矩陣的LU分解自編MATLAB實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、1矩陣的LU分解1.1 LU 分解原理定理：設(shè)ACnn，如果 A 的順序主子式A110, a11a12a21a220,，a11a12a21a22a12a22an-11an-12an-1n-10則存在唯一的主對角線上元素全為 1 的下三角矩陣L與唯一的上三角矩陣 U，使得A=LU.證明：對矩陣A的階數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法.顯然，當(dāng) n=1 時(shí)，A11=1 A11 就是唯一的分解式。現(xiàn)假定對 n-1 階矩陣，定理的結(jié)論成立。對 A 進(jìn)行分塊A=An-112Tnn其中1,2Cn-1.由于 n-1 階矩陣 An-1的 k 階順序主子式就是 A 的 k 階主子式（k=1,2，n-2），故它們都不為零.從而由歸

2、納法假設(shè)，An-1 有唯一的 LU 分解An-1=Ln-1Un-1其中Ln-1的主對角線上的元素都1.由于An-1=a11a12a21a22a12a22an-11an-12an-1n-1=Ln-1Un-10所以Ln-1及Un-1是n-1階可逆矩陣先假設(shè)已有 A=LU，其中 L=Ln-10T1， U= Un-1Tbnn，Cn-1是待定向量。作乘積LU = Ln-1Un-1Ln-1TUn-1bnn+T =An-112Tnn=A則，必須滿足 Ln-1=1，TUn-1=2T，bnn+T=nn注意到Ln-1及Un-1都是n-1階可逆矩陣，則由上式可惟一確定=Ln-1-11，T=2TUn-1-1, bnn

3、=nn-T這就證明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性.1.2 LU分解算法當(dāng) n 階矩陣滿足定理的條件時(shí)，可以用初等變換的方法求出 L 和 U. 因?yàn)楫?dāng) A=LU 時(shí)，由于 L 可逆，故必存在可逆矩陣 P 使得PL=I即 PA=PLU=U.也就是說，可以先對 A 施行行的初等變換得出上三角矩陣U，而矩陣 P可以通過對單位矩陣I進(jìn)行相同的行初等變換得出，即 P(A,I) =(PA,PI) =(U,P)于是A=P-1U,為保持P為下三角矩陣（從而P-1也是下三角矩陣），在進(jìn)行行初等變換時(shí)，不能進(jìn)行行的對換，上行的倍數(shù)應(yīng)加到下行的對應(yīng)元.1.3 LU分解用于解方程組矩陣的三角分解在求解線性方程組

4、時(shí)十分方便.如對線性方程組Ax=b,設(shè)A=LU.我們先求解方程組 Ly=b. 由于L是下三角矩陣，則解向量y可以通過依次求出其分量 y1,y2,yn而求出，在求解方程組Ux=y.解向量x可以通過該方程組依次求出分量xn, ,x2,x1而快速得出.于是由兩個(gè)方程組Ux=y，Ly=b的求解而給出LUx=Ly=b= Ax的解.1.4程序流程圖1.5 MATLAB程序function f=LU_decom(A) m,n=size(A)if m=nfprintf(Error:m and n must be equal!m=%d,n=%dn,m,n) endfor i=1:n-1if (det(A(1:i

5、,1:i)=0)fprintf(Error:det A(%d,%d)=0!n,i,i)flag=failurereturn;elseflag=ok;endendL=eye(n);U=zeros(n);for i=1:nU(1,i)=A(1,i);endfor r=2:nL(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfor i=2:nfor j=i:nz=0;for r=1:i-1z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i) A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;LU_decom(A)m = 3n = 3L = 1 0 0 2

6、1 0 -1 -3 1U = 2 1 1 0 -1 -2 0 0 -4（2）解方程組，程序及結(jié)果如下%-用LU分解解線性方程組-y=zeros(n,1);y(1)=b(1);for i=2:n y(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1);endyx(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n).*x(i+1)/U(i,i);endx=x運(yùn)行結(jié)果如下：y = 1 0 2x = -0.5000 1.0000 -0.50001.7數(shù)據(jù)分析調(diào)用MATLAB固有的LU分解函數(shù)，以及解方程組相關(guān)函數(shù)對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)行結(jié)果如下： A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1; b=1 2 1; L,U=lu(A)L = 0.5000 0.2000 1.0000 1.0000 0 0 -0.5000 1.0000