢復(fù)，這就證明了抽樣

2、定理。2 fm5.2確定下列信號的最低抽樣頻率和奈奎斯特間隔:(1)Sa(50t)(2)Sa2(100t)(3)Sa(50t)Sa(100t)(4)Sa(100t)Sa2(60t)解：抽樣的最大間隔Ts1/2fm稱為奈奎斯特間隔，最低抽樣速率fs2fm稱為奈奎斯特速率，最低采樣頻率s2m稱為奈奎斯特頻率。(1)S&50t)50u(50)u(50),由此知50rad/s,貝Ufm25501由抽樣定理得：最低抽樣頻率fs2fm一，奈奎斯特間隔Tsfs50Sa2(100t)一(1一)100200脈寬為400,由此可得m200巾/5,則fm,由抽樣定理得最低抽樣頻率精選fs2fm(3)Sa(5

3、0t)50u(50)u(50),該信號頻譜的m50rad/s200-1，奈奎斯特間隔Tsfs200Sa(100t)u(100)u(100),該信號頻譜的m100rad/s50Sa(50t)Sa(100t)信號頻譜的m100rad/s,則fm，由抽樣定理得最低1001抽樣頻率fs2fm-00,奈奎斯特間隔Ts。fs100m100(4)Sa(100t)u(100)u(100),該信號頻譜的Sa2(60t)(1U),該信號頻譜的m120rad/s60120所以Sa(100t)Sa2(60t)頻譜的一60m120rad/s,則fm，由抽樣定理得最120_1低抽樣頻率fs2fm，奈奎斯特間隔Ts。fs1

4、205.3系統(tǒng)如題圖5.3所示，f1(t)Sa(1000t),f2(t)Sa(2000t),p(t)(tnT),f(t)3(t)f2(t),fs(t)f(t)p(t)。n(1)為從fs(t)中無失真地恢復(fù)f(t),求最大采樣間隔Tmax。當(dāng)TTmax時，畫出fs(t)的幅度譜Fs()。題圖5.3解：(1)先求f(t)的頻譜F(j)。c1f1(t)Sa(1000t)F1(j)：u(1000)u(1000)精選f2(t)Sa(2000t)F2(jBu(2000)u(2000)F(j)12-F1(j1(u(100010642000u()F2(j1000)u(1000)1(u(2000)u(20002

5、000)3000)u(1000)u(30001000)由此知F(j)的頻譜寬度為6000,且的最大允許間隔TmaxJs2fm3000u(1000)3000)u(1000)u(3000)3000rad/s,則fm1500Hz,抽樣p(t)(tnnT),所以為用沖激序列對連續(xù)時間信號為f(t)進(jìn)行采樣，設(shè)原輸入信號f(t)的頻譜密度為F()，而單位沖激序列的頻譜密度為:(ns)其中則根據(jù)頻域卷積定理得抽樣信號fs(t)的頻譜為:Fs()1產(chǎn))*P()F(ns)而TTmax,則300026000Tmaxrad/s,幅度譜如下圖所表示。5.4對信號f(t)tu(t)進(jìn)行抽樣，為什么一定會產(chǎn)生頻率混疊效

6、應(yīng)？畫出其抽樣信號的頻譜。解：由第三章知識知,該單邊指數(shù)信號的頻譜為:1F(j)1j其幅度頻譜和相位頻譜分別為精選F(j)()arctan單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形f(t)、幅度譜|F(j)、相位譜()如下圖所示，其中a1。()單邊指數(shù)信號的波形和頻譜顯然該信號的頻譜范圍為整個頻域，故無論如何抽樣一定會產(chǎn)生頻率混疊效應(yīng)。抽樣后的頻譜是將原信號頻譜以抽樣頻率s為周期進(jìn)行周期延拓,1一幅度變?yōu)樵瓉淼囊欢玫?。圖Ts略。5.5題圖5.5所示的三角形脈沖，若以20Hz頻率間隔對其頻率抽樣，則抽樣后頻率對應(yīng)的時域波形如何？以圖解法說明。解：三角形脈沖的頻譜可根據(jù)傅里葉變換的時域微分特性得到，具體求解可參考

7、課本第三章。E由此可知，脈寬為幅度為E的三角形脈沖其頻譜為Sa(一)2。其波形如圖所不。24X(j)三角函數(shù)的頻譜在x(t)中，100ms0.1s易求得x(t)的頻譜為:精選X(j)0.05ESa(0.025)24在一kk40(k為整數(shù))處，X(j)為零，圖略。由頻域卷積定理，抽樣信號的頻譜為：1Xs(j)XjnsTsn-11其中Ts-0.05s,s2fs40rad/s。抽樣后的頻譜是將三角形fs20Hz頻譜以s為周期做了周期延拓，幅度則變?yōu)樵瓉淼?可見發(fā)生了頻譜混疊現(xiàn)象。Ts5.6 若連續(xù)信號f(t)的頻譜F()是帶狀的(12),利用卷積定理說明當(dāng)221時,最低抽樣頻率只要等于2就可以使抽樣

8、信號不產(chǎn)生頻譜混疊。證明：由頻域卷積定理的抽樣信號的頻譜為1Fs()>()t()>()*Tsn(wns)-1FTsn1,抽樣后的頻譜是以抽樣頻率s為周期做了周期延拓，幅度則變?yōu)樵瓉淼?。由于頻譜TsF()是帶狀的且221,所以當(dāng)s2時頻譜不會混疊。5.7 如題圖5.7所示的系統(tǒng)。求：(1)求沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)；(2)求系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)H()，幅頻特性H()和相頻特性()，并畫出幅頻和相頻特性曲線；(3)激勵f(t)u(t)u(tT),求零狀態(tài)響應(yīng)y(t),畫出其波形；(4)激勵fs(t)f(nT)(tnT),其中T為奈奎斯特抽樣間隔，f(nT)為點上n0f(t)的值，求響應(yīng)y(t)。精選解：(1)由圖可知ytft