通過matlab完成線性代數(shù)的運(yùn)算

1、 歡迎您來到歡迎您來到線性代數(shù)線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)室！實(shí)驗(yàn)室！l 在這里，抽象的數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一門生動(dòng)的“實(shí)驗(yàn)科學(xué)”，從實(shí)際問題出發(fā)，借助計(jì)算機(jī)，你可以親自設(shè)計(jì)、親自動(dòng)手，去體驗(yàn)解決問題的過程，從實(shí)驗(yàn)中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。南通職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部 2000年10月實(shí)驗(yàn)一 第一章 進(jìn)入線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)室 準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)二 第二章 矩陣運(yùn)算實(shí)驗(yàn)三 第三章 線性方程組實(shí)驗(yàn)四 第四章 特征值和特征向量實(shí)驗(yàn)五 第五章 MATLAB的命令窗口第一章 進(jìn)入線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)室準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn) 與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)現(xiàn)行的教學(xué)方法進(jìn)行改革，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教改的一個(gè)重要內(nèi)容。 數(shù)學(xué)這門學(xué)科由于其自身的特性，要想達(dá)到像化學(xué)和物

2、理那樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是比較困難的，但是可以根據(jù)它的特征，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，加進(jìn)新的內(nèi)容，特別是用現(xiàn)代化的學(xué)習(xí)工具，幫助我們加快掌握這門學(xué)科知識(shí)。計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了一個(gè)科學(xué)的現(xiàn)代化的環(huán)境，把計(jì)算機(jī)引入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，就能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。我們將這種用計(jì)算機(jī)借助于數(shù)學(xué)軟件代替紙和筆以及人的部分腦力勞動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段稱作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。 本實(shí)驗(yàn)課我們所選用的軟件是MATLAB。用于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的MATLAB軟件有其獨(dú)特的功能，簡(jiǎn)單的問題只要按規(guī)則輸入表達(dá)式就可以直接得到結(jié)果，復(fù)雜的問題也可以用軟件提供的語言編寫程序完成，這種程序設(shè)計(jì)語言簡(jiǎn)單且容易掌握。 當(dāng)然,我們也應(yīng)認(rèn)識(shí)到計(jì)

3、算機(jī)只是紙和筆的延伸，計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)探索的工具，計(jì)算機(jī)提供對(duì)抽象概念的直觀感受。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課不是計(jì)算機(jī)程序課，數(shù)學(xué)思維是目的，計(jì)算機(jī)的使用只是手段。 在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，將線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)室作為線性代數(shù)的輔助課程，教學(xué)內(nèi)容互補(bǔ)，不重復(fù)線性代數(shù)課程講述的基本內(nèi)容，而是讓學(xué)生了解幾種數(shù)學(xué)軟件的基本使用方法，對(duì)線性代數(shù)課程所講述內(nèi)容通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去完成。 主要介紹利用MATLAB軟件完成線性代數(shù)運(yùn)算的方法，包括求行列式的值，進(jìn)行向量和矩陣運(yùn)算，求逆矩陣、特征值和特征向量，求解線性方程組等。 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所用MATLAB軟件提供了程序設(shè)計(jì)的功能，與其它程序設(shè)計(jì)語言一樣，可以編寫應(yīng)用程序解決復(fù)雜的問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的程序

4、設(shè)計(jì)語言簡(jiǎn)單明了，它是以求解單一問題的語句為主，通過人機(jī)對(duì)話的形式，在屏幕上顯示所求的結(jié)果，把這樣的語句通過控制語句和連接語句按順序結(jié)合成一個(gè)整體，就生成了程序。它可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、符號(hào)演算和圖形描繪。 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康?本實(shí)驗(yàn)的目的是使學(xué)生對(duì) MATLAB軟件有一個(gè)初步了解。實(shí)驗(yàn)工具實(shí)驗(yàn)工具 MATLAB是一種高效的科研編程的軟件環(huán)境，它擁有自己的特定語言，了解和掌握MATLAB語言，能擴(kuò)展MATLAB 的能力。 MATLAB是我們線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)室中的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)室中的大部分計(jì)算都需要使用MATLAB輔助完成。 在Window98環(huán)境下,雙擊“開始”按鈕的程序里的選項(xiàng)(如果已經(jīng)在Wi

5、ndow98的桌面上建立了快捷方式,則雙擊MATLAB圖標(biāo)),即可進(jìn)入MATLAB系統(tǒng)。這時(shí)，屏幕上會(huì)顯示一個(gè)啟動(dòng)畫面，片刻之后，出現(xiàn)一個(gè)工作屏幕（命令窗口）。 命令窗口中,最上面顯示“MATLAB Command Window”字樣的一欄為標(biāo)題欄,標(biāo)題欄的右邊依次為窗口最小化按鈕、窗口縮放按鈕和關(guān)閉窗口按鈕。標(biāo)題欄下面的菜單欄包含“File（文件）”、“Edit（編輯）”、“Window（窗口）”、“Help（幫助）”四項(xiàng)。菜單欄下面的工具欄顯示了九個(gè)工具按鈕，各按鈕相當(dāng)于菜單欄中各選項(xiàng)命令，熟練使用工具按鈕可使工作更快捷、更方便（詳見第五章MATLAB的命令窗口）。 在命令窗口中，除標(biāo)題欄

6、、菜單欄、工具欄以外的窗口，用于輸入和顯示計(jì)算結(jié)果，稱為命令編輯區(qū)。 在啟動(dòng)MATLAB、命令編輯區(qū)顯示幫助信息后，將顯示符號(hào)“| |”，符號(hào)“| |”表示MATLAB已準(zhǔn)備好，正等待用戶輸入命令，這時(shí)，就可以在提示符“| |”后面鍵入命令，按下回車鍵后，MATLAB就會(huì)解釋執(zhí)行所輸入的命令，并在命令后面給出計(jì)算結(jié)果。如果在輸入命令后再以分號(hào)結(jié)束，則不會(huì)顯示結(jié)果。 要退出MATLAB系統(tǒng),可按如下方式進(jìn)行： 1.在文件菜單(File)中選擇“Exit”或“Quit”。 2.用鼠標(biāo)點(diǎn)擊窗口右上角的關(guān)閉圖標(biāo)“X”。 在MATLAB的命令窗口里，可用Ctrl+C來終止正在運(yùn)行的程序。 三. 退出MA

7、TLAB x1=sqrt(5),x2=1.37,y=3/x2結(jié)果顯示為： x1=2.2361 x2=1.3700 y=2.1898 例1.鍵入： 1.常量和變量常量和變量 在MATLAB中變量名用字符或字符加數(shù)字組成，總長(zhǎng)不超過19個(gè)字符，如A，F(xiàn)Jfj gjglsvnbdnv都是合法的變量名，MATLAB區(qū)分大小寫，A與a可以是兩個(gè)不同的變量，在變量名中不能使用括號(hào)。應(yīng)該注意所有的函數(shù)名均由小寫字母構(gòu)成。應(yīng)該注意所有的函數(shù)名均由小寫字母構(gòu)成。 例2.inv(a)為求矩陣a的逆矩陣。但I(xiàn)NV(a)則為未定義的函數(shù)。 在MATLAB中的數(shù)學(xué)常數(shù)用特定的標(biāo)識(shí)符來表示： epseps 表示浮點(diǎn)計(jì)算的

8、容許誤差為2-52 pipi 圓周率 InfInf 表示無窮大 NanNan 表示一個(gè)不定值 2、矩陣運(yùn)算符、矩陣運(yùn)算符 MATLAB中的常量或變量都代表矩陣，標(biāo)量應(yīng)看作1x1階的矩陣。(1) 轉(zhuǎn)置： A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣。(2) 加與減： AB表示矩陣A與B的和； AB表示矩陣A與B的差。(3)矩陣乘法： A*B表示矩陣A與B的乘積。當(dāng)其中一個(gè)變量是標(biāo)量時(shí)，K*BB*K表示標(biāo)量與矩陣的乘法。(4) 矩陣除法： 分左除“”和右除“/”；XAB表示AXB的解；XA/B表示XAB的解。特別地當(dāng)B為列向量時(shí)，XAB是線性方程組AXB的解。如果A是非奇異矩陣，則XABA-1B。(5) 矩陣乘方： AP，

9、當(dāng)P為正整數(shù)時(shí)，表示P個(gè)A的連乘積。 3、向量運(yùn)算符、向量運(yùn)算符(1) “.*”：表示矩陣A與B對(duì)應(yīng)元素相乘所得的矩陣(2) “./”和“.”：表示向量對(duì)應(yīng)元素相除?！?/”其中表示A的元素是被除數(shù)(3) “.”：表示求A元素以B對(duì)應(yīng)元素為指數(shù)的值 變量、常量和函數(shù)由運(yùn)算符連接得到算術(shù)表達(dá)式。當(dāng)運(yùn)算對(duì)象是矩陣時(shí)，應(yīng)用矩陣運(yùn)算符；當(dāng)運(yùn)算對(duì)象為數(shù)組時(shí)則用數(shù)組運(yùn)算符。 通常表達(dá)式的值賦給某個(gè)變量稱為賦值命令語句。賦值命令語句的一般形式為變量表達(dá)式。但亦可略去變量，此時(shí)表達(dá)式之值自動(dòng)賦給MATLAB系統(tǒng)指定的變量ans。 例3. 輸入： a=1 2 3 ；4 5 6；7 8 9則顯示結(jié)果為 a= 1

10、2 3 4 5 6 7 8 9 用clear命令可從工作空間中清除現(xiàn)存的變量。 工作空間中的變量可以用save命令存儲(chǔ)到磁盤文件中去。鍵入命令save文件名，將工作空間中全部變量存到文件名.mat文件中去，若省略文件名則存入文件matlab.mat中；命令save文件名變量名集將變量名集指出的變量存入文件文件名.mat中。 用命令laod可將變量從磁盤文件讀入MATLAB的工作空間，其用法為load文件名，它將文件名指出的磁盤文件中的數(shù)據(jù)依次讀入名稱與文件名相同的工作空間中的變量中去。若省略文件名則matlab.mat從中讀入所有數(shù)據(jù)。 作為運(yùn)算結(jié)果的變量值，在表達(dá)式計(jì)算后會(huì)在屏幕上顯示出來，

11、但在表達(dá)式結(jié)尾加一個(gè)分號(hào)“；”，該結(jié)果不再顯示。 MATLAB以雙精度執(zhí)行所有運(yùn)算,數(shù)據(jù)以多種格式顯示，當(dāng)缺省時(shí),顯示五位十進(jìn)制數(shù)。顯示格式用格式命令指定，例如： Format long 顯示15位有效數(shù)字 Format shore e 5位浮點(diǎn)數(shù) Format long e 15位浮點(diǎn)數(shù) .注釋語句注釋語句符號(hào)“”引導(dǎo)的行是注釋行。其格式為： % 語句 .鍵盤輸入語句鍵盤輸入語句 格式： input(提示字) (1) for 循環(huán)語句 for語句使用較為靈活，一般用于循環(huán)次數(shù)已經(jīng)確定的情況。其格式為： for t=表達(dá)式1：表達(dá)式2：表達(dá)式3 語句體 end 其中，表達(dá)式的值為循環(huán)的初值，表

12、達(dá)式2的值為步長(zhǎng)，表達(dá)式3的值為循環(huán)的終值。如果省略表達(dá)式2，則默認(rèn)步長(zhǎng)為1。For語句允許嵌套。在程序里，每一個(gè)“for”關(guān)鍵字必須和一個(gè)“end”關(guān)鍵字配對(duì)，否則出錯(cuò)。 for n = 1:4 for m=1：n r(n,m)=m*n ； end end r r= 1 0 0 0 2 4 0 0 3 6 9 0 4 8 12 16 while語句一般用于事先不能確定循環(huán)次數(shù)的情況。 其格式為： while 表達(dá)式 語句體 end 當(dāng)表達(dá)式的值為真時(shí)，執(zhí)行語句體；當(dāng)表達(dá)式的值為假，終止該循環(huán)。在while語句的循環(huán)中，可用break語句退出循環(huán)。 例5. 給出2000以內(nèi)的fibnacci數(shù)

13、 f(1)=1； f(2)=1； i=1； while f(i)+f(i+1)2000 f(i+2)=f(i)+f(i+1)； i=i+1； end f if條件語句用于選擇結(jié)構(gòu)。其格式有兩種情況： 格式一： if 邏輯表達(dá)式 語句體 end 格式二： if 邏輯表達(dá)式1 語句體1 else 語句體2 end if條件語句可以嵌套使用，但是，必須注意if語句和end語句成對(duì)出現(xiàn)。 MATLAB程序如下： n=input(n=)， if n=0 A= negative, elseif isempty(n)= = 1 A= empty, break elseif rem(n,2)= =0 A= e

14、ven else A= odd end運(yùn)行此程序時(shí)，程序要求用戶輸入一個(gè)數(shù)，它先判斷該數(shù)是否為負(fù)數(shù)，再判斷它是奇還是偶數(shù)，所以它共有三個(gè)出口。 while 1 n=input(Enter n,negative quies.); if n1 if rem(n,2)=0 n=n/2 else n=3*n+1 end end end. 格式： elp %可得到HELP文件列表和磁盤上 的各種文件 elp facility % 給出指定的項(xiàng)的幫助信息 格式： demo % 給出一個(gè)表演程序的菜單 1. M文件的建立與存儲(chǔ)文件的建立與存儲(chǔ) 在MATLAB命令窗口中選定“File”菜單“New”選項(xiàng)“M-

15、file”即可建立M文件。也可選定Edit菜單建立M文件，選定“Save”選項(xiàng)即可保存文件。刪除M文件使用格式：Delete 文件名 2. M文件的編輯與執(zhí)行文件的編輯與執(zhí)行 選定MATLAB命令窗口中的“Edit”菜單可利用鍵盤編輯鍵對(duì)M文件進(jìn)行全屏幕編輯。M文件以ASC編碼形式存儲(chǔ)，在命令窗口中直接鍵入文件名，就可執(zhí)行M文件。 (1). 命令文件 命令文件沒有輸入?yún)?shù)，也不返回輸出參數(shù)，只是一些命令行的組合命令文件可對(duì)工作空間中的變量進(jìn)行操作，也可生成新的變量。即使命令文件運(yùn)行結(jié)束，命令文件產(chǎn)生的變量仍將保留在工作空間中，直到關(guān)閉MATLAB或用相關(guān)命令刪除。下面是一個(gè)命令文文件的例子。

16、例8. 計(jì)算Fibonacci數(shù)的一個(gè)M文件 f(1)=1;f(2)=1;i=1； while f(i)+f(i+1)1000 f(i+2)=f(i)+f(i+1)； i=i+1； end 在MATLAB提示符下，如鍵入文件名，則MATLAB會(huì)自動(dòng)執(zhí)行這一文件中的每條命令，并產(chǎn)生執(zhí)行結(jié)果。 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 337 610 987 注意，在命令文件中的變量i及f都將保存在工作區(qū)中，這一點(diǎn)與函數(shù)文件是截然不同的。 (2).函數(shù)文件 函數(shù)文件的第一行必須包含關(guān)鍵字function。函數(shù)文件與命令文件的區(qū)別在于：函數(shù)文件可以傳遞參數(shù)，命令文件不具備

17、參數(shù)傳遞功能；在函數(shù)文件中定義及使用的變量都是局部變量，只在本函數(shù)的工作區(qū)內(nèi)有效，一旦退出該函數(shù)，即為無效變量，而命令文件中定義或使用的變量都是全局變量，在退出文件后仍為有效變量。 function y=mean(x) % MEAN 平均值 % 對(duì)于向量,MEAN(x) 返回各分量的平均值 % 對(duì)于矩陣,MEAN(x) 是一個(gè)行向量，其中各分量是矩陣各列的平均值 m,n=size(x)； if m= =1 m=n； end y=sum(x)/m； 這個(gè)M文件定義了一個(gè)新函數(shù),它的引用與其它MATLAB函數(shù)一樣，其功能是計(jì)算向量或矩陣的平均值。 例如輸入： z=1：99； m=mean(z) m= 50 (1)文件的第一行說明了該函數(shù)的名稱、輸入?yún)?shù)、輸出參數(shù)。如果沒有這一行的說明，則該文件就是命令文件而不是函數(shù)文件。這一行的有無，是區(qū)別命令與函數(shù)文件的一個(gè)重要標(biāo)志。 (2)文件前面幾行由“”開始的語句構(gòu)成了M文件的幫助信息。 練習(xí)一