線性代數(shù)答案四版

1、黃正華: h大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,430072目錄733第三章矩陣的初等變換與線性方程組第四章向量組的線性相關(guān)性4870第五章相似矩陣及二次型課后的習(xí)題值得我們仔細研讀. 本章建議重點看以下習(xí)題: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (這幾個題號建立有超級您發(fā)現(xiàn)有好的解法, 請不吝告知.) 若. 利用對角線法則計算下列三階行列式:? ? ?20abc? ? ?;?()4 (2);bcaa?83? ?cb?1x + yxy?(3);(4)x + yx.aabcy+ yx?222?bcxy解: ()? ?20?4 ?83?= 2 × (4) × 3 + 0 ×

2、 () × () + × × 8 0 × × 3 2 × () × 8 × (4) × ()= 24 + 8 + 6 4= 4.(2)?ab cbc aca b?= acb + bac + cba bbb aaa ccc = 3abc a3 b3 c3.?(3)?1?= bc2 + ca2 + ab2 ac2 ba2 cb2 = (a b)(b c)(c a).?aa2bb2c?c2?(4)x + y xyxyyx + y x?= x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx y (

3、3x + y) x33?x + y?= 3xy(x + y) y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3= 2(x3 + y3). 2 . 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序, 求下列各排列的逆序數(shù):() 2 3 4;(3) 3 4 2 ;(5) 3 · · · (2n ) 2 4 · · · (2n);(6) 3 · · · (2n ) (2n) (2n 2) · · · 2.(2) 4 3 2;(4) 2 4 3;解() 逆序數(shù)為 0.(2) 逆序數(shù)為 4: 4 , 4 3, 4

4、 2, 3 2.2(3) 逆序數(shù)為 5: 3 2, 3 , 4 2, 4 , 2 .(4) 逆序數(shù)為 3: 2 , 4 , 4 3.n(n) :(5) 逆序數(shù)為23 2個5 2, 5 42 個7 2, 7 4, 7 63 個. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n ) 2, (2n ) 4, (2n )

5、6, . . . , (2n ) (2n 2). . . . . . . . . . . . . .(n ) 個(6) 逆序數(shù)為 n(n ):3 2個5 2, 5 42 個7 2, 7 4, 7 63 個. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2n ) 2, (2n ) 4, (2n ) 6, . . . ,

6、(2n ) (2n 2)(n ) 個4 2個6 2, 6 42 個. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, . . . , (2n) (2n 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7、 . (n ) 個 3 . 寫出四階行列式中含有因子 a的項.a23解: 由定義知, 四階行列式的一般項為()tapa 2p2a 3p3a 4p4,其中 t 為 pp2p3p4 的逆序數(shù)由于 p = , p2 = 3 已固定, p p2 p3 p4 只能形如 3?, 即 324 或 342. 對應(yīng)的逆序數(shù) t 分別為0 + 0 + + 0 = , 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2.所以, aa23a32a44 和 aa23a34a42 為所求. 4 . 計算下列各行列式:? ?420242342?252() ? ?0?; ?(2) ? ?;?0023 2? ?5 ? ? 0? ?6 2?

8、 ?00a? abaccd cfaede?0?. ?b(3) ?;(4)?bd? ?00c?bfef420 50?0d解: ()? ? ? ? ?24202022240202?0240724?r r2r2 4r? ?=?050 5 2 20r30r0? ? ? ?03? ? ? ? ? ?2022022 02?0000?09? ? ?= 0.=r2=r=4=?r +7r?=4=2= 7 ×? ?57222000785005r3+5r2?2442009450 05(2)? ?240224 02 234?33 23 c4c2r4r2?0?=?23 2623 062?2? ? ?2? ?

9、?0?5230502? ?4 0?2 2r4r=?0 ? =?0.23?0? ?000(3)?1? abaccd cfae? bcc ce? ?= adf?= adfbce?bddebe? ?bfefbe?1?0 2?r +r?=2000 2= = 4abcdef.adfbceadfbce?2 0?r3+r?0 ?2?(4)? ? ? 0? ?000c d+ abba00a? ? ?r=+=ar=2 =? ?b? ?000c? 0?00+ abd+ aba0? ?aad? ?按第 列c3+dc2? ?=()()2+=+ cdcc?展開? ?000? d?+ ab 1+adcd按第 3 行?=(

10、)()?3+2= abcd + ab + cd + ad + .?展開. 證明:a2b2?ab?()?a + b 2b? ?= (a b);32a?1?證明a2b2a2ab a2b2 a2?ab?cc?2a a + b 2b1=2=2ab a2b 2a?c3c?00?3?+?a b + a222ab ab a? ? = (a b .=()?= (b a?)()?)3b ab a2b 2a2?ax + by ay + bzaz + bxay + bzaz + bx az + bxax + byax + byay + bzxy zyzzx y?(2)= (a + b );33?x54證明:?ax

11、+ by ay + bzaz + bxay + bz az + bxax + byaz + bx?xay + bz?az + bx ax + byay + bzay + bz az + bxax + byaz + bx ax + byay + bz?yz x?按第 列? + b ?ax + by=yaz + bxa?分裂開ay + bzzax + by?ay + bzaz + bx ax + byaz + bxxy zzx yyz xzx y?再次=2+ 0 + 0 + b2ax + byay + bza?裂開?xy zyz xzx yyz xzx yxy z?再次=?+ b?33a?裂開?x

12、y zyz xzx yxy zyzzxxy zyz?=+ b ()?= (a 3+ b )?3323a.zx? ? ?xyxya2b2 c2 d2(a + )2(b + )2(c + )2(d + )(a + 2)2(b + 2)2(c + 2)2(a + 3)2(b + 3)2(c + 3)2?(3) ? = 0;?(d + 2)(d + 3)?222:? ?證明? a22 ?a 2(a + )(b + )(c + )(d + )(a + 2)(b + 2)(c + 2)(d + 2)(a + 3)(b + 3)(c + 3)(d + 3)2a + 2b + 2c +2d +4a + 44b

13、 + 44c + 44d + 46a + 96b + 96c + 96d + 922?b2222?2? ?bc c?=j? ?c2d22222j=2,3,4c? ?2222d? ?2a + 2b + 2c +2d +22226666a2b2 c2 d2? ?=兩=列=成=比=例= 0c2c?=c43c232.? ? ?此題有一個 “經(jīng)典” 的解法:ax + byay + bzaz + bxaxayazbybzbx? ay + bzaz + bxax + by ? = ? ayazax ? + ? bzbxby ?+ bxax + byay + bzazaxaybxbybz? az?xyzyzx

14、xyzxyz=a3 ? yzx ? + b3 ? zxy ? = a3 ? yzx ? + b3() 2 ?yzx ? zxy ? xyz ? zxy ? ? zxy ?xyz=(a3 + b3) ? yzx ? .? zxy ?這個解法 “看上去很美”, 實則是一個錯解! 我們強調(diào), 行列式不能作這種形. 式. 上. 的加法:a. . .anb. . .bna+ b. . .an + bn?. .? + ?. .? = ?. .? .? an· · ·ann ? bn· · ·bnn ? an + bn· · &

15、#183;ann + bnn ?5?1?aa2 a4bb2 b4cd(4) ? = (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a + b + c + d);c2d2c4d4?證明:?10b a b2 a2 b4 a40c a c2 a2 c4 a40d a d2 a2 d4 a4?aa2 a4bb2 b4cdaa2 a4c c?=jc2d2c4d4?j=2,3,4?b ac ad a?展開 r=222222b ac ad a?2( 22)c2(c2 a2)d2(d2 a2) 1c + a?b b a?= ()()()b + ad + ab ac ad a?b b + a)2

16、(c2(c + a)d2(d + a)0? ?0?c2c=()()()b + ab ac ad ac bd b?c3c?b b + a2()c c + a2() b b + a2()d d + a2() b b +2()?a? ?展開 r= ()()()()()?b ac ad ac bd b?(c + bc + b ) + a(c + b) (d + bd + b ) + a(d + b)?2222= (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a + b + c + d).00000x· · ·· · ·?0x.

17、(5)?= xn + a xn + · · · + an x + an .?.00. 0an2.x a2.· · ·?x + aanan· · ·證明: 方法一. 設(shè)法把主對角線上的 x 變?yōu)?0, 再按第一列展開.0000000x· · ·· · ·?0x.?.0.x.D =n00anx000an0?· · ·· · ·· · ·· ·

18、 ·· · ·xa20a300?x + a00an20?00?x.?. 00an2.x0a3.c+xc=nn?00an00an0?· · ·· · ·· · ·? ?0?x2 + ax + a2x + a?60000000x0· · ·· · ·?x.?. 00an200. 00x3 + ax3 + a2x + a3.c?=n=00an00an0?· · ··

19、83; ·· · ·? ?0?x2 + ax + a2x + a?0000· · ·· · ·?0.?. 00xn + axn + · · · + a nx + an. 00.c +xc?=jj0?· · ·· · ·· · ·? ?0?xn + a xn2 + · · · + an2 x + anx2 + ax + a2x + a?·

20、· ·00?0.· · ·00.?n+?. .?. . .=(xn + a xn + · · · + an x + an )()? ?000· · ·?· · ·0=(xn + axn + · · · + a nx + an)()n+()n=xn + axn + · · · + a nx + an.方法二. 設(shè)法把 全部變?yōu)?0, 得到一個下三角矩陣. 若 x = 0, 則 Dn = an. 等式

21、成立.若 x 6= 0, 則0x00000x0· · ·· · ·?=c2=+=x=c=? ?.D.n? ?0anx000an2· · ·· · ·00xa2?+ anx + aanx0x· · ·000?0· · ·=c3=+=x=c=2=?. 0a.0.0.x.?· · ·· · ·?+ an+ an + anx + aaaannn22x2xx=

22、83; · ·x0x000000· · ·· · ·?0.=?. 0a.0.0.x0?· · ·· · ·?+ an + an+ anaaPPnnn22x2xx這里, + a3 + a4an = a+ · · · + +,P22x2xn2x7 + a2 + a3aP = x + a+ · · · + +.n xx2xn得到下三角陣, 所以Dn = xn · P = xn + a xn +

23、 · · · + an方法三. 用遞歸法證明. 記x +na .00000x· · ·· · ·?0x.Dn =?,?. 0an2.x a2.0an0an· · ·· · ·?x + a則0000000· · ·· · ·· · ·x?.x.0.0· · ·.x.?D =展=開=c=xn+ ?+ a?()?nn.?x + a?0

24、0?aa· · ·a· · ·xnn22= xDn + an()n+()n = xD所以, Dn = xDn + an. 由此遞歸式得+na .nDn = xn + axn + · · · + a nx + a n.方法四. 按最后一行展開. 先看 ani 的代數(shù)余子式. 因為?= ?Dn?x + aan(i+)a2劃掉 ani 所在的行和所在的列, 左上角是 i × i 的方塊, 右下角是 (n i ) × (n i ) 的方塊, 余下全為 0.則 a的代數(shù)余子式為 (i + 列)注

25、意到 a處在第 n 行、nini:? ? ? ? ?x xx? ? ? ? ?. .?. .? ? ?x? ?. .?()n+i+= xi? ? ? ? ?x?.? ?(ni)×(ni)xi×i所以, Dn 按最后一行展開, 得到Dn = an + anx + an2x2 + · · · + anixi + · · · + a2xn2 + (x + a)xnxxx. . . . .xx. .x. . .xananan2· · ·an(i)ani8= xn + axn + ·

26、· · + a nx + an.作變換.方法五. 針對 c? ?0x000000x00x0· · ·· · ·· · ·? ?= ?Dn.?. 0an2x0.x a2.? ?0an0an0x20· · ·· · ·0x?x + a0? ?000· · ·?00? ?· · ·· · ·?=c=+=x=c2=?.?.? ?0an + an

27、x00x3. 00an0na2· · ·· · ·x2a?x + a0? ?0x. 000x0. 0an· · ·?0· · ·· · ·? ?0.x2a0.?2=c =+=x=c3=? ?· · ·· · ·?an + an x + an2x + a?x2na2= · · ·00x000000x0· · ··

28、83; ·· · ·?00= ? ,.00. 0an2.x a2.?· · ·· · ·?x + a?Pan這里, P = an + anx + an2 x2 + · · · + a xn + xn.再按第一列展開, 得Dn = xn + axn + · · · + a nx + an. 6 . 設(shè) n 階行列式 D = det (aij), 把 D 上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn) 90 、或依副對角線翻轉(zhuǎn), 依次得? ?an· &#

29、183; ·annan· · ·nana· · ·annn?.D =? ,= ? ,=? ,D2D3.?· · ·· · ·n· · ·anaaaaan() nn證明 D = D = ()D,D= D.223證明:?a· · ·· · ·a?nan· · ·ann?aan ?nnn 次行的相鄰互換.?nD =().an.? ?.?使 rn 換到第一

30、行?a· · ·?a· · ·a22n9?aa2· · ·· · ·an?· · ·a2n?n2 次行的相鄰互換= () n( )n2an?ann= ·?· ·使 rn 換到第二行?.?.a3.a3n?+2+···+(n2)+(Dn=)· · ·?a.· · ·.· · ·a?n?.n(n)D.?=

31、 () n( ) n· 2· · ()= (?)( ).an.2?ann同理可證a.· · ·an?n(n)n(n)n(n).D2 = ()= ()T= ().an.annDD.222?· · ·()()n(n)nnnnD = ()D= ()()D = ()n(nD)= D.22232 7 . 計算下列各行列式 (Dk 為 k 階行列式)：? ?a?.() D n=, 其中對角線上元素都是 a, 未寫出的元素都是 0;.?a解: 方法一. 將 cn 作 n 次列的相鄰對換, 移到第二列:? ? ?a? ?

32、a00a000a000· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·?00a?n ? 0?.0Dn =?= ()?.000.? ?.a00a.0.?· · ·· · ·?0a. 0?0· · ·a再將 rn 作 n 次行的相鄰對換, 移到第二行:0? ?· · ·0a?a0· · ·00

33、3; · ·?.? ? ?a?00· · ·0.Dn = () n( )= (a2 )an2.na?.a? ? ? ? ?a.?.· · ·?(n2)×(n2)?000· · ·a方法二.? ?a00a0· · ·· · ·?00.Dn =?.?00a00a· · ·· · ·a?0? ?0a0· · ·· ·

34、; ·?00=展=開=c=a ?. . .?+ × ()n+?.? ?.?a? ?0· · ·a 0?(n)×(n)(n)×(n)0a?. . .=展=開=r=an + () n+× × ()(n)?+?(n2)×(n2)a= an an2.xa· · ·ax · · ·aa?(2) D =?;?n.x?aa· · ·解: 方法一. 將第一行乘 () 分別加到其余各行, 得xa xaa0·

35、83; ·· · ·· · ·a00?x a?0Dn =?a . xx . a,?.a x.0.0.x a?· · ·再將各列都加到第一列上, 得x + (n )aaa0x a· · ·· · ·· · ·a00?00x a= ?x + (n )a?(?x a)0Dn =?n.0.0.0.x a?· · ·方法二. 將各列都加到第一列得x + (n )a x + (n )ax

36、+ (n )aax· · ·· · ·aaa· · ·x · · ·aa?= ?x + (n )a? ?D =?. .?n.x.x?a· · ·a· · ·再將第一行乘以 () 分別加到其余各行, 得aa0x a· · ·· · ·· · ·a00?0 x aDn = ?x + (n )a方法三. 升階法.? ?= ?x + (

37、n )a?(?x a)00n.? ?.0.x a?00· · ·a0 x0aa· · ·a· · ·aa aaa0x a· · ·· · ·· · ·a00?x a?r r0=?x · · ·=iD?ni=2,3,···?.?.?.x.x a? ?(n+)×(n+)?(n+)×(n+)0aa· · ·00&#

38、183; · ·若 x = a, 則 Dn = 0. 若 x 6= a, 則將加到 c , j = 2, 3, · · · , n + :xa cj? ?+a naa0· · ·a00?xa? ?00x a· · ·?0Dn =?x a · · ·?.0. 0?(x a).0.?· · ·x a(n+)×(n+)= ? +x? + (n )a (x? a)nan=n.x a· · ·&#

39、183; · ·(a )(a n)nan an.n?(a )n(a n)n?. .a. .(3) Dn+=?; (提示:?利用范德蒙德行列式的結(jié)果. ).? ?a · · ·a n解: 從第 n +? 行開始, 第 n +行經(jīng)過 n 次相鄰對換? , 換到第 行; 第 n 行經(jīng) (n ) 次對換換到第 2· · ·行. 經(jīng) n + (n ) + · · · += n(n+)次行交換, 得 (或者直接由題 6 的結(jié)論)2· · ·· ·

40、·?a a na?.n(n+) 2.D= ()?.,?n+anan(a )n(a )n(a n)n ?· · ·· · ·?(a n)n此行列式為范德蒙德行列式.對照范德蒙德行列式的寫法知, 這里的 a = x , a = x2 , . . . ,a (n ) = xn , a n =.則xn+xi = a (i ), x j= a (j ). 所以Y?n(n+) 2D= ()x xn+ijn+>i>j>Y?(a i + ) (a j + )?(i j)n(n+) 2= ()= ()= ()=n+>i

41、>j>Y? (i j)?n(n+) 2n+>i>j>Yn(n+) 2n+(n)+···+× ()×(i j).n+>i>j>Yn+>i>j>0anbn?. . .?acbd(4) D=?00;?2n?. . .?0?cndn解: 方法一. 將 c2n 作 2n 次列的相鄰對換, 移到第二列; 再將 r2n 作 2n 次行的相鄰對換, 移到2第二行:ancnbndn?abnn?. . .2n2n? ?D2n = ()( )= (cn)D2(n)a d,? ?n nacbd?. .

42、.?= a?cndnacbd?又 n = 時 D =, 所以?d b c2?nYD2n = (andnncn) · · · (a d b c ) =(a d b c ).i ii ii=方法二.0000anbnanbn?. . . . .?.abacbd00.0.0展開 r?D=+ ()b2n+a?cd2nnn?. . . . .?0cn0· · ·0dncn0dn0cn0dn0?0=展=開=c=2n= ad D b cD.n nn n 2n2由此得遞推公式:andn bncn)D2n2,D2nYn即 D=(a d b c )D .2niii i2i=2?nYacbd?而 D =a d b c ,