數(shù)理統(tǒng)計2學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計(sh l tn j)2第一頁，共57頁。 一、隨機(jī)變量(su j bin lin)的定義 二、離散(lsn)型隨機(jī)變量及其分布 三、幾種(j zhn)常見的分布 四、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變（向）量及其分布隨機(jī)變（向）量及其分布第1頁/共57頁第二頁，共57頁。 設(shè)隨機(jī)(su j)試驗的樣本空間 一.隨機(jī)變量(su j bin lin)及其分布R)(,上的實(shí)值單值函數(shù)，是定義在樣本空間 我們不僅關(guān)心 取什么值，更關(guān)心它取值的概率大小。例如希望知道集)( xxx)()(:的概率，其中X 是任一實(shí)數(shù)。因為我們只在事件上定義了概率，討論 概率，當(dāng)然要求是事件，即x)(x)(Fx )

2、(第2頁/共57頁第三頁，共57頁。定義(dngy)1是定義在是定義在 上的單值實(shí)函數(shù)，如果對任一實(shí)數(shù)上的單值實(shí)函數(shù)，如果對任一實(shí)數(shù) x，F(xiàn)x )()(設(shè)設(shè)PF,為一個概率空間，為一個概率空間，則稱則稱 為隨機(jī)變量。為隨機(jī)變量。)( 1.隨機(jī)變量(su j bin lin)第3頁/共57頁第四頁，共57頁。隨機(jī)變量通常(tngchng)用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,等表示 而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母 等.zyx,第4頁/共57頁第五頁，共57頁。2 2、分布函數(shù)、分布函數(shù)(hnsh)(hnsh)的概念的概念)( x定義(dngy)1設(shè)設(shè) 是一個隨機(jī)變量，是一個隨機(jī)變量，Xx是

3、任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù), ,稱函數(shù)稱函數(shù)為為 的的分布函數(shù)分布函數(shù)。X上的概率上的概率(gil).(gil).)()(12xFxF 21xXxP 12xXPxXP )(xXPxF xxX 分布函數(shù)分布函數(shù))(xF,(x 的值就表示的值就表示 落在區(qū)間落在區(qū)間X第5頁/共57頁第六頁，共57頁。分布分布(fnb)(fnb)函數(shù)的另一種定義是：稱函數(shù)的另一種定義是：稱,)(xXPxF)( x為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。兩種定義對于離散型隨機(jī)變量為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。兩種定義對于離散型隨機(jī)變量有影響有影響(yngxing)(yngxing)，此種定義給出的分布函數(shù)是左連，此種定義給出的分布函數(shù)是左連續(xù)的，前一

4、種是右連續(xù)的。對于連續(xù)行隨機(jī)變量的分布續(xù)的，前一種是右連續(xù)的。對于連續(xù)行隨機(jī)變量的分布沒有任何影響沒有任何影響(yngxing)(yngxing)。)()(12xFxF 21xXxP12xXPxXP第6頁/共57頁第七頁，共57頁。1 1）非降函數(shù)）非降函數(shù)(hnsh)(hnsh)，即，即; 0)(lim)( xFFx)()0(xFxF12()()F xF x若若 ，21xx 則則1)(lim)( xFFx2 2） 1)(0 xF)(,)(xFxF則則若若具具有有以以上上三三個個性性質(zhì)質(zhì)一一個個函函數(shù)數(shù)布布函函數(shù)數(shù)。必必為為某某個個隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分xxX 3 3） 右（左）連續(xù)右（左）

5、連續(xù))(xF)()0(xFxF第7頁/共57頁第八頁，共57頁。 bXaP00 xXPxXP 0 xXP 0 xXPaXPbXP )()(aFbF 1.1.2.2. 0 xXP3.3.4.4.10 xXP )(1100 xFxXP （2 2）分布函數(shù)）分布函數(shù)(hnsh)(hnsh)是一個普通實(shí)值函數(shù)是一個普通實(shí)值函數(shù)(hnsh)(hnsh)（1 1）分布函數(shù)完整描述）分布函數(shù)完整描述(mio sh)(mio sh)了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性)0()(00 xFxF)0(10 xF第8頁/共57頁第九頁，共57頁。5.5.隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin (su j bin

6、 linlin) )的分類的分類 例如(lr)：“抽驗一批產(chǎn)品中次品的個數(shù)”，“電話交換臺在一定時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)”等1）離散(lsn)型隨機(jī)變量2）連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個一一列舉例如：“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值有無窮多，充滿一個或幾個區(qū)間第9頁/共57頁第十頁，共57頁。定義定義(dngy) (dngy) 若隨機(jī)變量X 的全部(qunb)可能取值是有限個或無限可列多個無限可列多個, ,則稱此隨機(jī)變量則稱此隨機(jī)變量(su j bin (su j bin linlin) )是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量(su j bin lin(su j bin l

7、in) )。例例 扔一均勻硬幣三次，出現(xiàn)正面的次數(shù)扔一均勻硬幣三次，出現(xiàn)正面的次數(shù) 3 , 2 , 1 , 0)( XeX離散型隨機(jī)變量第10頁/共57頁第十一頁，共57頁。分布律也可用如下表格的形式分布律也可用如下表格的形式(xngsh)(xngsh)表示表示), 2 , 1( k定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為的所有可能取值為,kx取取各各個個可可能能值值的的概概率率為為X,kkpxXP 滿足kp; 0)1( kp1(2)1;kkp則稱pk為離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)X的概率分布或分布律。Xkp1x2x1p2pkxkp第11頁/共57頁第十二頁，共57頁。

8、常用(chn yn)的離散型隨機(jī)變量1. (01)1. (01)分布分布(fnb)(fnb)定義定義 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量(su j bin lin)X (su j bin lin)X 的分布律為的分布律為1 , 0,)1 (1xppxXPxx)10( p）分分布布。為為參參數(shù)數(shù)的的（服服從從以以則則稱稱10 pX0 1X只能取兩個值: ，（0101）分布的分布律也可寫成）分布的分布律也可寫成Xkp01p 1p011Xpp第12頁/共57頁第十三頁，共57頁。X定義：如果 的分布律為 xXPknCxnxpp)1 (nx, 2 , 1 , 0的的二二項項分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為稱稱pnX,)

9、,(pnbX記記為為,1, 10pqp 第13頁/共57頁第十四頁，共57頁。P Xk= = =( )Xp p l lX稱稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的泊松分布泊松分布, ,記為記為其中其中 是常數(shù)是常數(shù), ,0 !kekl ll l- -,2,1,0 k若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 的分布律的分布律X第14頁/共57頁第十五頁，共57頁。泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)(zrnkxu)(zrnkxu)的某些問題中都占有重要的地位。的某些問題中都占有重要的地位。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的應(yīng)用的應(yīng)用 排隊問題排隊問題(wnt)(wnt)：在一段時間內(nèi)

10、窗口等待服務(wù)的：在一段時間內(nèi)窗口等待服務(wù)的顧客人數(shù)顧客人數(shù) 生物存活的個數(shù)生物存活的個數(shù)( ).Xp lp l 放射的粒子數(shù)放射的粒子數(shù)( ).Xp lp l( ).Xp lp l第15頁/共57頁第十六頁，共57頁。解6121311Xkp02求分布函數(shù)求分布函數(shù))(xF)(xXPxF 當(dāng)當(dāng) 時時, , 0 x xX0)( xF當(dāng)當(dāng) 時時, , 10 x)(xXPxF 0 XP31 當(dāng)當(dāng) 時時, , 21 x )(xF6131 )(xF121 10 XPXP21 XPXP0 XP時時當(dāng)當(dāng)2 x已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 的分布律的分布律X第16頁/共57頁第十七頁，共57頁。 21:XPeg31

11、)21( F 2321XP)21()23(FF 31XP1)1()3( XPFF32 )(xF0,0 x2, 1 x21,2/1 x10,3/1 x合并合并(hbng)可得可得613121 第17頁/共57頁第十八頁，共57頁。圖形圖形(txng)特點(diǎn)：特點(diǎn)：階梯狀階梯狀、右連續(xù)右連續(xù)(linx)6121)(xF2131610121x 2 XP 1 XP 0 XP非降函數(shù)非降函數(shù)(hnsh)、31不難看出，不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于處有跳躍，其躍度分別等于 PX=0 , PX=1 , PX=2第18頁/共57頁

12、第十九頁，共57頁。一、定義一、定義(dngy)(dngy)其中被積函數(shù)其中被積函數(shù) , ,0)( tf稱稱 為為概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 或或 概率密度概率密度。)(tf xdttfxF)()(如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為X則稱則稱 為為連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X第19頁/共57頁第二十頁，共57頁。對于對于(duy)連續(xù)型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量，改變改變 在個別點(diǎn)上的函數(shù)值不會改變在個別點(diǎn)上的函數(shù)值不會改變 的取值的取值)(xF)(xf同同。在在個個別別點(diǎn)點(diǎn)的的值值可可以以不不相相)(xf)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00，的

13、的概概率率必必為為取取任任何何常常數(shù)數(shù)值值連連續(xù)續(xù)型型0.aXvr0 aXP)()(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaP第20頁/共57頁第二十一頁，共57頁。1.1.0)( xf2.2. 1)(dxxf面積(min j)為1o o)(xfx bXaP3.3.)()(aFbF dxxfba)( ab4. 4. 在 的連續(xù)點(diǎn) 處，則 )(xfx)()( xfxF 5. 0P Xa第21頁/共57頁第二十二頁，共57頁。 ，的密度函數(shù)為若已知連續(xù)型隨機(jī)變量xfX取值的概率為，也可以是無窮區(qū)間）上間；可以是有限區(qū)間，閉區(qū)間，或半開半閉區(qū)也可以是可以是開區(qū)間（在任意區(qū)間則,GGX GdxxfGXP

14、)()(bXaPbXaP)(bXaP對連續(xù)型 r.v X,有)(bXaP第22頁/共57頁第二十三頁，共57頁。xF xxxx20,0,( ),01,1,1, 試求試求: :75. 025. 0 XP2)2)解解 1)1)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布的分布(fnb)(fnb)函數(shù)函數(shù)X3) 43) 4次獨(dú)立觀察次獨(dú)立觀察 , ,求求3 3次落入次落入(0. 25,0.75) X)(xf1) 1) 概率密度概率密度中的概率(gil).)( )(xFxf 2 ,01( )0 xxf x 其其它它第23頁/共57頁第二十四頁，共57頁。 75. 025. 0XP2)5 . 0)(75. 02

15、5. 0 dxxf 75. 025. 0XP或或5 . 0)25. 0()75. 0( FF)21, 4( bY 3YP設(shè)設(shè) 表示表示 落入落入 內(nèi)的次數(shù)內(nèi)的次數(shù)3)3)YX)75. 0,25. 0(則則21)21(334 C41 2 ,01( )0 xxf x 其其它它第24頁/共57頁第二十五頁，共57頁。幾種(j zhn)常見的分布)(xfab一、均勻分布 其它其它, 0,1)(bxaabxf0,( )( ),1,.xxaxaF xf t dtaxbbaxb ，分布分布(fnb)(fnb)函數(shù)為函數(shù)為: :1.1.若若X的概率密度為的概率密度為 則稱則稱 服從服從( (a,b) )上的上

16、的均勻分布均勻分布，記作，記作X),(baUX第25頁/共57頁第二十六頁，共57頁。0244),5 , 0(2 XttUX求一元二次方程求一元二次方程設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)根根的的概概率率。有有實(shí)實(shí)根根方方程程02442 Xtt032)42 X（22 X22 XP 22 PXX 22 XPXP 其他其他05051)(xxf5215dx525 例例3解解第26頁/共57頁第二十七頁，共57頁。 000)(xxexfx 0 0, 00,1)(xxexFx 0 x)(xf 若若 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 具有概率密度具有概率密度X則稱則稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. . X記為 )( EX 的分布

17、函數(shù)的分布函數(shù)X第27頁/共57頁第二十八頁，共57頁。(2)(2)已知該電子元件已使用已知該電子元件已使用(shyng)(shyng)了了1.51.5年，求它還能使年，求它還能使用用(shyng)(shyng)兩兩解33,0( )0,0 xexf xx362(1)23xp Xedxe3.5,1.51.5p XXX 5 . 15 . 32XXP 電子元件的壽命電子元件的壽命(shumng)X(shumng)X(年）服從參數(shù)為年）服從參數(shù)為3 3的的指數(shù)分布指數(shù)分布(1)(1)求該電子元件壽命求該電子元件壽命(shumng)(shumng)超過超過2 2年的概率。年的概率。年的概率為多少？年的概

18、率為多少？33.531.533xxedxedx6e第28頁/共57頁第二十九頁，共57頁。1/101020X例5 設(shè)打一次電話所用的時間（單位：分鐘）是以為參數(shù)的指數(shù)隨機(jī)變量如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間，求你需等待分鐘到分鐘之間的概率解的密度函數(shù)為X 00010110 xxexfx 1020P BPX令：B= 等待時間為10-20分鐘 201010101dxex21ee2325. 0第29頁/共57頁第三十頁，共57頁。222)(21)( xexf x,0 且且,為為常常數(shù)數(shù)和和其其中中 和和的正態(tài)分布, 或高斯分布.),(2 NX)(xf所確定的曲線稱為正態(tài)曲線若X具有(jyu)概率密

19、度 則稱 服從參數(shù)為X記為第30頁/共57頁第三十一頁，共57頁。條關(guān)于 對稱的鐘形曲線. 特點(diǎn)(tdin)是:正態(tài)分布的密度(md)曲線是一決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度的中心位置“兩頭小,中間大,左右對稱”第31頁/共57頁第三十二頁，共57頁。, ),(2 NX若若 xdtexFxt,21)(222)( 標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正態(tài)分布10 ,的正態(tài)分布稱為(chn wi)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示)(x )(x xexx,21)(22 的分布函數(shù)是X第32頁/共57頁第三十三頁，共57頁。)(1)(xx xx; 5 . 0)0( 查查用用，的的值值已已經(jīng)經(jīng)編編成成

20、了了表表可可供供)(x )96. 1( 例例)96. 1(1 025. 0975. 01 )(x dtexxt 2221)( P aXb)1, 0( NX若 ,)()(ab 第33頁/共57頁第三十四頁，共57頁。 XY則 N (0 , 1) 設(shè) ,),(2 NX),(2 NX若P aXbb aP Xa1P Xa 1a P Xaa xx1第34頁/共57頁第三十五頁，共57頁。車門(chmn)高度應(yīng)如何確定? 公共汽車車門公共汽車車門(chmn)(chmn)的高度是按男子與車門的高度是按男子與車門(chmn)(chmn)碰頭機(jī)會碰頭機(jī)會在在0.010.01以下來以下來(xi li)(xi li

21、)設(shè)計的設(shè)計的, , 由由 01. 0 hXP0.99P Xh170 /6h 1702.336h99. 0 9901. 0)33. 2( 99. 0 170 13.98h184 設(shè)男子身高設(shè)男子身高 問問 2(170, 6 ),XN解: 設(shè)車門高度為 厘米,h第35頁/共57頁第三十六頁，共57頁。)3(規(guī)規(guī)則則 , ),(2 NX設(shè)設(shè)3 XP求求333 XPXP)3()3( )3()3( 9974. 0 解解: :落在 以外的概率可以忽略不計. )3,3(1)3(2 第36頁/共57頁第三十七頁，共57頁。也是一個隨機(jī)變量則Y xgyYxX取值時，取值當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，是是一隨機(jī)變量，設(shè)XYX ,X

22、gY 本節(jié)的任務(wù)就是： 的分布要求隨機(jī)變量，的分布，并且已知已知隨機(jī)變量YXgYX(分布分布(fnb)律或分布律或分布(fnb)密度）。密度）。第37頁/共57頁第三十八頁，共57頁。當(dāng)當(dāng)X為離散為離散(lsn)型隨機(jī)變量時，型隨機(jī)變量時， ,XgY 也是離散也是離散(lsn)型型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。求求Y的的分布律是容易的。分布律是容易的。并且在并且在 X 的分布律已知的情況下，的分布律已知的情況下，第38頁/共57頁第三十九頁，共57頁。, 2 , 1kxgk互不相等互不相等(xingdng)時，則事件時，則事件 kkxXxgY由由kkkpppPxxxX2121kkkpppPxgxgxgY

23、2121)()()(2、當(dāng)、當(dāng) jixgxgji則把那些相等則把那些相等(xingdng)的值合并起來的值合并起來并根據(jù)概率并根據(jù)概率(gil)的可加性把對應(yīng)的概率的可加性把對應(yīng)的概率(gil)相加得到相加得到Y(jié)的分布律。的分布律。第39頁/共57頁第四十頁，共57頁。例1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為的分布律為X131 XZ）求求（的分布律的分布律4 . 02 . 01 . 01Xkp0213 . 0 2ZP213 XP4 . 02 . 01 . 041723 . 0Zkp1 . 01 XP 1ZP113 XP4 . 00 XP 4ZP413 XP2 . 01 XP 7ZP713 XP3

24、 . 02 XP解第40頁/共57頁第四十一頁，共57頁。的的可可能能取取值值為為Y4, 1 , 0 0YP 1YP 4YP解解 0)1(2 XP2 . 01 XP4)1(2 XP1 XP1 . 00 XP1)1(2 XP2 XP7 . 04 . 02 . 01 . 01Xkp0213 . 0 21)2( XY求求的分布的分布(fnb)(fnb)律。律。7 . 01 . 02 . 04Ykp10所以所以(suy)第41頁/共57頁第四十二頁，共57頁。 ，其密度函數(shù)為是一連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)xfXX 也是連續(xù)型，我們假定的函數(shù)是再設(shè)YXXgY 的密度函數(shù)我們要求的是yfXgYYYg X先求的分布

25、函數(shù)Yg X利用的分布函數(shù)與密度函數(shù)之間的關(guān)系隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)。 yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()( yFyfXgYYY的密度函數(shù)求第42頁/共57頁第四十三頁，共57頁。例例2 設(shè)設(shè) X 的概率密度為的概率密度為 其它其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y = 2 X+8 的概率密度的概率密度( )( )YYdFyfydy 解解 設(shè)設(shè)Y 的分布的分布(fnb)函數(shù)為函數(shù)為 )(yFYyYP 82yXP 8 /2P Xy)(yFY8 /2XFy8122Xyf168 y8, 816320 ,yy其它第43頁/共57頁第四十四頁，共57頁。 )(xfX的

26、概率密度的概率密度求求XeY 例例3 3 設(shè)設(shè) X 的概率密度的概率密度XeY ）（4, 1 e,1時時當(dāng)當(dāng) y )(yFY,4時時當(dāng)當(dāng)ey )(yFY解解 由題意由題意(t y)(t y)可知可知的取值范圍的取值范圍(fnwi)為為其它其它, 040,8 xxyYP 0yYP 1,14時時當(dāng)當(dāng)ey )(yFYlnyXP yXdxxfln)(yYP yePX 第44頁/共57頁第四十五頁，共57頁。設(shè)設(shè) X 具有概率密度具有概率密度 , 求求 的概率密度的概率密度)(xfXyXyP 求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得 )(yfY)(yYPyFY 2yXP )()(yFyFXX 例4 2XY 解解 )()(yFx

27、FYXYX和和的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和設(shè)設(shè)2XY 0,0時時當(dāng)當(dāng) y0)( yFY,0時時當(dāng)當(dāng) y0,0 ydyydFY)( 0,)()(21 yyfyfyXX第45頁/共57頁第四十六頁，共57頁。 . 0, 0, 0,21)(221yyeyyfyY 其概率密度為：其概率密度為：.,21)(22 xexx 則則 Y = X 2 的概率密度為：的概率密度為： 1 , 0 NX分布。的服從自由度為此時稱21Y第46頁/共57頁第四十七頁，共57頁。維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量n設(shè) 是定義在概率空間 11( ),( )nnXXXX維隨機(jī)變量。維隨機(jī)變量。為為則稱（則稱（個隨機(jī)變量個隨機(jī)變量的的

28、nXXnn),1元函數(shù)元函數(shù)個實(shí)數(shù)個實(shí)數(shù)對于任意對于任意nxxnn,1111(,),nnnF xxP XxXx的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。稱為（稱為（),1nXX (, , )PF第47頁/共57頁第四十八頁，共57頁。如果用平面如果用平面(pngmin)上的點(diǎn)上的點(diǎn) (x, y) 表示二維表示二維r.v. (X , Y )的一組可能的取值，則的一組可能的取值，則 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入圖所示角形區(qū)域的取值落入圖所示角形區(qū)域(qy)的概率的概率.(x, y)xy(,) ( , ),F x yP Xx Yy第48頁/共57頁第四十九頁，共57頁。 的二維正態(tài)分布，記為 ),(YX221211(, )exp2(1)21f xy 222221212121)()(2)(yyxx,2121120 ,0 ,11 ),(YX ,2121),(),(222121 NYX定義定義(dngy) (dngy) 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量的概率密度為的概率密度為其中其中(qzhn(qzhng)g)都是常數(shù)都是常數(shù)(chngsh),(chngsh),且且，則稱，則稱服從參數(shù)為服從參數(shù)為第49頁/共57頁第五十頁，共57頁。第50