4多邊形的內角和與外角和

1、4 4 多邊形的內角和與外角和多邊形的內角和與外角和1 1使學生掌握四邊形的有關概念及四邊形的內角和定理使學生掌握四邊形的有關概念及四邊形的內角和定理. .2 2通過引導學生觀察氣象站的實例，培養(yǎng)學生從具體事通過引導學生觀察氣象站的實例，培養(yǎng)學生從具體事物中抽象出幾何圖形的能力物中抽象出幾何圖形的能力. .3 3通過推導四邊形內角和定理，對學生滲透化歸轉化的通過推導四邊形內角和定理，對學生滲透化歸轉化的數(shù)學思想數(shù)學思想. .4 4講解四邊形的有關概念時，聯(lián)系三角形的有關概念向講解四邊形的有關概念時，聯(lián)系三角形的有關概念向學生滲透類比思想學生滲透類比思想. .四邊形四邊形五邊形五邊形六邊形六邊形

2、八邊形八邊形三角形三角形【定義定義】在平面在平面內，由若干條不內，由若干條不在同一條直線上在同一條直線上的線段首尾順次的線段首尾順次相連組成的封閉相連組成的封閉圖形叫做多邊形圖形叫做多邊形. .頂點頂點內角內角邊邊對角線對角線(連接不相鄰兩個頂點的線段連接不相鄰兩個頂點的線段)這里所說的多邊形都指這里所說的多邊形都指凸多邊形凸多邊形 我們現(xiàn)在研究的是如圖我們現(xiàn)在研究的是如圖1 1所示的多邊形，是凸多邊形；所示的多邊形，是凸多邊形； 如圖如圖2 2所示的多邊形，是凹多邊形，但不在現(xiàn)在研究的范圍所示的多邊形，是凹多邊形，但不在現(xiàn)在研究的范圍中中. .今后如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形今后如

3、果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形. .圖圖2 2圖圖1 1 上圖廣場中心的邊緣是一個五邊形，我們將共同來探求它的五個內角的和上圖廣場中心的邊緣是一個五邊形，我們將共同來探求它的五個內角的和. . A BCDE 我們知道，三角形的內角和是我們知道，三角形的內角和是_度度, ,四邊形的內角四邊形的內角和是和是 度，那這個五邊形的內角和呢？度，那這個五邊形的內角和呢？180360 你能動手做一做嗎你能動手做一做嗎? ?你能想出幾種不同的解法？你能想出幾種不同的解法？【想一想想一想】 A BCDE1803 = 540【探究探究1 1】多邊形多邊形邊邊數(shù)數(shù)分成三角分成三角形的個數(shù)形的個數(shù)圖形圖形內角

4、和內角和計算規(guī)律計算規(guī)律三角形三角形四邊形四邊形五邊形五邊形六邊形六邊形七邊形七邊形n n邊形邊形3 34 45 56 67 7n n1 1n-2n-22 23 34 45 5180180360360540540720720900900(n(n2)1802)180( (n n2 2)180)180( (7 72 2)180)180( (6 62 2)180)180( (5 52 2)180)180(4(42 2)180)180( (3 32 2)180)180E ABCDO180 5 360= 540【探究探究2 2】還有其他的做法嗎？還有其他的做法嗎？例如：例如：ABCDEF180 4 18

5、0 = 540【探究探究3 3】 A BCDE180+ 360 = 540【探究探究4 4】【解析解析】由多邊形的內角和公式可得由多邊形的內角和公式可得: :（n - 2n - 2） 180 = 1440 180 = 1440，(n - 2) = 8(n - 2) = 8，n = 10n = 10，這是十邊形這是十邊形. .十十1 1. .如果一個多邊形的內角和是如果一個多邊形的內角和是14401440度，那么這是度，那么這是_ _ 邊形邊形. .【做一做做一做】2.2.如圖如圖：(1)(1)作多邊形過頂點作多邊形過頂點A A的所有對角的所有對角線，并分別用字母表達出來線，并分別用字母表達出來

6、. .(2)(2)求這個多邊形的內角和求這個多邊形的內角和. .ABCDEF【解析解析】(1)(1)過頂點過頂點A A的對角線共有三條的對角線共有三條, ,分別是分別是ACAC、ADAD和和AE. AE. (2)(2)這個多邊形的內角和是：這個多邊形的內角和是：(6-2) (6-2) 180 180 = 720 = 720. .觀察圖中的多邊形觀察圖中的多邊形, ,它們的邊、角有什么特點？它們的邊、角有什么特點？在平面內，內角都相等、邊也都相等的多邊形叫做正多邊形在平面內，內角都相等、邊也都相等的多邊形叫做正多邊形. .正三角形正三角形正方形正方形正五邊形正五邊形正六邊形正六邊形正八邊形正八邊

7、形（1 1）一個多邊形的邊都相等，它的內角一定都相等嗎？）一個多邊形的邊都相等，它的內角一定都相等嗎？（2 2）一個多邊形的內角都相等，它的邊一定都相等嗎？）一個多邊形的內角都相等，它的邊一定都相等嗎？菱形菱形矩形矩形（3 3）正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六）正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形、正八邊形的內角分別是多少度？正邊形、正八邊形的內角分別是多少度？正n n邊形呢？邊形呢？（分別是（分別是6060，9090，108108，120120，135135， ）【議一議議一議】(n2)180n2.2.若正若正n n邊形的一個內角是邊形的一個內角是144144度，則度

8、，則n=_.n=_.【解析解析】由多邊形的內角和公式可得：由多邊形的內角和公式可得：(n - 2) (n - 2) 180 = 144n 180 = 144n，180n 180n 360 = 144n 360 = 144n，180n -144n=360180n -144n=360，36n = 36036n = 360，n = 10.n = 10.10101.1.如果十二邊形的每一個內角都相等，那么每個內角是如果十二邊形的每一個內角都相等，那么每個內角是_度度. .150150【跟蹤訓練跟蹤訓練】3.3.在四邊形在四邊形ABCDABCD中，中，A=120A=120度，度，B BC CD D =3

9、=34 45 5，求，求B B，C C，D D的度數(shù)的度數(shù). .【解析解析】設設B B，C,DC,D的度數(shù)分別是的度數(shù)分別是3x,4x,5x3x,4x,5x度，由度，由四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360360度可得：度可得：120 + 3x + 4x + 5x = 360120 + 3x + 4x + 5x = 36012x = 24012x = 240， x = 20 x = 20， 3x = 60 3x = 60， 4x = 80 4x = 80， 5x = 100. 5x = 100.答：答：B,CB,C，D D的度數(shù)分別為的度數(shù)分別為6060,80,80,100,100. .（

10、1 1）小明每從一條街道轉）小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角？過的角是哪個角？（2 2）他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？）他每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？（3 3）在上圖中，你能求出）在上圖中，你能求出 1+1+ 2+2+ 3+3+ 4+4+ 5 5嗎？你是怎嗎？你是怎樣得到的？樣得到的？ABCDE12345【結論結論】 1 1， 2 2， 3 3， 4 4， 5 5的和等于的和等于360360 多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角叫做這個多邊形的外角. .

11、在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和做這個多邊形的外角和. .【結論結論】多邊形的外角和等于多邊形的外角和等于360360?！鞠胍幌胂胍幌搿咳绻麖V場的形狀是六邊形、八邊形，那么還有類如果廣場的形狀是六邊形、八邊形，那么還有類似的結論嗎？似的結論嗎？【想一想想一想】（1 1）還有什么方法可以推導出多邊形）還有什么方法可以推導出多邊形外角和公式？外角和公式？（2 2）利用多邊形外角和的結論，能否推導出多邊）利用多邊形外角和的結論，能否推導出多邊形內角和的結論？形內角和的結論？【議一議議一議】利用多邊形外角和的結論，能推導多

12、邊形內角利用多邊形外角和的結論，能推導多邊形內角和的結論嗎？反過來呢？和的結論嗎？反過來呢？一個多邊形的內角和等于它的外角和的一個多邊形的內角和等于它的外角和的3 3倍，它是幾邊形？倍，它是幾邊形？【解析解析】設它是設它是n n邊形邊形. .外角和是外角和是360360, ,內角和是內角和是(n-2)180(n-2)180，3603603= (n-2)1803= (n-2)180，n=8.n=8.1.1.（茂名（茂名中考）下列命題是假命題的是（中考）下列命題是假命題的是（ ）A.A.三角形的內角和是三角形的內角和是180180B.B.多邊形的外角和都等于多邊形的外角和都等于360360C.C.

13、五邊形的內角和是五邊形的內角和是900900D.D.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和答案：答案：選選C C2 2（自貢（自貢中考）一個多邊形截取一個角后，形成的中考）一個多邊形截取一個角后，形成的另一個多邊形的內角和是另一個多邊形的內角和是16201620，則原來多邊形的邊，則原來多邊形的邊數(shù)是（數(shù)是（ ）. .A A1010 B B1111C C1212 D D以上都有可能以上都有可能 答案：答案：選選D D 3 3（肇慶（肇慶中考）一個多邊形的內角和是外角和的中考）一個多邊形的內角和是外角和的2 2倍，倍，則這個多邊形是（則這個多邊形

14、是（ ）A A四邊形四邊形 B B五邊形五邊形 C C六邊形六邊形 D D八邊形八邊形答案：答案：選選4.4.（江西（江西中考）一大門的欄桿如圖所示，中考）一大門的欄桿如圖所示，BABA垂直垂直于地面于地面AEAE于于A A，CDCD平行于地面平行于地面AEAE，則，則ABC+BCDABC+BCD 度度答案：答案：270270【規(guī)律方法規(guī)律方法】多邊形的問題經常轉化為三角形的問題求解，多邊形的問題經常轉化為三角形的問題求解，在三角形的基礎上，利用三角形的邊和角研究多邊形的邊和在三角形的基礎上，利用三角形的邊和角研究多邊形的邊和角角. .本節(jié)課我們研究了多邊形的定義及其內角和、外角和公式本節(jié)課我們研究了多邊形的定義及其內角和、外角和公式. .1.1.多邊形的內角和公式多邊形的內角和公式, ,即：即：n n邊形的內角和等于邊形的內角和等于(n(n2)1802)180, ,