二次函數(shù)概念公開課

1、第第2222章章 二二 次次 函函 數(shù)數(shù) 在一個(gè)變化過程中在一個(gè)變化過程中, ,如果有兩個(gè)變量如果有兩個(gè)變量x x與與y, y, 并且對(duì)于其中一個(gè)變量并且對(duì)于其中一個(gè)變量x取定一個(gè)值時(shí)取定一個(gè)值時(shí), ,另一個(gè)變另一個(gè)變量量y y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng), ,那么就說那么就說y y是是x x的的函數(shù)函數(shù), x, x是自變量是自變量. .函數(shù)函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函數(shù)正比例函數(shù)) ) y=kx y=kx (k0)(k0)函數(shù)函數(shù): :目前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了那幾種類型的函數(shù)？目前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了那幾種類型的函數(shù)？籃球運(yùn)行的路

2、線是什么曲線？籃球運(yùn)行的路線是什么曲線？問題問題1： 正方體的六個(gè)面是全等的正方形正方體的六個(gè)面是全等的正方形,設(shè)正方設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為形的棱長(zhǎng)為x,表面積為表面積為y,顯然對(duì)于顯然對(duì)于x的每一個(gè)值的每一個(gè)值,y都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,即即y是是x的函數(shù)的函數(shù),它們的具體關(guān)系可它們的具體關(guān)系可以表示為以表示為 y=6x2問題問題2：多邊形的對(duì)角線數(shù)多邊形的對(duì)角線數(shù)d d與邊數(shù)與邊數(shù)n n有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？由圖可以想出由圖可以想出,如果多邊形有如果多邊形有n條邊條邊,那么它有那么它有 個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn),從從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),連接與這點(diǎn)不相鄰的各頂點(diǎn)連接與這點(diǎn)不相鄰的各頂點(diǎn),可以作可

3、以作 條條對(duì)角線對(duì)角線.n(n-3) 因?yàn)橄窬€段因?yàn)橄窬€段MN與與NM那樣那樣,連連接相同兩頂點(diǎn)的對(duì)角線是同一條接相同兩頂點(diǎn)的對(duì)角線是同一條對(duì)角線對(duì)角線,所以多邊形的對(duì)角線總數(shù)所以多邊形的對(duì)角線總數(shù)MN321nnd即即nnd23212 式表示了多邊形的式表示了多邊形的對(duì)角線數(shù)對(duì)角線數(shù)d與邊數(shù)與邊數(shù)n之之間的關(guān)系間的關(guān)系,對(duì)于對(duì)于n的每一的每一個(gè)值個(gè)值,d都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,即即d是是n的函數(shù)的函數(shù). 問題問題3： 某工廠一種產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量是某工廠一種產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量是2020件件, ,計(jì)劃明后兩年增加產(chǎn)量計(jì)劃明后兩年增加產(chǎn)量. .如果每年的增長(zhǎng)率為如果每年的增長(zhǎng)率為x x, ,那么

4、兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y y將隨計(jì)劃所定的將隨計(jì)劃所定的x x的值而確定的值而確定, ,y y與與x x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？ 這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件件, 一年后的產(chǎn)量是一年后的產(chǎn)量是 件件,再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是 件件,即兩即兩年后的產(chǎn)量為年后的產(chǎn)量為20(1+x)20(1+x)2xy1202即即xxy2040202 式表示了兩年后的產(chǎn)量式表示了兩年后的產(chǎn)量y與增長(zhǎng)率與增長(zhǎng)率x之間的關(guān)系之間的關(guān)系,對(duì)于對(duì)于x的每一個(gè)值的每一個(gè)值, y都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,即即y是是x的函數(shù)的函數(shù).函數(shù)有什么共同點(diǎn)函數(shù)有

5、什么共同點(diǎn)? 觀察觀察 y是是x的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？y是是x的一次函數(shù)？的一次函數(shù)？y=6x2ndn23221xxy2040202 在上面的問題中在上面的問題中,函數(shù)都是用自變量的二次式函數(shù)都是用自變量的二次式表示的表示的,2、定義：一般地，形如、定義：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a 0)的函數(shù)叫做的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。的二次函數(shù)。（1）等號(hào)左邊是變量）等號(hào)左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變，右邊是關(guān)于自變量量x的的（3 ）等式的右邊最高次數(shù)為）等式的右邊最高次數(shù)為 ，可以沒有，可以沒有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但不能沒有二次項(xiàng)。一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但不能沒有二次項(xiàng)。注意注意：（2）

6、a,b,c為常數(shù)，且為常數(shù)，且（4）二次式二次式a0.2二次函數(shù)的一般形式二次函數(shù)的一般形式:yax2bxc (其中其中a、b、c是常數(shù)是常數(shù),a0)其中其中x是自變量，是自變量，a為二次項(xiàng)系數(shù)，為二次項(xiàng)系數(shù)，ax2叫做二次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，為一次項(xiàng)系數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)，叫做一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng)。為常數(shù)項(xiàng)。二次函數(shù)的特殊形式二次函數(shù)的特殊形式： 當(dāng)當(dāng)b0時(shí)，時(shí)， yax2c 當(dāng)當(dāng)c0時(shí)，時(shí)， yax2bx 當(dāng)當(dāng)b0，c0時(shí)，時(shí)， yax21 1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？2) 1()2)(2()5(xxxyxxy1)2(232)4(2xxy 23)

7、1 (2 xy( )( )( ) 否否 是是否否否否( )3)(2()3(xxy是是( )練習(xí)：練習(xí)： 1、 說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)（1） y=-x2+58x-112（2）y=x22、指出下列函數(shù)、指出下列函數(shù)y=ax+bx+c中的中的a、b、c（1） y=-3x2-x-1（3） y=x(1+x)（2） y=5x2-6例例1 1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是, ,分別指出二次項(xiàng)系數(shù)分別指出二次項(xiàng)系數(shù), ,一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù), ,常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng). . （1）y=3(x-1)+1 (2)

8、y=x+ (3)s=3-2t (4)y=(x+3)-x (5)y= -x (6)v=10 r1x_x1_解解: y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函數(shù)是二次函數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù):一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù):常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng):3-64(2) y=x+1x_不是二次函數(shù)不是二次函數(shù).(3) s=3-2t是二次函數(shù)是二次函數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù):一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù):常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng):-203(4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函數(shù)不是二次函數(shù). 二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù): 一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù): 常數(shù)項(xiàng)常

9、數(shù)項(xiàng):1000 不是二次函數(shù)不是二次函數(shù).(5)y= -xx1_ (6) v=10 r 是二次函數(shù)是二次函數(shù).22(9)(2)4ymxmxm例：若函數(shù)是二次函數(shù)，求 的取值范圍。解：解：092mm3的取值范圍。求是二次函數(shù)，若函數(shù)mxxmmy4)43(22解：解：0432 mmm1m422(1)mmymxm例：若函數(shù)關(guān)于x是二次函數(shù)，求 的取值范圍。01222mmm112mmm或2mm的取值范圍是例例2. 2. (1) m(1) m取什么值時(shí)取什么值時(shí), ,此函數(shù)是正比例函數(shù)此函數(shù)是正比例函數(shù)? ?(2) m(2) m取什么值時(shí)取什么值時(shí), ,此函數(shù)是二次函數(shù)此函數(shù)是二次函數(shù)? ?練習(xí)練習(xí)1.

10、函數(shù)函數(shù) 是二次函數(shù)，是二次函數(shù)， 求求m的值。的值。1) 1(2mxxmymm273mymx-=+()1.一個(gè)圓柱的高等于底面半徑一個(gè)圓柱的高等于底面半徑, ,寫出它寫出它的表面積的表面積 s 與半徑與半徑 r 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式.2. n2. n支球隊(duì)參加比賽支球隊(duì)參加比賽, ,每?jī)申?duì)之間進(jìn)行每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽一場(chǎng)比賽, ,寫出比賽的場(chǎng)次數(shù)寫出比賽的場(chǎng)次數(shù) m m與球隊(duì)與球隊(duì)數(shù)數(shù) n n 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .S=4r2 121nnm即即nnm212123 3、菱形的兩條對(duì)角線的和為、菱形的兩條對(duì)角線的和為26cm26cm，求菱，求菱形的面積與一對(duì)角線形的面積與一對(duì)角線x

11、之間的函數(shù)的關(guān)之間的函數(shù)的關(guān)系？系？211261322sxxxx=-= -+()解：它是s關(guān)于x的二次函數(shù)例題例題: : 正方形鐵片邊長(zhǎng)為正方形鐵片邊長(zhǎng)為15cm15cm，在四個(gè)角上各剪，在四個(gè)角上各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為去一個(gè)邊長(zhǎng)為x(cm)x(cm)的小正方形，用余下的部分的小正方形，用余下的部分做一個(gè)無蓋的盒子做一個(gè)無蓋的盒子（1 1）求盒子的表面積）求盒子的表面積S S與小正方形邊長(zhǎng)與小正方形邊長(zhǎng)x x之間的函之間的函數(shù)關(guān)系式；并直接寫出數(shù)關(guān)系式；并直接寫出x x的取值范圍。的取值范圍。1515xxxx（3 3）當(dāng)表面積為）當(dāng)表面積為125cm125cm2 2時(shí)，求小正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，求小正方形

12、的邊長(zhǎng). .（2 2）當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為）當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為3cm3cm時(shí)，時(shí)， 求盒子的表面積。求盒子的表面積。1、下列函數(shù)中，（、下列函數(shù)中，（x是自變量），是二次函數(shù)是自變量），是二次函數(shù)的為的為( )A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 DC21yx=2.函數(shù)函數(shù) y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函數(shù)是二次函數(shù)的條件是的條件是( )A m,n是常數(shù)是常數(shù),且且m0 B m,n是常數(shù)是常數(shù),且且n0C m,n是常數(shù)是常數(shù),且且mn D m,n為任何實(shí)數(shù)為任何實(shí)數(shù)C3.如果函數(shù)如果函數(shù) 是關(guān)于是關(guān)于x二次函數(shù)二次函數(shù),則則k的值是的值是_ 023231kkykx

13、kx-+=-+() 4 4：要用長(zhǎng)為：要用長(zhǎng)為20m20m的鐵欄桿，一面靠墻的鐵欄桿，一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)）（墻足夠長(zhǎng)） ，圍成一個(gè)矩形的花圃，圍成一個(gè)矩形的花圃，設(shè)垂直于墻的一邊設(shè)垂直于墻的一邊AB AB 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為xm m，矩形的，矩形的面積為面積為y m m2 2 ，求：，求：(1) 寫出寫出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系系式式. (2) 當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)時(shí),矩形的面積為多少矩形的面積為多少?A DB C(1)(202 )yxx解：2220 xx222 320 3 42ym (2)當(dāng)當(dāng)x=3=3時(shí)時(shí)(ox10)當(dāng)當(dāng)x3時(shí)，矩形的面積為時(shí)，矩形的面積為42m2?；匚稛o窮回味無窮小結(jié)小結(jié) 拓展拓展 1. 1.定義：一般地定義：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的函數(shù)叫做的函數(shù)叫做x x的二次函數(shù)的二次函數(shù). .其中其中, ,是是x x自變量自變量,a,b,c,a,b,c分別分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). .y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的幾種不同表示形式的幾種不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=a