圓錐曲線解題技巧和方法綜合(經典)之歐陽家百創(chuàng)編

1、歐陽家白創(chuàng)編錐曲線解題方法技巧歸納歐陽家百(2021.03. 07)第一、知識儲備：1-直線方程的形式(1) 直線方程的形式有五件：點斜式.兩點式、斜截式、截距式、般式。(2) 與直線相關的重要內容傾斜角與斜率A = tan a, a已0,兀)點到直線的距離"需驚夾角公式：(3)弦長公式直線 y = kx+b上兩點 A(xx,”) Bx2,兒)間的距離：|AB| = Jl + £卞-x2=70 + 2)( +x2)2 -4a-x2或網二帆-山(4)兩條直線的位置關系厶丄L o晌=1厶/2 O& =為且孫哉2、圓錐曲線方程及性質(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形

2、式)2 2標準方程：+ = 1(? > 0丿> 0且2 H n)in n距離式方程：J(x + c)2+)F + yj(x-c)2+y2 = 2a 歐陽家百創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編參數(shù)方程：x = acos0,y = bsin0(2) 、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程:+ = l(m n<0)in n距離式方程：I J(x + c)' + y2 _J(x_c)2+b |=2a(3) 、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？(4) 、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？ 如：已知殲、竹是橢圓y + y = l的兩個焦點，平面內一個動點M滿足M州-M可=2則動點M的軌跡是()A、雙曲

3、線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式：P在橢圓上時，= b2 tan- 2(其中 Gcos & =寫匚 PF； PF； = PF； II PF； I cos & )記住焦半徑公式橢圓焦點在x軸上時為“ ± %;焦點在y軸上時為"土臥,可簡記為“左加右減，上加下減二(2)雙曲線焦點在x軸上時為ex0±a歐陽家白創(chuàng)編(3)拋物線焦點在a軸上時為1冊1+彳,焦點在y軸上時為1必1+上2 2(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲備1、點差法(中點弦冋題)設心,必)、B(x21y2)9 M(“)為橢圓寧

4、+耳=1的弦AB中點則有 孚+車“，孚+車=1 ;兩式相減得與日+與丄0434343(x,-x2Xx1+x2)_ b)以兒+兒)_ - 3dn 53*一鬲2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？ 經典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得 到一個二次方程，使用判別式“，以及根與系數(shù)的關系，代 入弦長公式，設曲線上的兩點心,”),丫2，兒)，將這兩點代入曲 線方程得到60兩個式子，然后,0,整體消元,若有兩個 字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦 點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關系, 則尋

5、找坐標之間的關系，根與系數(shù)的關系結合消元處理。一旦 設直線為y = kx+b.就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓W+5b =80上，且點A 是橢圓短軸的一個端點(點A在y軸正半軸上).(1) 若三角形ABC的重心杲橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;(2) 若角A為90。，AD垂直BC于D,試求點D的軌跡方程.分析：第一冋抓住“重心二利用點差法及重心坐標公式可求出中點 弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二冋抓住角A為90?？?得出AB丄AC,從而得+ yy2 -14(y, + >'2) +16 = 0 ,然后利用聯(lián)立消 元法及交軌法求出點D的軌跡方程；解

6、:(1)設 B (旺，兒),C( x2, y2 ),BC 中點為(心,n),F(2,0)則有兩式作差有+十亠（l）F（2,0）為三角形重心，所以由士尹=2,得心=3,由廠仁0 得兒=-2，代入得*=£直線BC的方程為6x-5y-28 = 02)由 AB丄AC得砂2 + y*2-14® +力)+16 = 0 (2)設直線 WkbBC 方程為 y = kx+b,代入 4x2 +5y2 = 80(4 + 5/ )x2 + 0bkx+ 5b2 -80 = 05 戸 一804 + 5k2X + >?2 =8k4/?2-8024 + 5k2代入（2 ）式得9b_ _32b_6zg

7、 .4-7 = 0,解待方=4(舍)或b =4 + 5Ar94直線過定點(0,-，設D (x,y),則上X口"1,即9x x9y2+9x2-32y-16=0所以所求點D的軌跡方程是宀（，_罟）2 =（裁（嚴4）。4、設而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中|AB| = 2|CD|,點E分有向線段疋所成的比為幾，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當 彳"三時，求雙曲線離心率e的取值范圍。34分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念 和性質，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決冋題的能力。建立直角坐標系心，如圖，若設c討,代入缶計1,求得“,進而求得皆，

8、甘，再代入4-=1,建立目標函數(shù) cC by(d,b,e,2) = 0,整理/(e,A) = O,此運算量可見是難上加難.我們對力可采取設而不求的解題策略，建立目標函數(shù)心,吐,刃=0,整理心,刃=0,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為”軸，建立直角坐標系2y,則CD丄y軸因為雙曲線經過點C、D,且以A、其中c詁IABI為B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于)，軸對稱依題意，記 A(_c,o), Cji J, Edu，,雙曲線的半焦距，力是梯形的高，由定比分點坐標公式得 _Y + ? _(/i 2k_ AhX ° = 1 + A = 2(2 + 1)，

9、9;(，= T+I設雙曲線的方程為則離心率心£aa由點C、E在雙曲線上，將點C. E的坐標和心£代入雙曲線 a方程得乙_£T"F希卜島討由式得$料,將式代入式，整理得歐陽家白創(chuàng)編-（4-42）=1 + 22,由題設詔得,紳-亠詔343+24解得y/i<e<y所以雙曲線的離心率的取值范圍為V7. Vio分析：考慮|AE|,|AC|為焦半徑，可用焦半徑公式,AE,AC|用E,C的橫坐標表示，回避力的計算，達到設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一，|AE=-a + exEWAC = a+exc,X二孚二貯忖又際代入整理八1-十，由題1 + A

10、2(2 + 1)|AC| 1 + 20+1設彳"兮得,*1-亠坯343“+24解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為萬.怖5、判別式法例3已知雙曲線c：£- = i,直線/過點A(Wo),斜率為k,當0 < k < 1時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線/的距離為V2 ,試求&的值及此時點B的坐標。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因 此，數(shù)形結合必然是研究解析幾何冋題的重要手段.從“有且僅有” 這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與/平行的直線， 必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式A = 0.由此出發(fā)，可

11、設計如下解題思路：/: y = k(x-冋(OvRvl)直線加刪憾越I擁/的距離為V2歐陽家白創(chuàng)編解題過程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線/的距離為相當于化歸的方程有唯一解.據此設計出如下解題思路:求解點，則點M到直于是，問題即曲化為妬土奧護附方程. 由于0 v k <11丿八j2 + x?> |a| > kx,從而有歐陽家白創(chuàng)編于是關于*的方程(*)由 0<k<q 知：方程(/-1>2 + 2心伙2+1)一婭)丫 + ©2伙?+1) 一邁訂-2 = 0的二根同 正，故/2(F+l)-、

12、鳥+總>0恒成立，于是(町等價于(k2 _忖 + 2命2(疋十 1)-、伍小 +(J2伙2+1)-41k -2 = 0.由如上關于x的方程有唯一解，得其判別式 = (),就可解得25點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現(xiàn) 了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓CM+2b風和點P (4, 1),過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q,使話"需，求動點Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生歐陽家百創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡冋題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q

13、的橫、縱坐標用參數(shù) 表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點 W)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直 線AB的斜率M乍為參數(shù)，如何將"與斤聯(lián)系起來？一方面利用點 Q在直線AB上；另一方就是運用題目條件：眷-畔來轉化. rD )D由A、B、P、Q四點共線，不難得到一4比+3-2心要建立兀與k的8-(.丫片 +勺)關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即 可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對 于如何解決本題，已經儆到她門有數(shù).PB QB. .fe k) mil可中 v =解得將直線方程代入橢圓方程.消去竹利用韋達定理寺到機則VD住。從I

14、II間11冃玄參的過在得到歸之一豎計吐把握，認識到：所謂消參,目的不過是得到弓"，直接代入、 4K)利用點Q滿足直線AB的方程：y = k(x-4)+l,消去參數(shù)k程。簡解:設心擁警吧方程則由冷囁可得:攔=X-X兀2 _ 4 x2 -x解之得:4(1 +x2) 2x,a28 (x( + x,)(1)設直線AB的方程為：嚴心_4) + 1,代入橢圓C的方程，消去y 得出關于X的一元二次方程：(2k2+)x2 + 4k(l一4k)x +2(1 4疔-8 = 0(2)XX2 =.4&(4R-1)=2宀 1， 2(1_4燈28 2FTi代入（1）,化簡得:歐陽家白創(chuàng)編4k+ 3k +

15、 2與=心_4） + 1聯(lián)立，消去£得：（2x+y_4X4） = 0.在(2)中，由 = -64/+64£ + 24>0,解得2-皿V2 +麗,結合（3）可求得"-2麗十16 + 2価99故知點Q的軌跡方程為：2x+y_4 = 0（16-2、吐、）99點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一 元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難 點在引出參，活點在應用參，重點在消去參，而“引參、用參、消 參”三步曲，正是解析幾何綜合冋題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設直線/過點P （0, 3）,和橢圓4 + 4 = 1順次交于A、

16、B兩94點，試求煤的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：冥亠，但從此后卻18 心籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求 取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾 個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其 二則是構造關于所求量的一個不等關系.分析1：從第一條想法入手，畫r-么己經杲一個關系式，但 Pb Xb由于有兩個變量心,也，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然 想到利用第3個變量直線AB的斜率k.冋題就轉化為如何將歐陽家白創(chuàng)編七心轉化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程,消去y得出關于兀的一元二次方程，其求根

17、公式呼之欲出.把直線/的方程y二做+3代入橢圓方程，消去y得 簡解1 暫醴洋當/與求根公式4 小 IxA=f (k)r xb = g (k)時帚可求得 = -|； *4（冋,）“3（切力），直線/的方程為:y =也+ 3,加得0k' + 4甘 + 54kx+ 45 =0得到所求雖關于k的函數(shù)關系式* '的取值范鬧所求雖的取值范鬧羔P在y軸上，所以只需考慮k>o的情形.-276加I9F+41以當“0時，L蔦疔 所以蘭一衛(wèi)=-狄+ 2呼寧=PB x2 9R + 2J9, 一59R + 2加2 -5189 + 2占-2由 = (-54幻2-180(9/+4)二0,解得 jt2

18、>|,18所以-1<1-<丄9 + 2嚴5綜上七蘭冬丄PB 5分析2:如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往 往是產生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定斤的取值 范圍，于是冋題轉化為如何將所求量與斤聯(lián)系起來.一般來說，韋達 定理總是充當這種冋題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于=-不是關于”斗的對稱關系式.原因找到后，解決問題 PB x2的方法自然也就有了，即我們可以構造關于A-., X2的對稱關系式.把直線/的方程y = Rx+3代入橢鬪方程.消去y得到關屯啤家馳馨韋達定理歐陽家白創(chuàng)編簡解2:設直線/的方程為：嚴也+3,代入橢圓方程，消去），

19、得(9k +4)L +54kx+45 = 0(*)一54£X + 禺=、9/+445 也=以刁令斜九則，T亠風在（*）中，由判別式可得2>|,從而有32* 一 36,所以4 << 45k2+2054" +丄+ 25，解得/t5結合Ov/lSl得丄 綜上，若PB 5點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均 值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質法，數(shù)形結合法等等.本 題也可從數(shù)形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清冋題的實質所在， 只有見微知著，樹立全

20、局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決 勝千里.第三、推理訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的 基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即 定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解 題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到歐陽家百創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為A.B, 0為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點,且喬而=1,(I )求橢圓的標準方程；(H)記橢圓的上頂點為M,直線/交橢圓于P0兩點，冋：是否存在直

21、線/，使點F恰為AP0M的垂心？若存在，求出直線/的方 程;若不存在，請說明理由。思維流程:)由 AFFB = , |UF| = 1(d + c)(d-c)=1 , C = 1由F為2GM的重心JLPQ 丄 MF、MPLFQkpQ = 1仙' = 乂 + W消兀.乂2 + 2y2 = 23宀4認+2腫一2 = 0得出關于* m的方程 1= l(n>Z?>0),貝業(yè)=1解出mM 兩根之和，f 兩根之積- MP F<2 = 0(I)如圖建系,設橢圓方程為卡詳又: AF - FB = 1 即(a + c)-(a c) = l = a2c29 / a2 = 2故橢圓方程為y4

22、-r = l(II )假設存在直線/交橢圓于P,Q兩點,且F恰為AP0M的垂心,則設戶(州,兀),0匕2，兒)，* M(O,1),F(1,O),故仏=1,于是設直線/為尸卄也,由得，AT + 2廠=2歐陽家白創(chuàng)編3F+4mv + 2用一2 = 0.兒爐尸0 = 0 =州(兀2_1) +2('|_1)又X =召 + 加(：=1,2) 得州(X2 -1) + (x2 + “(X + 加 _ 1) = 0 即2x2 + (召 + x2)(m-1) + nr -m = 0 由韋達定理得 解得或7 = 1 (舍)經檢驗心-斗符合條件.點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉化為 兩

23、向量乘積為零.例7、已知橢圓£的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經 過 A(-2,0)、3(2,0)、cfhjl 三點.(I )求橢圓E的方程：(H )若點D為橢圓E上不同于A、的任意一點,F(-l,0),H(l,0),當£>/內切圓的面積最大時，求DFH內心的坐標;思維再程：得到2丿的方程由橢圓經過A、B、C三點 設方程為nix2 + ny2 = 1_(I )'1-I -I(II) 由 山陽 內切圓而積最大I _ I轉化為 山陽而積最大解免轉化為點D的縱坐標的絕對值最大最大侍出D庶坐懷U,土一3麗壬0) ADFH而積最大值為石D為橢圓短軸端點程為皿 +=

24、1 (2 > 0屮FH =yX周氏X0J切閔4加=1,729|解得匸打斗橢圓£的方程7 +務"m+-n=434 3、4歐陽家白創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編(II ) IFHI=2,設 APFH邊上的高為=-x2x/? = /z2當點D在橢圓的上頂點時，力最大為厲，所以S旳的最大值為齒.設的內切圓的半徑為/?,因為的周長為定值6.所以, Sadf =尺 6所以尺的最大值為£.所以內切圓圓心的坐標為©羋).點石成金：S丄 丄的內切圓=2的周長X G的內切閔歐陽家白創(chuàng)編例8、己知定點C(-1,0)及橢圓宀3宀5,過點C的動直線與橢 圓相交于A，8兩點.(I )若線段

25、AB中點的橫坐標杲-,求直線AB的方程；(1【)在久軸上是否存在點M,使加.mA為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.思維流程：(I )解：依題意，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為 y = k(x + ),將y=k(x+l)代入x2+3y2=5f 消去 y 整理得(3 + l)x2+6x+3-5 = 0.設 y), B(x2, y2),A = 36k4 一4(3疋 +1)(3疋-5)> 0,x+x2 =6k23k2+由線段A3中點的橫坐標是冷，得苓一帶亍冷，解得k仝,符合題意。3所以直線43的方程為x->/3y + l=0 t或x+>/3y + l=0(

26、II)解:假設在兀軸上存在點M伽,0),使莎屈為常數(shù).歐陽家白創(chuàng)編歐陽家白創(chuàng)編當直線汕與兀軸不垂直時，由(I)知x+x2 =所 以 MA MB = 3 - "(勺ni) + y y2 = (x( m)(x2 m) + Z:2 (xt + l)(x2 +1)= (k2 + V)xx2 +(k2- m)(x +x2) + k2+m2.將(3)代入， 整理得顧祈6f *宀怕曲+ 匕滬6/77 + 143/+13疋 + 1=m2 + 2/?/ 一 -z.3 3(3 宀 1)注意到莎祈杲與k無關的常數(shù)，從而有6加+ 14 = 0,心冷，此時9當直線AB與x軸垂直時，此時點4, 3的坐標分別為卜

27、1,習、(一1,一劑 當一£時，亦有=綜上，在X軸上存在定點a/-彳,0，使莎祈為常數(shù).5)點石成金:(2加一 *)(3/+1) - 2加一 ¥3疋+ 1+ nr例9、己知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M (2, 1),平行于OM的直線/在y軸上的截距為m (mfO), /交橢圓于A、B兩個不同點。(I )求橢圓的方程；(II) 求m的取值范圍；(III) 求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程:歐陽家白創(chuàng)編解：(1 )設橢圓方程為十+器 = 1("0)a = 2b41 解得;:橢圓方程瑪丐"(II) V直

28、線1平行于OM,且在y軸上的截距為m 又KOM二丄./的方程為:y = -x + m2 21y = x + m' 2 2 9=°.+ 2mx + 2廠一4 = 0匸+匚18 2丁直線1與橢圓交于A、B兩個不同點，= (2滬一 4(2/_4) > 0,解得一 2 < m < 2今且加H 0(III)設直線MA.MB的斜率分別為klt k2,只需證明kl+k2=0即可設 A(xxy yx B(x2,y2),且州 +x2 = 一2m、xAx2 = 2m2 -4則R嚴廠溟X _ 2 x2 - 2由 x2 + 2/zlv + 2/ - 4 = 0可得di - 2)(x

29、2 2)而 «+&= + _(兒一 1)一(勺一2) + (兒-1)(州-2)X 2 2故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線ma. MB與x軸始終圍成一個等腰三角形例10、已知雙曲線忘】的離心率-竽,過心")的直歐陽家白創(chuàng)編線到原點的距離是斗.(1)求雙曲線的方程; 己矢0直線y = kx+5(k0)交雙曲線于不同的點C, D且C, D都在以B為圓心的圓上，求k的值.思維流程:十的距離整理得解：(1 )手=語，原點到直線AB : abab y/3= 故所求雙曲線方程為J，(2 )把y = kx+5代入x2 -3y2 =3中消去(l-32)x2

30、-30-78 = 0.設eg j),叫，y2X CD的中點是£(心兒),則即忌+呑乂 "Z故所求心±".點石成金:C, D都在以B為圓心的圓上oBC二BDoBE丄CD;例11、己知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上 的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(I )求橢圓C的標準方程；(II)若直線/：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左 右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證: 直線/過定點，并求出該定點的坐標.歐陽家白創(chuàng)編思維流程:解：(I)由題意設橢圓的標準方程為+若十b>0),cr ty由已知得：d + c = 3, a-c = ta =?:t二橢圓的標準方程為-.Zr =(廣一 L =34 3(II)設心,y) B(xr y2).14 3得 (3 + 4A:2)x2 + Smkx + 4(/n2 - 3) = 01 貝!J因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),X 2 as 2 3 + 4 疋3 + 4疋 3 + 4 疋* ADBD = 一1 ' 8D -T = 一1 二 y2