曲邊梯形的面積教學(xué)設(shè)計(jì)人教課標(biāo)版(新教案)

1、河北正定中學(xué)毛雙景一、教學(xué)內(nèi)容解析微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段導(dǎo)數(shù)和定積分都是微積分的核心概念，它們有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用本節(jié)課是人教版選修第一章第五節(jié)定積分的起始課，曲邊梯形的面積是定積分概念的幾何背景，求曲邊梯形面積的過程蘊(yùn)含著定積分的基本思想方法，為引入定積分的概念和體會(huì)定積分的基本思想奠定基礎(chǔ)二 . 學(xué)生學(xué)情分析：本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是石家莊市重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生，學(xué)生的思維比較活躍，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，理解能力、運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)交流能力較強(qiáng)學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)有如下幾個(gè)方面.（）在過去的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道“直邊圖形”面積的求法，知道

2、通過割補(bǔ)的方法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為若干規(guī)則圖形來計(jì)算面積.（）在（數(shù)學(xué)）必修中的閱讀與思考內(nèi)容中已有了對(duì)劉徽的“割圓術(shù)”具體介紹，個(gè)別學(xué)生對(duì)“以直代曲” “逐步逼近”思想已有所了解 .（）學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)前已經(jīng)知道如何對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和.學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中將會(huì)面臨兩個(gè)難點(diǎn)：一是如何“以直代曲”，即學(xué)生如何將割圓術(shù)中“以直代曲、無限逼近”的思想靈活地遷移到一般的曲邊梯形上，具體來說就是：如何選擇適當(dāng)?shù)闹边厛D形（矩形、三角形、梯形）代替曲邊梯形，并使細(xì)分的過程程序化且便于操作和計(jì)算；二是對(duì)“極限”和“無限逼近”的理解，即理解為什么將直邊圖形面積和取極限正好是曲邊梯形面積的精確值.三、教學(xué)目標(biāo)分析依據(jù)教學(xué)大

3、綱，結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定如下：（） 知識(shí)與技能: 從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；掌握求曲邊梯形面積的方法及步驟；（）過程與方法: 經(jīng)歷求曲邊梯形面積的過程，體會(huì)“以直代曲”、 “無限逼近”的微積分基本思想方法；（） 情感、 態(tài)度與價(jià)值觀: 讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，提升學(xué)生的交流合作意識(shí)，體驗(yàn)“有限與無限對(duì)應(yīng)統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn) .四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)： 探究求曲邊梯形面積的方法.難點(diǎn)： 把 “以直代曲”的思想方法轉(zhuǎn)化為具體可操作的步驟，理解 “無限逼近”思想的方法.五、教學(xué)策略分析：根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生情況和教學(xué)目標(biāo)，為了突出教學(xué)重點(diǎn)，突破

4、難點(diǎn)，體現(xiàn)新課標(biāo)“以人為本，主動(dòng)發(fā)展”的教學(xué)理念，教學(xué)中采用“教師設(shè)疑引導(dǎo)，學(xué)生交流合作”的教學(xué)方法，通過問題激發(fā)學(xué)生的思維，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、合作、交流、展示，使其在探究中對(duì)問題本質(zhì)的思考逐步深入，思維水平不斷提高。針對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)探究求曲邊梯形面積的方法， 教學(xué)中采用從一般到特殊再到一般的教學(xué)過程，先通過討論一般的曲邊梯形如何以直代曲，再通過特例應(yīng)用實(shí)施，小結(jié)步驟，最后進(jìn)行一般推廣，共性歸納，從而逐步強(qiáng)化求曲邊梯形面積的方法和步驟，突出教學(xué)重點(diǎn)本節(jié)課的難點(diǎn)之一就是如何“以直代曲”針對(duì)這個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中采取兩個(gè)措施一是引導(dǎo)學(xué)生在回顧割圓術(shù)的過程中思考：為什么用正多邊形計(jì)算圓的面積？為什么讓邊

5、數(shù)逐次加倍？怎樣才能 “越來越接近”？通過以上幾個(gè)問題的討論使學(xué)生對(duì)割圓術(shù)的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在思想和方法層面，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)和生活中也有以直代曲的例子，使學(xué)生對(duì)以直代曲的方法認(rèn)識(shí)清楚二是通過分組的方式讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，通過分析和比較各種方案優(yōu)劣繁簡，為后面的具體操作奠定基礎(chǔ)本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)是對(duì)“極限”和“無限逼近”的理解針對(duì)這個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中先分別采用圖形、數(shù)表兩種方式呈現(xiàn)逐漸細(xì)分和無限逼近的過程，通過對(duì)含n 的代數(shù)式對(duì)變量n的理解，當(dāng)n 趨近于無窮大時(shí)，Sn 都趨近于同一個(gè)常數(shù)，在此基礎(chǔ)上引出取極限的方法，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程水到渠成六、教具分析為更好的完成教學(xué)目標(biāo)

6、，體現(xiàn)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的過程，利用實(shí)物投影展現(xiàn)學(xué)生研究成果；借助教學(xué)課件形象直觀的展示問題；利用幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示分割變細(xì)過程，感悟無限逼近的極限思想.七、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，根據(jù)“啟發(fā)性原則”和“循序漸進(jìn)原則”，我把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為“問題引入尋找方案實(shí)施方案解覺問題提煉本質(zhì)”五個(gè)階段（）問題引入，點(diǎn)出課題：問題： 在實(shí)際生活中，經(jīng)常會(huì)遇見一些不規(guī)則的曲邊圍成的平面圖形（ 如圖蔬菜大棚的橫截面 ） ，你能求這些圖形的面積嗎？如右圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線我們把由直線x a , x b（a b） , y 0和曲線 y f（x）所圍成的圖形稱為曲邊

7、梯形問題 ： 求 yx2與 y 0軸及 x 1所圍成的平面圖形面積？設(shè)計(jì)意圖：在初等數(shù)學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單圖形的面積，但實(shí)際生活中出現(xiàn)的圖形常是具有不規(guī)則的曲邊，這是定積分要解決的問題，產(chǎn)生學(xué)生的認(rèn)知矛盾， 激發(fā)學(xué)生的探究欲望, 設(shè)置兩個(gè)問題也符合學(xué)生的認(rèn)知水平，符合從特殊到 （二）尋找方案學(xué)生活動(dòng)（）思考：目前為止能求面積的平面圖形，并說明是什么方法？面積做鋪墊，并引導(dǎo)學(xué)生積極的參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來。設(shè)計(jì)意圖：溫故知新，復(fù)習(xí)用公式法、割補(bǔ)法等求平面圖形的幾種方法，為研究曲邊梯形的學(xué)生活動(dòng)（）圓的面積如何推導(dǎo)的？設(shè)計(jì)意圖：通過查閱資料讓學(xué)生對(duì)以直代曲的思想方法有個(gè)初步的了解，為研究曲邊梯

8、形的方法做好鋪墊.學(xué)生活動(dòng)（）在日常生活和以前的學(xué)習(xí)中，有沒有體現(xiàn)一直帶曲、無限逼近的方法，請舉例設(shè)計(jì)意圖：通過曲線上某點(diǎn)出的切線、拱形門洞、球的表面積推導(dǎo)過程，讓學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)到以直代曲是一種研究問題的方法，為進(jìn)一步研究曲邊梯形的面積提供能讓學(xué)生理解、順利接受的方法。學(xué)生活動(dòng)（）：為什么要逐次加倍正多邊形的邊數(shù)？解無限逼近的思想，分割的越多，誤差就會(huì)越小，為下面對(duì)曲邊梯形的分割提供支持. 分割：學(xué)生活動(dòng)（） ：請討論：如何分割？ 展示學(xué)習(xí)小組的部分分割的方案：矩形不足矩形中點(diǎn)梯形代替設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的思維是比較發(fā)散的，分割的時(shí)候可能有不同的角度，表揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，通過對(duì)比交流，確定容易操作的

9、分割方案，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維意識(shí) .學(xué)生活動(dòng)（）：請討論：分割多少份合適？設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生只知道分割，具體分割多少份不知道如何確定，利用劉徽的割圓術(shù)，知道分割的越多，誤差越小，為了便于操作，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用控制分割的份數(shù)，把 分割成等份. 近似代替：學(xué)生活動(dòng)（）：以什么樣的直邊圖形近似代替小曲邊圖形？ 展示學(xué)習(xí)小組的部分近似代替的方案：設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生分割后，轉(zhuǎn)化成個(gè)曲邊梯形，利用直邊圖形代替，不同的小組可能有不同的方案，通過學(xué)生合作交流確定方案，讓學(xué)生感受不同角度思考問題，每一種方案都體現(xiàn)出學(xué)生的智慧，對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)有很大的促進(jìn)作用. 求和：學(xué)生活動(dòng)（）：如何用的式子表示直邊圖形的面積和？

10、展示學(xué)習(xí)小組部分計(jì)算結(jié)果：111（）以左端點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算：S1（1）（1）3 n 2n111（）.以右端點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算S21 （1 1 ）（11 ）2 3 n 2n11（）以中間點(diǎn)的函數(shù)值S31 （11 ）3 3 2n 2設(shè)計(jì)意圖：通過分割、近似代替兩步以后，肯定要進(jìn)行求和，每個(gè)小組根據(jù)自己的方案計(jì)算出面積和，發(fā)現(xiàn)每一種和結(jié)果的代數(shù)式子不一樣，為后面引入極限做個(gè)鋪墊，讓學(xué)生體現(xiàn)成功的喜悅.學(xué)生活動(dòng)() ： 請討論：對(duì)控制變量怎樣理解，面積變化趨勢怎樣？展示學(xué)生思維結(jié)果：n 時(shí)，n 時(shí)，S11 (1 1)(13n2n111S231(11n)(121n)111n 時(shí)，S3(1)3 3 2n 23設(shè)計(jì)意

11、圖：以上三種方案得到的面積都是用表示的表達(dá)式，而曲邊梯形的面積應(yīng)該是一個(gè)常數(shù)，如何確定這個(gè)常數(shù)，學(xué)生已經(jīng)知道分割的份數(shù)越多，誤差就越小，利用前面導(dǎo)數(shù)的概念，可以確定當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，趨近于一個(gè)常數(shù)，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)無限逼近的思想方法，理解極限的含義.學(xué)生活動(dòng)()： 請對(duì)賦值， ，等進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)變大時(shí)，誤差是否變?。康确?jǐn)?shù)不足近似值()過剩近似值()精確度()()()設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在教學(xué)中先分別用形、數(shù)兩種方式體會(huì)無限逼近的過程，再在此基礎(chǔ)上引出取極限的合理性，使學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象的過程，實(shí)現(xiàn)從感性到理性的過渡為以后定積分的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)(四)操作應(yīng)用：學(xué)生活動(dòng)()：你能概括出求這個(gè)曲邊梯形面

12、積的步驟嗎？學(xué)生答案：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧求曲邊梯形面積的過程，并概括求曲邊梯形面積的方法、步驟以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，初步形成解決曲邊梯形面積問題的一般方法。2 i1i學(xué)生活動(dòng) ()： 在求小矩形的面積時(shí)，我們提到了可以取f (x) x2在區(qū)間, 上任意nn一點(diǎn) i 處的值 f ( i ) 作為小矩形的高，會(huì)有怎樣的結(jié)果？nn11展示學(xué)生結(jié)果：S lim f ( i ) x lim f ( i )x 0i1n i1n3設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解定積分的本質(zhì)，進(jìn)一步理解無限逼近、極限的含義，掌握數(shù)學(xué)符號(hào)的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).（ 五 ） 課堂總結(jié)學(xué)生活動(dòng)（）： 請同學(xué)交流，談?wù)劚竟?jié)課的收獲？1

13、. 求曲邊梯形面積的步驟是：分割近似代替求和取極限；2. 學(xué)習(xí)到的基本數(shù)學(xué)方法是：以直代曲、無限逼近。八、課后作業(yè)設(shè)置. 請用數(shù)學(xué)式子表示對(duì)應(yīng)的曲邊圖形的面積？課本P42 練習(xí)題；閱讀課本P48 49 ，并用電腦操作驗(yàn)證.設(shè)計(jì)意圖：通過不同的作業(yè)，掌握解決具體問題的步驟與方法，交給學(xué)生能操作的知識(shí)與手段，結(jié)合電腦對(duì)課本上的一些結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念，形成能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).九、板書設(shè)計(jì)曲邊梯形的面積一、曲邊梯形概念二、求曲邊梯形面積的步驟. 分割. 近似代替. 求和. 求極限三、思想與方法. 割補(bǔ)法 . 以直代曲 . 無限逼近（極限）十、教學(xué)課后反思：本節(jié)課在教學(xué)重點(diǎn)

14、上，教學(xué)過程以“問題設(shè)疑，尋找方案、實(shí)施方案、解決問題、提煉本質(zhì)”的順序展開，符合新課標(biāo)要求的“以人為本”的理念，基本達(dá)到了讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)的新課程要求，教學(xué)過程以“求曲邊梯形的面積”為主題，以“探究求曲邊梯形面積的方法”為主線，學(xué)生學(xué)會(huì)了求曲邊梯形面積的方法，并對(duì)“以直代曲，無限逼近”的數(shù)學(xué)思想方法有了比較深刻的認(rèn)識(shí)。使學(xué)生初步體會(huì)定積分的基本思想是從有限中認(rèn)識(shí)無限、從近似中認(rèn)識(shí)精確、從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施過程中，努力創(chuàng)設(shè)一個(gè)探索數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境，力求符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，使學(xué)生在探究問題的過程中，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成的過程本節(jié)課在難點(diǎn)突破

15、上，教學(xué)過程設(shè)計(jì)合理，自然流暢，比較各種方案以及幾何畫板的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形動(dòng)態(tài)、變化的過程，使得學(xué)生對(duì)“以直代曲，無限逼近”數(shù)學(xué)思想方法從感性升華到理性，難點(diǎn)突破水到渠成。本節(jié)課教學(xué)方法上以問題為主線，通過學(xué)生個(gè)體獨(dú)立思考和小組合作、探究、交流、辨析相結(jié)合，學(xué)生匯報(bào)交流和老師的點(diǎn)撥引導(dǎo)相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的思維，從而建構(gòu)知識(shí)、形成方法、培養(yǎng)能力，整個(gè)教學(xué)過程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，切實(shí)突出了學(xué)生的主體地位。本節(jié)課在滲透數(shù)學(xué)文化、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、教學(xué)有效性。但在一些細(xì)節(jié)有待于改進(jìn)，如計(jì)算過程沒有更深層次的體現(xiàn)出來，這需要可先督促學(xué)生進(jìn)一步的計(jì)算，提升計(jì)算能力.雖然在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)遇到許多不順心的事，但古人說得好吃一塹，長一智。多了一次失敗，就多了一次教訓(xùn)；多了一次挫折，就多了一次經(jīng)驗(yàn)。沒有失敗和挫折的人，是永遠(yuǎn)不會(huì)成功的。 快樂學(xué)習(xí)并不是說一味的笑，而是采用學(xué)生容易接受的快樂方式把知識(shí)灌輸?shù)綄W(xué)生的大腦里。因?yàn)榭鞓穼W(xué)習(xí)是沒有什么大的壓力的，人在沒有