自動(dòng)控制原理課件第四軌跡

1、1第四章第四章 根軌跡法根軌跡法 4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 4.2 繪制根軌跡的規(guī)則繪制根軌跡的規(guī)則4.3 廣義根軌跡廣義根軌跡 4.4 線性系統(tǒng)的根軌跡分析法線性系統(tǒng)的根軌跡分析法2 根軌跡法是一種圖解方法，它是經(jīng)典控根軌跡法是一種圖解方法，它是經(jīng)典控制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法制理論中對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀描述了系統(tǒng)的閉環(huán)之一。由于根軌跡圖直觀描述了系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在極點(diǎn)在s平面上的分布，特別是對于高階系統(tǒng)平面上的分布，特別是對于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法分析自動(dòng)控制和多回路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)比用其他方法更為方便

2、，因此在工程實(shí)系統(tǒng)比用其他方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。踐中獲得了廣泛應(yīng)用。 本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的基本規(guī)則和用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)跡的基本規(guī)則和用根軌跡分析自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的方法。性能的方法。3 4.1 根軌跡的概念根軌跡的概念 一一根軌跡圖根軌跡圖 根軌跡圖是根軌跡圖是閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)隨隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由由零變化到無窮大時(shí)在零變化到無窮大時(shí)在 S 平面上的變化軌跡。平面上的變化軌跡。例例4-1已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)開試

3、分析該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)開環(huán)根增益環(huán)根增益 Kr 的變化在的變化在 s 平面上的分布情況。平面上的分布情況。 4 解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根是特征方程的根是設(shè)設(shè) Kr 的變化范圍是的變化范圍是0, ，當(dāng)當(dāng) Kr=0 時(shí)時(shí), s1=0; s2=-2當(dāng)當(dāng) 0 Kr1時(shí)，時(shí)， s1與與s2為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根；為不相等的兩個(gè)負(fù)實(shí)根；當(dāng)當(dāng) Kr =1 時(shí)，時(shí)， s1 =s2= -1為等實(shí)根；為等實(shí)根；5 當(dāng)當(dāng)1 Kr 時(shí)，時(shí)， 為一對共軛復(fù)為一對共軛復(fù)根，其實(shí)部都等于根，其實(shí)部都等于-1，虛部隨，虛部隨Kr值的增加而值的增加而增加；

4、增加； 當(dāng)當(dāng)Kr時(shí)，時(shí)，s1、s2的實(shí)部都等于的實(shí)部都等于-1，虛部趨，虛部趨向無窮遠(yuǎn)處向無窮遠(yuǎn)處 。 該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)該系統(tǒng)特征方程的根隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù) Kr 從零變從零變到無窮時(shí)在到無窮時(shí)在S平面上變化的軌跡如平面上變化的軌跡如圖圖4-1所示。所示。6圖圖4- -1 例例4- -1的根軌跡的根軌跡7 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)Kr為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征為某一確定的值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在方程的根在s平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)平面上變化的位置便可確定，由此可進(jìn)一步分析系統(tǒng)的性能。一步分析系統(tǒng)的性能。Kr值的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征值的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的影響可在根軌

5、跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參方程的影響可在根軌跡上直觀地看到，因此系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖數(shù)對系統(tǒng)性能的影響也一目了然。所以用根軌跡圖來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。來分析自動(dòng)控制系統(tǒng)是十分方便的。8 上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，上例中，根軌跡圖是用解析法作出的，這對于二階系統(tǒng)并非難事，但對于高階系統(tǒng)，這對于二階系統(tǒng)并非難事，但對于高階系統(tǒng)，求解特征方程的根就比較困難了。如果要研求解特征方程的根就比較困難了。如果要研究系統(tǒng)參數(shù)的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的究系統(tǒng)參數(shù)的變化對閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的影響，就需要大量反復(fù)的計(jì)算。影響，就需要大量反復(fù)的計(jì)算。 1948年伊文斯

6、解決了這個(gè)問題，提出了年伊文斯解決了這個(gè)問題，提出了根軌跡法根軌跡法。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特。該方法不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，只需依據(jù)征方程，只需依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制系便可繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。統(tǒng)的根軌跡圖。9 通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此通常系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)是已知的，因此建立開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，建立開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系，有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制。設(shè)控制系統(tǒng)如有助于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的繪制。設(shè)控制系統(tǒng)如圖圖4-2所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (4-1)圖圖4-2 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 二、開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之

7、間的關(guān)系二、開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 10前向通路傳函前向通路傳函G(s)和反饋通路傳函和反饋通路傳函H(s)可分別表示為：可分別表示為： 式中式中:K1為前向通路增益，為前向通路增益，K1r為前向通路根軌跡增益；為前向通路根軌跡增益； K2為反饋通路增益，為反饋通路增益，K2r為反饋通路根軌跡增益。為反饋通路根軌跡增益。 （4-2）（4-3）11 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (4-4) 為系統(tǒng)的開環(huán)增益為系統(tǒng)的開環(huán)增益， 為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； m= =f前向零點(diǎn)前向零點(diǎn)+ +l反饋零點(diǎn)反饋零點(diǎn) 為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)， 為開環(huán)

8、系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)為開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)。 將式（將式（4-2）、（）、（4-3）和（）和（4-4）代入（）代入（4-1）可得）可得 （4-5）12可得以下結(jié)論：可得以下結(jié)論：(1)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌 跡增益。跡增益。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增 益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。(2)閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳函的零點(diǎn)和反饋通路閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳函的零點(diǎn)和反饋通路 傳函的極點(diǎn)組成；傳函的極點(diǎn)組成；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn) 就是開環(huán)零點(diǎn)。就是開環(huán)

9、零點(diǎn)。(3)閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益 Kr均有關(guān)。均有關(guān)。（4-5）13 根軌跡法的基本任務(wù)在于：根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn),并根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的分并根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的分布對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。布對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。一旦閉環(huán)極點(diǎn)確定，一旦閉環(huán)極點(diǎn)確定，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因?yàn)殚]環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因?yàn)殚]環(huán)零點(diǎn)可由零點(diǎn)可由式（式（4-5）直接得到。在已知閉環(huán)傳直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的

10、情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計(jì)算機(jī)直用拉氏反變換的方法求出，或利用計(jì)算機(jī)直接求解。接求解。14 三、根軌跡增益三、根軌跡增益Kr與開環(huán)系統(tǒng)增益與開環(huán)系統(tǒng)增益K的關(guān)系的關(guān)系 尾尾1 1型型首首1 1型型15 開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益Kr與開環(huán)系統(tǒng)的增益與開環(huán)系統(tǒng)的增益K之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，這個(gè)比例常數(shù)只與開環(huán)之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，這個(gè)比例常數(shù)只與開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。傳遞函數(shù)中的零點(diǎn)和極點(diǎn)有關(guān)。 在例在例4-1中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 K=KV:靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系

11、數(shù)其開環(huán)增益為其開環(huán)增益為對于本系統(tǒng)，根軌跡增益對于本系統(tǒng)，根軌跡增益 Kr 與開環(huán)增益與開環(huán)增益 K 間的間的關(guān)系為關(guān)系為Kr=2K，它們之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)，它們之間僅相差一個(gè)比例常數(shù)2。16 四、根軌跡與系統(tǒng)性能四、根軌跡與系統(tǒng)性能以圖以圖4-1為例進(jìn)行說明為例進(jìn)行說明穩(wěn)定性穩(wěn)定性 如果系統(tǒng)特征方程的根都位于如果系統(tǒng)特征方程的根都位于S平面的平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半S平面，根軌跡與虛軸交平面，根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的點(diǎn)處的K值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益Kc。穩(wěn)態(tài)

12、性能穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬以屬型系統(tǒng)，因而根軌跡上的型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡圖確定閉極點(diǎn)位置的允許范圍?？捎筛壽E圖確定閉極點(diǎn)位置的允許范圍。 17 動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能u當(dāng)當(dāng)0Kr1時(shí)，特征方程為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)為時(shí)，特征方程為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，振系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調(diào)量隨蕩幅度或超調(diào)量隨Kr值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時(shí)值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時(shí)間不會(huì)有顯

13、著變化。間不會(huì)有顯著變化。184.2 繪制根軌跡的規(guī)則繪制根軌跡的規(guī)則 一、繪制根軌跡的依據(jù)一、繪制根軌跡的依據(jù) 在上節(jié)已指出，根軌法的基本任務(wù)在于，如在上節(jié)已指出，根軌法的基本任務(wù)在于，如何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及開環(huán)根軌跡增何由已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及開環(huán)根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。由例益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)。由例4-1可可看出，根軌跡是系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益看出，根軌跡是系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益Kr由由0變變到到時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上運(yùn)動(dòng)平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。因此，的軌跡。因此，系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡系統(tǒng)的特征方程便是繪制根軌跡

14、的依據(jù)的依據(jù)。系統(tǒng)的特征方程為。系統(tǒng)的特征方程為 19 當(dāng)系統(tǒng)有當(dāng)系統(tǒng)有m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，特征個(gè)開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，特征方程可寫成方程可寫成:式中，式中，zj為已知的開環(huán)零點(diǎn)，為已知的開環(huán)零點(diǎn)，pi為已知的開環(huán)為已知的開環(huán)極點(diǎn)，極點(diǎn)，Kr為可從為可從0變到變到的開環(huán)根軌跡增益。的開環(huán)根軌跡增益。上式稱為上式稱為根軌跡方程根軌跡方程，由根軌跡方程，可以畫，由根軌跡方程，可以畫出當(dāng)出當(dāng)Kr由由0變化到變化到時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。20 在繪制根軌跡時(shí)，可變參數(shù)不限定是根軌跡增在繪制根軌跡時(shí)，可變參數(shù)不限定是根軌跡增益益Kr ，還可為系統(tǒng)的其它參數(shù)（如，還可為系統(tǒng)的其它參數(shù)（

15、如時(shí)間常數(shù)、時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)反饋系數(shù)等）。這時(shí)只要把系統(tǒng)的特征方程化等）。這時(shí)只要把系統(tǒng)的特征方程化為上式，將感興趣的系統(tǒng)參數(shù)取代根軌跡增益為上式，將感興趣的系統(tǒng)參數(shù)取代根軌跡增益Kr的位置都可以繪制根軌跡。的位置都可以繪制根軌跡。21根軌跡方程是一個(gè)向量方程，用模和相角根軌跡方程是一個(gè)向量方程，用模和相角的形式（指數(shù)形式）表示的形式（指數(shù)形式）表示 由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件由此可得到滿足系統(tǒng)特征方程的幅值條件和相角條件為和相角條件為幅值條件：幅值條件：相角條件：相角條件：22 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 滿足幅值條件的表達(dá)式為滿足幅值條件的表達(dá)式為 或或 滿足

16、相角條件的表達(dá)式為滿足相角條件的表達(dá)式為23 綜上分析，可以得到如下結(jié)論：綜上分析，可以得到如下結(jié)論： 繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益益Kr值的大小無關(guān)。在值的大小無關(guān)。在s平面上，所有滿足相平面上，所有滿足相角條件點(diǎn)的集合就構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。角條件點(diǎn)的集合就構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相即相角條件是繪制根軌跡的充分必要條件。角條件是繪制根軌跡的充分必要條件。 繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益益Kr值的大小有關(guān)。即值的大小有關(guān)。即Kr值的變化會(huì)改變系值的變化會(huì)改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位

17、置。平面上的位置。 24在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的角條件和幅值條件的s值，就是對應(yīng)給定參數(shù)值，就是對應(yīng)給定參數(shù)的特征根，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。的特征根，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函遞函數(shù)有關(guān)，因此，已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)便可繪制出根軌跡圖。數(shù)便可繪制出根軌跡圖。25二、繪制根軌跡的基本規(guī)則二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益Kr為可變參為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌

18、數(shù)繪制的根軌跡叫做普通根軌跡（或一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有7條：條：1. 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；2. 根軌跡的分支數(shù)；根軌跡的分支數(shù)；3. 實(shí)軸上的根軌跡；實(shí)軸上的根軌跡；4. 根軌跡的漸近線；根軌跡的漸近線；5. 根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；6. 根軌跡的起始角和終止角；根軌跡的起始角和終止角；7. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。26 規(guī)則一規(guī)則一 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 幅值條件可寫成幅值條件可寫成 當(dāng)當(dāng) ，必須有，必須有 , 我們把我們把開環(huán)極點(diǎn)稱為根軌跡的起點(diǎn)，它對應(yīng)于開

19、環(huán)根開環(huán)極點(diǎn)稱為根軌跡的起點(diǎn)，它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益軌跡增益 。 當(dāng)當(dāng) ，必須有，必須有 ，我們把，我們把開環(huán)零點(diǎn)稱為根軌跡的終點(diǎn)，它對應(yīng)于開環(huán)根開環(huán)零點(diǎn)稱為根軌跡的終點(diǎn)，它對應(yīng)于開環(huán)根軌跡增益軌跡增益 。27 下面分三種情況討論下面分三種情況討論： 1當(dāng)當(dāng)m=n時(shí)時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。 2當(dāng)當(dāng)mn時(shí)時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)， 除有除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn)稱為有限極點(diǎn)) 外，外，還有還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

20、條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無稱為無 限極點(diǎn)限極點(diǎn))。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì)。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會(huì) 出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開 環(huán)傳遞函數(shù)中。環(huán)傳遞函數(shù)中。28結(jié)論：結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) ，終止，終止于開環(huán)零點(diǎn)于開環(huán)零點(diǎn) ；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，則有，則有n-m條根軌跡終止于條根軌跡終止于s平平面的無窮遠(yuǎn)處面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點(diǎn)無限零點(diǎn))，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有，則有m-n條根軌跡起始于條根軌跡起始于s

21、平面的無窮遠(yuǎn)處平面的無窮遠(yuǎn)處(無限極點(diǎn)無限極點(diǎn))。29 根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在點(diǎn)）在S平面上的分布，那么，平面上的分布，那么，根軌跡的分支根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。 由例由例4-1看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益Kr(實(shí)實(shí)變量）與復(fù)變量變量）與復(fù)變量s有有一一對應(yīng)（實(shí)際上是一一對應(yīng)（實(shí)際上是1對對n的映射）的映射）的關(guān)系，當(dāng)?shù)年P(guān)系，當(dāng)Kr由由0到到連續(xù)變化時(shí)，描連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量

22、述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，也是連續(xù)的，因此，n階系統(tǒng)的根軌跡就是階系統(tǒng)的根軌跡就是n條條連續(xù)的曲線。連續(xù)的曲線。 規(guī)則二規(guī)則二 根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性30 由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，所由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以求解閉環(huán)特征方程得到的根只有實(shí)根和復(fù)數(shù)以求解閉環(huán)特征方程得到的根只有實(shí)根和復(fù)數(shù)根兩種情況。根兩種情況。若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對稱于實(shí)軸的。對稱于實(shí)軸的。繪制根軌跡時(shí)，我們只

23、需作出繪制根軌跡時(shí)，我們只需作出S上半平面的根軌跡，然后利用根軌跡的對稱上半平面的根軌跡，然后利用根軌跡的對稱性作出下半平面的根軌跡。性作出下半平面的根軌跡。 結(jié)論：結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。31舉例說明：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為舉例說明：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中其中 z1、z2、z3、p1、p4 為實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)，為實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)，p2、p3為共軛為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，它們在復(fù)數(shù)極點(diǎn)，它們在s平面上的分布如平面上的分布如圖圖4-4所示，試分所示，試分析實(shí)軸上的根軌跡與開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)

24、的關(guān)系。析實(shí)軸上的根軌跡與開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系。實(shí)軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即實(shí)軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即 規(guī)則三規(guī)則三 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡 若實(shí)軸上某線段若實(shí)軸上某線段右側(cè)右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。之和為奇數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。32實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個(gè)區(qū)域是根軌跡，則必有：若實(shí)軸的某一個(gè)區(qū)域是根軌跡，則必有：其右邊其右邊（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為奇數(shù)。開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為奇數(shù)。這個(gè)結(jié)論可以用相角條件證明。這個(gè)結(jié)論可以用相角條件證明。圖圖4-

25、4 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡33 規(guī)則四規(guī)則四 漸近線漸近線 當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，系統(tǒng)有時(shí)，系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，這平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條條根軌跡根軌跡變化趨向的直線變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有此，浙近線也有n-m條，且它們交于實(shí)軸上的一條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置 和與實(shí)軸正方向和與實(shí)軸正方向的交角分別為的交角分別為34 在例在例4-1中，開環(huán)傳遞函數(shù)為中，開環(huán)傳遞函數(shù)為 開環(huán)極點(diǎn)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2,開環(huán)零點(diǎn)數(shù)開環(huán)零

26、點(diǎn)數(shù)m=0,n-m=2,兩兩條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)位置為 它們與實(shí)軸正方向的交角分別為它們與實(shí)軸正方向的交角分別為 和和 ，兩條漸近線正好與，兩條漸近線正好與 時(shí)時(shí)的根軌跡重合的根軌跡重合（漸近線與根軌跡通常在（漸近線與根軌跡通常在Kr和和s趨向于趨向于時(shí)時(shí)才重合）。才重合）。35 漸近線就是漸近線就是s很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一定對稱于實(shí)軸。也即是定對稱于實(shí)軸。也即是 Kr 趨于無窮時(shí)，趨于無窮時(shí)，n-m條條 根軌根軌跡如何趨于跡如何趨于無窮零點(diǎn)無窮零點(diǎn)的。的。當(dāng)當(dāng)s值很大時(shí)，上式近似為值很大時(shí)，上式近似為36根據(jù)二項(xiàng)式定理根據(jù)二

27、項(xiàng)式定理當(dāng)當(dāng)s值很大時(shí)，上式近似為值很大時(shí)，上式近似為將將 帶入上式帶入上式令虛部實(shí)部分別相等，有下面兩式成立：令虛部實(shí)部分別相等，有下面兩式成立：和和帶入帶入( (* *) )37從上兩式中解出：從上兩式中解出：(*)式代表直線方程，與實(shí)軸的夾角為式代表直線方程，與實(shí)軸的夾角為 ，交點(diǎn)，交點(diǎn)為：為： ,當(dāng)當(dāng)k取不同值時(shí)，可得取不同值時(shí)，可得n-m個(gè)個(gè) 角，而角，而 不變。不變。式中：式中：點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式38 例例4-2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。解：對于該系統(tǒng)有解：對于該系統(tǒng)有n=4，m=1，n-m=3；三條漸近；

28、三條漸近 線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為 它們與實(shí)軸正方向的交角分別是它們與實(shí)軸正方向的交角分別是 漸近線如圖漸近線如圖4-3所示。所示。 39圖4-3 根軌跡的漸近線40規(guī)則五規(guī)則五 根軌跡的分離點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn) 兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s 平面上平面上相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）。相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）。 沿沿Kr 方向方向從從實(shí)軸上分開的點(diǎn)為實(shí)軸上分開的點(diǎn)為分離點(diǎn)分離點(diǎn) (從實(shí)軸分向復(fù)平面從實(shí)軸分向復(fù)平面) 沿沿Kr 方向方向到到實(shí)軸上會(huì)合的點(diǎn)為實(shí)軸上會(huì)合的點(diǎn)為會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn) (從復(fù)平面匯到實(shí)軸從復(fù)平面匯到實(shí)軸)一般來說，如

29、果下列相鄰兩點(diǎn)之間存在根軌跡，則一般來說，如果下列相鄰兩點(diǎn)之間存在根軌跡，則(1)該兩點(diǎn)為極點(diǎn)，則兩者之間必有分離點(diǎn)；該兩點(diǎn)為極點(diǎn)，則兩者之間必有分離點(diǎn)；(2)該兩點(diǎn)為零點(diǎn)，則兩者之間必有會(huì)合點(diǎn)；該兩點(diǎn)為零點(diǎn)，則兩者之間必有會(huì)合點(diǎn)；(3)該兩點(diǎn)一為零點(diǎn)，一為極點(diǎn)，則可能既有分離該兩點(diǎn)一為零點(diǎn)，一為極點(diǎn)，則可能既有分離 點(diǎn)，也有會(huì)合點(diǎn)；也可能既無分離點(diǎn)，也無會(huì)點(diǎn)，也有會(huì)合點(diǎn)；也可能既無分離點(diǎn)，也無會(huì) 合點(diǎn)。合點(diǎn)。41說明說明：有的參考書上不說會(huì)合點(diǎn)，只說分離點(diǎn)，有的參考書上不說會(huì)合點(diǎn)，只說分離點(diǎn)，實(shí)際上根軌跡往往先會(huì)合，然后立即在會(huì)合點(diǎn)實(shí)際上根軌跡往往先會(huì)合，然后立即在會(huì)合點(diǎn)上分離，故分離點(diǎn)和會(huì)

30、合點(diǎn)是合二為一的，故上分離，故分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是合二為一的，故僅稱分離點(diǎn)也可以理解。僅稱分離點(diǎn)也可以理解。42分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法a.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是特征方程的重根點(diǎn)：如兩條根分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是特征方程的重根點(diǎn)：如兩條根軌跡在此分軌跡在此分(合合)，在該點(diǎn)，在該點(diǎn)s1=s2，即該點(diǎn)為重根；，即該點(diǎn)為重根；b.求法：采用重根法比較容易理解求法：采用重根法比較容易理解 若若 ，則特征方程可寫，則特征方程可寫 為：為：若若D(s)=0有重根有重根d，則，則消去消去Kr即得分離點(diǎn)方程：即得分離點(diǎn)方程：43分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo)分離點(diǎn)（會(huì)合點(diǎn)）的坐標(biāo) d 由下列方程所決定由下列方程所決定

31、：證明：由根軌跡方程，有證明：由根軌跡方程，有: :閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程: :書上求法書上求法44根軌跡在根軌跡在s平面上相遇，說明有重根存在，平面上相遇，說明有重根存在，根據(jù)代數(shù)中重根條件，有：根據(jù)代數(shù)中重根條件，有：（3）（4）(4)/(3)（1）（2）4546下述方程解即為分離點(diǎn)坐標(biāo)下述方程解即為分離點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)時(shí)：當(dāng)系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)時(shí)：說明：說明：（1）根軌跡出現(xiàn)分離點(diǎn)說明對應(yīng)特征根出現(xiàn)了重根。）根軌跡出現(xiàn)分離點(diǎn)說明對應(yīng)特征根出現(xiàn)了重根。（2）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn)）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn) （包括無限零點(diǎn)）或開環(huán)極點(diǎn)（包括無限極點(diǎn)），（包

32、括無限零點(diǎn)）或開環(huán)極點(diǎn)（包括無限極點(diǎn)）， 則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。（此處分離點(diǎn)（此處分離點(diǎn) 包括分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，做題時(shí)可以不加以區(qū)分）包括分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)，做題時(shí)可以不加以區(qū)分）47（3）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對出現(xiàn)的。）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對出現(xiàn)的。 (少見僅當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對稱時(shí)才少見僅當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對稱時(shí)才 會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn))（4）分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離 開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。當(dāng)開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。當(dāng) l 條根條根 軌跡進(jìn)入并立即離開分離點(diǎn)時(shí)，分離角由軌跡進(jìn)入

33、并立即離開分離點(diǎn)時(shí)，分離角由 (2k+1) / l ，k=0,1,2,l-1。決定，通常。決定，通常l=2 ，所以分離角通常為直角。，所以分離角通常為直角。48實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn) 復(fù)平面上的分離點(diǎn)復(fù)平面上的分離點(diǎn) 49例例4-4 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的粗略根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的粗略根軌跡。 解解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)有限極點(diǎn)本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)有限極點(diǎn):1.三條根軌跡三條根軌跡2.實(shí)軸上根軌跡位于實(shí)軸上根軌跡位于 (- ，-3) , (- 2, - 1) 之間之間 3.漸近線漸近線3條，與實(shí)軸交點(diǎn)與夾角分別為：條，與實(shí)軸

34、交點(diǎn)與夾角分別為：50 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)，由式本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)，由式: 可得可得 即即 解出解出 ， 實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上的根軌跡為-1到到-2線段和線段和-3到到-線段。線段。 不在上述兩線段上，應(yīng)舍去。不在上述兩線段上，應(yīng)舍去。 是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡是實(shí)軸根軌跡上的點(diǎn)，所以是根軌跡 在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。運(yùn)用前面的六條規(guī)則，可繪制如制如圖圖4-7所示的根軌跡圖。所示的根軌跡圖。51圖圖4-7 根軌跡的分離點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn) ？52 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開開

35、環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題角和終止角問題, 先給出定義如下：先給出定義如下： 起始角起始角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（a）中的中的 和和 。 終止角終止角 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖4-8（b）中的中的 和和 。 規(guī)則六規(guī)則六 起始角與終止角起始角與終止角 53圖圖4-8(a) 根軌跡

36、的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角 54圖圖4-8(b) 根軌跡的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角 55 在無限靠近待求起始角在無限靠近待求起始角(或終止角或終止角)的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或復(fù)數(shù)零點(diǎn)）的根軌跡上，取一點(diǎn)極點(diǎn)（或復(fù)數(shù)零點(diǎn)）的根軌跡上，取一點(diǎn) A 。由于由于A無限接近于求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)無限接近于求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn) pi (或或求終止角的復(fù)數(shù)零點(diǎn)求終止角的復(fù)數(shù)零點(diǎn) zi )，因此除，因此除 pi (或或 zi )外，外，所有開環(huán)零、極點(diǎn)到所有開環(huán)零、極點(diǎn)到A點(diǎn)的向量相角都可以用點(diǎn)的向量相角都可以用它們到它們到 pi (或或 zi ) 的向量相角代替，的向量相角代替，而而 pi

37、(或或 zi )到到 A 點(diǎn)的向量相角即為待求的起始角和點(diǎn)的向量相角即為待求的起始角和 終止終止角。角。根軌跡的起始角和終止角求法根軌跡的起始角和終止角求法56且且p1和和p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，p3和和 z1分別為分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們在實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們在s平面上的分布如圖平面上的分布如圖4-9所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1和和p2 的起始角的起始角p1 和和p2 。例例4-5 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為57 對于根軌跡上無限靠近對于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)的點(diǎn)A，由相角條件得

38、：，由相角條件得： 由于由于A點(diǎn)無限靠近點(diǎn)無限靠近p1 點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以58推廣為一般情況可得求到極點(diǎn)推廣為一般情況可得求到極點(diǎn)pl的起始角關(guān)系式為的起始角關(guān)系式為同理，可得到求到零點(diǎn)同理，可得到求到零點(diǎn)Zl的終止角關(guān)系式為的終止角關(guān)系式為59圖4-9 起始角 的求取 60規(guī)則七規(guī)則七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純?nèi)舾壽E與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛根，這就意味著對于交點(diǎn)處的虛根，這就意味著對于交點(diǎn)處的Kr數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。因此，令勞斯表第一列中包含處于臨界穩(wěn)定。因此，令勞斯表第一列中包含Kr的的項(xiàng)為項(xiàng)為0，即可確

39、定根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的，即可確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的Kr值。此外，值。此外，因?yàn)橐粚兲摳菙?shù)值相同但符號(hào)相反的根，所以因?yàn)橐粚兲摳菙?shù)值相同但符號(hào)相反的根，所以利用勞斯表利用勞斯表s2行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的值，也即為系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率。值，也即為系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率。 如果根軌跡與正虛軸（或者負(fù)虛軸）有一個(gè)以如果根軌跡與正虛軸（或者負(fù)虛軸）有一個(gè)以上交點(diǎn)，則應(yīng)該采用勞斯表中冪大于上交點(diǎn)，則應(yīng)該采用勞斯表中冪大于2的的s偶次方行偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助

40、方程。的系數(shù)構(gòu)造輔助方程。61規(guī)則七規(guī)則七 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（續(xù)）（續(xù)）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。這時(shí)，用（實(shí)部為零）。這時(shí)，用s=j代入特征方程可得代入特征方程可得 解虛部方程可得角頻率解虛部方程可得角頻率c，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)值；用標(biāo)值；用c 代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益代入實(shí)部方程，可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值的臨界值Krc。Krc 的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值定的系統(tǒng)開環(huán)根軌

41、跡增益的臨界值。它對如何選擇合適。它對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。的系統(tǒng)參數(shù)、使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義。由此可得虛部方程和實(shí)部方程為由此可得虛部方程和實(shí)部方程為62例例4-6 試求出例試求出例4-4中根軌跡與虛軸的交點(diǎn)中根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值Krc。解解 由例由例4-4知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其虛部和實(shí)部方程分別為其虛部和實(shí)部方程分別為令令 并代入特征方程得并代入特征方程得其特征方程是其特征方程是63 由于由于1 =0 不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)舍去。不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)舍去。 故

42、故 為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。 將其代入實(shí)部方程便可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益將其代入實(shí)部方程便可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 的臨界值的臨界值Krc=60。 系統(tǒng)的根軌跡如圖系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。所示。 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會(huì)遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值益的臨界值Krc和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)c。 解虛部方程得解虛部方程得64圖4-10 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) wjs1p2p3p-1-2-30)60(3 . 3=rcKjrKdsrK)60

43、(3 . 3=rcK-j65規(guī)則規(guī)則 8：閉環(huán)極點(diǎn)之和：閉環(huán)極點(diǎn)之和66規(guī)則規(guī)則 8 8：閉環(huán)極點(diǎn)之和：閉環(huán)極點(diǎn)之和67表明：表明：當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)的差值大于或等于當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)和開環(huán)零點(diǎn)數(shù)的差值大于或等于2時(shí)，根軌跡增益時(shí)，根軌跡增益 Kr 由由 0 趨于趨于變化時(shí)，雖然變化時(shí)，雖然n個(gè)個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)會(huì)隨之發(fā)生變化，但是閉環(huán)極點(diǎn)之和卻閉環(huán)極點(diǎn)會(huì)隨之發(fā)生變化，但是閉環(huán)極點(diǎn)之和卻保持不變保持不變 ，其和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。這意味著，其和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。這意味著一部分閉環(huán)極點(diǎn)一部分閉環(huán)極點(diǎn)(根軌跡分支根軌跡分支)變大時(shí)變大時(shí)(向右移動(dòng)向右移動(dòng))，另一部分閉環(huán)極點(diǎn)另一部分閉環(huán)極點(diǎn)(根軌跡分支根軌跡

44、分支)必將變小必將變小(向左移向左移動(dòng)動(dòng))，這樣才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。這個(gè)，這樣才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。這個(gè)規(guī)則對于判斷根軌跡的走向是很有幫助的。規(guī)則對于判斷根軌跡的走向是很有幫助的。結(jié)論結(jié)論：若若 n-mn-m 2 2 閉環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和 = = 開環(huán)極點(diǎn)之和開環(huán)極點(diǎn)之和 = = 常數(shù)常數(shù)68 以上規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本以上規(guī)則是繪制根軌跡圖所必須遵循的基本規(guī)則。此外，尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法。規(guī)則。此外，尚須注意以下幾點(diǎn)規(guī)范畫法。 根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)pi)用符號(hào)用符號(hào)“ ”標(biāo)示；標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn)根軌跡的終點(diǎn)(開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)zj)用符

45、號(hào)用符號(hào)“ o ”標(biāo)示。標(biāo)示。 根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益益Kr值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)值的增加而運(yùn)動(dòng)的，要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。動(dòng)的方向。 要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的Kr值，如起點(diǎn)（值，如起點(diǎn)（Kr=0)，終點(diǎn)（終點(diǎn)（Kr趨向無窮）；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)趨向無窮）；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)d (Kr =Krd )；與虛軸的交點(diǎn)；與虛軸的交點(diǎn)c（ Kr =Krc）。還有一）。還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn)s1及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益增益Kr1，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系

46、，也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出，以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合。統(tǒng)的分析與綜合。69例例4-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。 解解 該系統(tǒng)的特征方程為該系統(tǒng)的特征方程為 為三階系統(tǒng)，該系統(tǒng)有三條根軌跡在為三階系統(tǒng)，該系統(tǒng)有三條根軌跡在s平面上。平面上。三、繪制根軌跡圖示例三、繪制根軌跡圖示例三條根軌跡連續(xù)且對稱于實(shí)軸。三條根軌跡連續(xù)且對稱于實(shí)軸。 根軌跡的起點(diǎn)是該系統(tǒng)的三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即根軌跡的起點(diǎn)是該系統(tǒng)的三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即 P1=0,p2=-1,p3=-2。由于沒有開環(huán)零點(diǎn)（。由于沒有開環(huán)零點(diǎn)（m=0）, 三條根軌跡的終點(diǎn)均在無

47、窮遠(yuǎn)處。三條根軌跡的終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。70 當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)k=1時(shí)時(shí) 當(dāng)當(dāng)k=2時(shí)時(shí) 求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角。實(shí)軸正方向的交角。71 由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上由規(guī)則五知，實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上-1到到0 的線段和由的線段和由-2至實(shí)軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)線段。至實(shí)軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)線段。 由規(guī)則六知，根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）由規(guī)則六知，根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）是方程是方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 d2=-1.58不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分不在實(shí)軸的根軌跡上，舍去；實(shí)際的分離點(diǎn)應(yīng)為離點(diǎn)應(yīng)為d1=-0.

48、42 。 無復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和無復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，不存在起始角和 終止角。終止角。 72解虛部方程得解虛部方程得其中其中 是開環(huán)極點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn) 對應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌對應(yīng)的坐標(biāo)值，它是根軌跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為跡的起點(diǎn)之一。合理的交點(diǎn)應(yīng)為將將 代入實(shí)部方程得到對應(yīng)的開環(huán)根軌跡代入實(shí)部方程得到對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值增益的臨界值 。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制出該系統(tǒng)的根軌跡圖如圖如圖4-11所示。所示。 由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)由規(guī)則八，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及對及對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。用。用 代入代入特征方程得特征

49、方程得73圖圖4- -11 例例4- -7系統(tǒng)根軌跡圖系統(tǒng)根軌跡圖74是一個(gè)二階系統(tǒng)，在是一個(gè)二階系統(tǒng)，在S平面上有兩條連續(xù)且對稱平面上有兩條連續(xù)且對稱于實(shí)軸的根軌跡。于實(shí)軸的根軌跡。由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)z1= -2, 和一對開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極和一對開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極P1,2=-1j1, 根軌跡根軌跡的起點(diǎn)為的起點(diǎn)為p1(Kr=0) 和和p2(Kr=0)，其終點(diǎn)為，其終點(diǎn)為z1(Kr) 和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn) (Kr) 。實(shí)軸上由實(shí)軸上由-2至至-的線段為實(shí)軸上的根軌跡。的線段為實(shí)軸上的根軌跡?？汕蟪龈壽E與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)可求

50、出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)（分離點(diǎn)）。分離點(diǎn)方程是方程是例例4-8 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。75 即即 解方程可得解方程可得d1= -3.414 , d2= -0.586。 由于由于d2= -0.586不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍不在實(shí)軸上的根軌跡上，舍 去，實(shí)際的分離點(diǎn)去，實(shí)際的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn))為為d1= -3.414。 求開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的起始角。求開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）的起始角。為什么？為什么？或或76 證明證明 已知系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為在已知系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為在 z1=-2,p1=-1

51、+j,p2=-1-j,令令s=u+jv為根軌為根軌 跡的任一點(diǎn)，由相角條件可得跡的任一點(diǎn)，由相角條件可得 將將s、z1、p1和和p2代入得代入得 應(yīng)用三角公式應(yīng)用三角公式為準(zhǔn)確地畫出為準(zhǔn)確地畫出S平面上根軌跡的圖形，運(yùn)用相平面上根軌跡的圖形，運(yùn)用相角條件可證明本系統(tǒng)在角條件可證明本系統(tǒng)在S平面上的根軌跡是一個(gè)平面上的根軌跡是一個(gè)半徑為半徑為 ，圓心位于點(diǎn)，圓心位于點(diǎn)(-2,j0)的圓弧。的圓弧。 即即77方程表示在方程表示在S平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位平面上的根軌跡是一個(gè)圓心位于點(diǎn)于點(diǎn) 、半徑為、半徑為 的圓弧。由此，可的圓弧。由此，可畫出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖畫出根軌跡的準(zhǔn)確圖形如圖4-12所

52、示。所示。 將上式等號(hào)左邊合并可得到將上式等號(hào)左邊合并可得到將上式等號(hào)兩邊取正切，則有將上式等號(hào)兩邊取正切，則有s=u+jv為根軌跡的任一點(diǎn)為根軌跡的任一點(diǎn)78圖4-12 例4-8系統(tǒng)的根軌跡圖 79 由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極由本例不難發(fā)現(xiàn)，由兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（實(shí)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的二階點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)開環(huán)實(shí)零點(diǎn)組成的二階系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，系統(tǒng)，只要實(shí)零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)之間，當(dāng)開環(huán)根軌跡增益當(dāng)開環(huán)根軌跡增益Kr由由0變到變到時(shí)，復(fù)平面上的時(shí)，復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到閉環(huán)根軌跡，是以實(shí)零點(diǎn)為圓心，以實(shí)零點(diǎn)到分離點(diǎn)的

53、距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)時(shí)）或圓的一部分（當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上的一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)）。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行。嚴(yán)格證明可參照本例進(jìn)行。80 例例4-9 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 由已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的由已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可得到它的 特征方程為特征方程為 4條根軌跡的起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的條根軌跡的起點(diǎn)分別是系統(tǒng)的4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)開環(huán)極點(diǎn),即即 p1=0,p2=-2

54、,p3=-1+j1, p4=-1-j1 。由于系統(tǒng)無。由于系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn)（有限開環(huán)零點(diǎn)（m=0），），4條根軌跡的終點(diǎn)均條根軌跡的終點(diǎn)均在在S平面的無窮遠(yuǎn)處（無窮零點(diǎn)）。平面的無窮遠(yuǎn)處（無窮零點(diǎn)）。該系統(tǒng)的根軌跡共有該系統(tǒng)的根軌跡共有4條分支（條分支（n=4），），4條條根軌跡連續(xù)且對稱于實(shí)軸。根軌跡連續(xù)且對稱于實(shí)軸。81 漸近線與實(shí)軸正方向的交角為漸近線與實(shí)軸正方向的交角為 當(dāng)當(dāng)k = 0時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)k = 1時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)k = 2時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)k = 3時(shí)，時(shí)， 求出求出4條根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為條根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為82實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0到到-2的線段。的線段。由規(guī)則六可求出根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)由