第2章二維線性系統(tǒng)分析ppt課件

1、第二章第二章 二維線性系統(tǒng)分析二維線性系統(tǒng)分析第二章第二章 二維線性系統(tǒng)分析二維線性系統(tǒng)分析 2-1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 一、線性系統(tǒng)的定義一、線性系統(tǒng)的定義用算符表示系統(tǒng)用算符表示系統(tǒng)定義：定義：g(x, y) = f(x, y)輸入輸入f(x, y)輸出輸出g(x, y) a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y) 如果如果g1(x, y) = f1(x, y)， g2(x, y) = f2(x, y)

2、若對(duì)任意復(fù)常數(shù)若對(duì)任意復(fù)常數(shù)a1, a2有：有： 則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 2-1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì) 線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)激勵(lì)的線性組合的整體響應(yīng)等于線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)激勵(lì)的線性組合的整體響應(yīng)等于單個(gè)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。單個(gè)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。 輸入輸入f1(x, y)輸出輸出g1(x, y) 輸入輸入f2(x, y)輸出輸出g2(x, y) 輸入輸入輸出輸出2-1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì) 利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以把復(fù)雜的輸入函數(shù)利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以把復(fù)雜的輸入函數(shù)分解為簡(jiǎn)單的分解為

3、簡(jiǎn)單的“基元函數(shù)的線性組合，則輸出基元函數(shù)的線性組合，則輸出就是這些就是這些“基元函數(shù)響應(yīng)的線性組合?；瘮?shù)響應(yīng)的線性組合。光學(xué)系統(tǒng)可看成二維線性系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)可看成二維線性系統(tǒng) 常用常用“基元函數(shù)有基元函數(shù)有d d 函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。系統(tǒng)對(duì)某個(gè)輸入的響應(yīng)不會(huì)因?yàn)槠渌斎氲拇嬖诙到y(tǒng)對(duì)某個(gè)輸入的響應(yīng)不會(huì)因?yàn)槠渌斎氲拇嬖诙淖儭８淖?。系統(tǒng)的響應(yīng)性質(zhì)不會(huì)因?yàn)檩斎敕鹊母淖兌淖?。系統(tǒng)的響應(yīng)性質(zhì)不會(huì)因?yàn)檩斎敕鹊母淖兌淖?。線性系統(tǒng)對(duì)各個(gè)輸入的響應(yīng)是互相獨(dú)立的。線性系統(tǒng)對(duì)各個(gè)輸入的響應(yīng)是互相獨(dú)立的。2-1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 二、脈沖響應(yīng)和疊加積分二、脈沖響應(yīng)和疊加積分系統(tǒng)

4、對(duì)處于原點(diǎn)的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)處于原點(diǎn)的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x, y) = d(x, y)系統(tǒng)對(duì)輸入平面上坐標(biāo)為系統(tǒng)對(duì)輸入平面上坐標(biāo)為(x,h)處的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：處的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x, y; x,h) = d (x-x, y- h)在線性系統(tǒng)中引入脈沖響應(yīng)的意義：在線性系統(tǒng)中引入脈沖響應(yīng)的意義：1. 任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合。數(shù)的線性組合。2. 若已知線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，則系若已知線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，則系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合。統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合。2-1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 二、脈沖響應(yīng)和疊加積分

5、二、脈沖響應(yīng)和疊加積分任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合函數(shù)的線性組合 dddyxfyxf),(),(),(根據(jù)根據(jù)d d 函數(shù)的卷積性質(zhì)或函數(shù)的卷積性質(zhì)或d d 函數(shù)的篩選性質(zhì)函數(shù)的篩選性質(zhì): :此式的物理意義：脈沖分解此式的物理意義：脈沖分解函數(shù)函數(shù) f(x, y)可以看成輸入可以看成輸入(x, y)平面上不同位置平面上不同位置處的許多處的許多d 函數(shù)的線性組合。每個(gè)位于函數(shù)的線性組合。每個(gè)位于(x, h)的的d 函數(shù)的權(quán)重因子是函數(shù)的權(quán)重因子是 f (x, h)。2-1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 二、脈沖響應(yīng)和疊加積分二、脈沖響應(yīng)和疊加積分線性系統(tǒng)的輸

6、出為脈沖響應(yīng)函數(shù)線性系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合的線性組合對(duì)于線性系統(tǒng)：對(duì)于線性系統(tǒng)：g(x, y) = f(x, y) dddyxhfddyxf),;,(),(),( ),(疊加積分疊加積分只要知道各個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)，系統(tǒng)的輸出即為脈只要知道各個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)，系統(tǒng)的輸出即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合。問題是如何求對(duì)任意點(diǎn)沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合。問題是如何求對(duì)任意點(diǎn)的脈沖的脈沖d (x-x, y- h)的響應(yīng)的響應(yīng)h(x, y; x,h) 成像光學(xué)系統(tǒng)的輸出成像光學(xué)系統(tǒng)的輸出, ; ,h x yxy dL ,f x yfxyd d d , ; ,g x yfh x yd d 脈沖分解脈沖分解脈沖

7、響應(yīng)脈沖響應(yīng)疊加積分疊加積分2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 一、二維線性時(shí)不變系統(tǒng)一、二維線性時(shí)不變系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)在設(shè)系統(tǒng)在 t = 0時(shí)刻對(duì)脈沖的響應(yīng)為時(shí)刻對(duì)脈沖的響應(yīng)為 h(t)，即，即: d(t)=h (t)若輸入脈沖延遲時(shí)間若輸入脈沖延遲時(shí)間 t t ，其響應(yīng)只有相應(yīng)的時(shí)，其響應(yīng)只有相應(yīng)的時(shí)間延遲間延遲t t ，而函數(shù)形式不變，即，而函數(shù)形式不變，即 d (t - t )=h (t - t )則此線性系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)的性質(zhì)不隨則此線性系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時(shí)間而變，是穩(wěn)定的系統(tǒng)。時(shí)間軸平移所考察的時(shí)間而變，是穩(wěn)定的系統(tǒng)。時(shí)間軸平移了，響應(yīng)也隨之平移同樣

8、的時(shí)間，即具有平移不了，響應(yīng)也隨之平移同樣的時(shí)間，即具有平移不變性。變性。則此線性系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察則此線性系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時(shí)間而變，是穩(wěn)定的系統(tǒng)。時(shí)間軸平移了，響應(yīng)也隨的時(shí)間而變，是穩(wěn)定的系統(tǒng)。時(shí)間軸平移了，響應(yīng)也隨之平移同樣的時(shí)間，即具有平移不變性。之平移同樣的時(shí)間，即具有平移不變性。tt t0d ttd ttt0d td t例：時(shí)不變例：時(shí)不變(一維一維)系統(tǒng)系統(tǒng) : RC電路電路th(t)0t th(t-t)t02-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng)一、二維線性時(shí)不變系統(tǒng)一、二維線性時(shí)不變系統(tǒng)實(shí)際物理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng)。實(shí)際物

9、理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng)。對(duì)一般系統(tǒng)而言，脈沖響應(yīng)函數(shù)的形式可能是點(diǎn)對(duì)一般系統(tǒng)而言，脈沖響應(yīng)函數(shù)的形式可能是點(diǎn)點(diǎn)不同的點(diǎn)不同的只有對(duì)一類特殊的系統(tǒng)只有對(duì)一類特殊的系統(tǒng)線性空不變系統(tǒng)，線性空不變系統(tǒng)，h(x, y; x,h)= h(x-x , y-h) 成立，分析可以得到簡(jiǎn)化。成立，分析可以得到簡(jiǎn)化。那么那么 h (x;1) h (x-1)=1例如，設(shè)例如，設(shè) d(x)= h d(x)= h (x)=1(x)=1而而 d(x-1)= h (x;1)= exp(-j2px)2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 二、二維線性空不變系統(tǒng)二、二維線性空不變系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x,

10、y ; x, h )的求的求法：法： 2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng)二、二維線性空不變系統(tǒng)二、二維線性空不變系統(tǒng) 一個(gè)二維脈沖函數(shù)在輸入面上位移時(shí)，線性系統(tǒng)的一個(gè)二維脈沖函數(shù)在輸入面上位移時(shí)，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即：應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即： d(x-x, y-h)=h (x-x, y-h)線性不變系統(tǒng)線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：的脈沖響應(yīng)：線性不變系統(tǒng)的輸入線性不變系統(tǒng)的輸入-輸出變換關(guān)系不隨空間位置變化。輸出變換關(guān)系不隨空間位置變化。這樣

11、的系統(tǒng)稱為二維線性空不變系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)稱為二維線性空不變系統(tǒng)。h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)觀察點(diǎn)觀察點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)輸入脈沖輸入脈沖坐標(biāo)坐標(biāo)二個(gè)坐標(biāo)的二個(gè)坐標(biāo)的相對(duì)間距相對(duì)間距推廣到二維空間函數(shù)推廣到二維空間函數(shù)2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng)二、二維線性空不變系統(tǒng)二、二維線性空不變系統(tǒng)例例 ：空不變空不變( (二維二維) )系統(tǒng)：等暈成像系統(tǒng)系統(tǒng)：等暈成像系統(tǒng)d ; yd ; y(x ;h)h(x-x ; y-h)xyxy光學(xué)成像系統(tǒng)在等暈區(qū)內(nèi)是空間不變的。光學(xué)成像系統(tǒng)在等暈區(qū)內(nèi)是空間不變的。暈斑暈斑d ,yd ,yh(x,y)例例2-2 二維線性不變系統(tǒng)二

12、維線性不變系統(tǒng) 二、二維線性空不變系統(tǒng)二、二維線性空不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系：空域輸入輸出關(guān)系：空域 ddddyxfyxyxfyxf),(),(),(),(),( dddyxfyxfyxg),( ),(),( ),( ddyxhf),(),(),(),(yxhyxf輸出是輸入與輸出是輸入與脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。這也的卷積。這也是線性空不變是線性空不變系統(tǒng)的判據(jù)。系統(tǒng)的判據(jù)。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)輸入頻譜輸入頻譜2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)),(),(),( yxhyxfyxg由兩邊作兩邊作F.T. G(fx,fy) = F (f

13、x,fy) H (fx,fy) 輸出頻譜輸出頻譜傳遞函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傳遞函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的.F.T. dxdyyfxfjyxhffHyxyx)(2exp),(),(= h(x,y)2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)注意注意H (fx,fy) 是是 h(x,y) 的的F.T.，即，即h(x,y)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)h(x,y)是對(duì)是對(duì)d (x,y)函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)的響應(yīng)d d 函數(shù)的頻譜恒為函數(shù)的頻譜恒為1 1，即含有所有頻率成分，即含有所有頻率成分，并且各頻率成分的權(quán)重都相等（并且各頻率成分的權(quán)重都相等（11）。）。但但h(x,y

14、)的頻譜已經(jīng)改變成的頻譜已經(jīng)改變成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的響應(yīng)，即頻率響應(yīng)。響應(yīng)，即頻率響應(yīng)。2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)于給定的系統(tǒng)和輸入，對(duì)于給定的系統(tǒng)和輸入，F(xiàn) (fx,fy) 和和H (fx,fy) 較容易較容易求出，因此容易由輸出的頻譜推算出系統(tǒng)的輸出，求出，因此容易由輸出的頻譜推算出系統(tǒng)的輸出，可避免冗繁的卷積積分求輸出的運(yùn)算?？杀苊馊叻钡木矸e積分求輸出的運(yùn)算。G(fx,fy) = F (fx,fy) H (fx,fy) 間隔為間隔為3的的脈沖陣列脈

15、沖陣列, 基頻為基頻為1/3在有限空間在有限空間區(qū)域不為零區(qū)域不為零, |x|25三角波三角波, 底寬為底寬為2)(50rect3comb31)(xxxxf輸入：輸入：0-25-3325. . . . . . . . . . . . xf(x)12-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：例：輸入頻輸入頻譜：譜：)(sinc50sinc3comb50)(2ffffF輸入：輸入：)(50rect3comb31)(xxxxf間隔為間隔為1/3的脈沖陣列的脈沖陣列包絡(luò)包絡(luò), 半寬為半寬為1 窄帶譜窄帶譜, 半寬半寬1/50f0-1/31/3G(f

16、)2/3-2/3251-12-22-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：例：f0-1/31/3G(f)2/3-2/3251-12-2f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)5 . 1rect5 . 1rect 2rect4rect)(fffffHH(f)1f01-12-22-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：例：)(sinc50sinc33comb350)(2ffffF5 . 1rect5 . 1rect)(fffHG(f ) = F(f

17、).H(f ) 5) 4, 4,- -5,( )3(50sinc)(sinc3502nnffnf0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20nnff)3(50sinc)(sinc350 23nfnd輸出頻譜：輸出頻譜：)3/5() 3/5()50sinc() 3/5(sinc350 )3/4() 3/4()50sinc() 3/4(sinc350)(22fffffffGddddG(f)f0-1/31/3 2/3-2/350/31-12-2G(f) = G(f).H(f) 5) 4, 4,- -5,( )3(50sinc)(sinc3502nnffn2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線

18、性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例：例：輸出：輸出： 50rect310cos50938cos329)(22xxxxg輸出頻譜：輸出頻譜：)3/5()3/5()50sinc()3/5(sinc350 )3/4()3/4()50sinc()3/4(sinc350)(22fffffffGddddg(x)注意注意H (fx,fy) 是是 h(x,y) 的的F.T.，即，即h(x,y)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)h(x,y)是對(duì)是對(duì)d (x,y)函數(shù)的響應(yīng)。函數(shù)的響應(yīng)。d d 函數(shù)的頻譜恒為函數(shù)的頻譜恒為1 1，即含有所有頻率成分，即含有所有頻率成分，并且各頻率成分的權(quán)重都相等

19、（并且各頻率成分的權(quán)重都相等（11）。）。但但h(x,y)的頻譜已經(jīng)改變成的頻譜已經(jīng)改變成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的響應(yīng)，即頻率響應(yīng)響應(yīng)，即頻率響應(yīng)2-2 二維線性不變系統(tǒng)二維線性不變系統(tǒng) 三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2-3 抽樣定理抽樣定理, ; ,h x yxy dL ,f x yfxyd d d , ; ,g x yfh x yd d 脈沖分解脈沖分解脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)疊加積分疊加積分2-3 抽樣定理抽樣定理問題的提出：對(duì)于一個(gè)連續(xù)的物模擬信號(hào)），是問題的提出：對(duì)于一個(gè)連續(xù)的物模擬信號(hào)），是否必須采集物

20、的所有點(diǎn)用無窮多個(gè)否必須采集物的所有點(diǎn)用無窮多個(gè)d 函數(shù)的線性組函數(shù)的線性組合來表示），才能表達(dá)物所包含的全部信息？合來表示），才能表達(dá)物所包含的全部信息？答：為了完全描述一個(gè)頻帶受限制的信號(hào)答：為了完全描述一個(gè)頻帶受限制的信號(hào)( (限帶信限帶信號(hào)號(hào)) )，可以對(duì)它在離散點(diǎn)，可以對(duì)它在離散點(diǎn)( (時(shí)間或空間點(diǎn)時(shí)間或空間點(diǎn)) )進(jìn)行抽樣。進(jìn)行抽樣。抽樣定理抽樣定理若函數(shù)若函數(shù)g (x, y) 不包括高于不包括高于Bx 和和By 的頻率分量，則此的頻率分量，則此函數(shù)可以由一系列間隔函數(shù)可以由一系列間隔(X, Y )等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By) 處的函數(shù)值完全決定。處的函數(shù)值

21、完全決定。 X, Y：時(shí)：時(shí)/空域、間隔；空域、間隔； Bx , By ：頻域、帶寬：頻域、帶寬2-3 抽樣定理抽樣定理 一、函數(shù)的抽樣一、函數(shù)的抽樣上式表明，抽樣后的函數(shù)上式表明，抽樣后的函數(shù)gs(x,y)由間距分別為由間距分別為X和和 Y的的d 函數(shù)陣列構(gòu)成，每個(gè)函數(shù)陣列構(gòu)成，每個(gè)d 函數(shù)下的面積正比于函數(shù)下的面積正比于該點(diǎn)的函數(shù)值。該點(diǎn)的函數(shù)值。),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs將連續(xù)函數(shù)將連續(xù)函數(shù)g(x,y)在間隔為在間隔為X和和Y的分立的空間的分立的空間點(diǎn)上抽樣，就是與梳函數(shù)相乘的過程。抽樣后點(diǎn)上抽樣，就是與梳函數(shù)相乘的過程。抽樣后的函數(shù)系列用的函數(shù)系列用gs(x,

22、y)表達(dá)：表達(dá)：g(x)0 x=x0 xcomb(x/X).0gs(x)2-3 抽樣定理抽樣定理 一、函數(shù)的抽樣一、函數(shù)的抽樣二維情形二維情形2-3 抽樣定理抽樣定理 二、抽樣函數(shù)二、抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜的頻譜),(,yxnmyxffGYmfXnf d nmyxYmfXnfG,),(combcomb ),(yxyxsffGYyXxffG),(combcomb yxyxffGYfXfXY經(jīng)過抽樣后函數(shù)的頻譜，是原連續(xù)函數(shù)的經(jīng)過抽樣后函數(shù)的頻譜，是原連續(xù)函數(shù)的頻譜以間隔頻譜以間隔1/X，1/Y 重復(fù)平移并疊加。重復(fù)平移并疊加。),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs如果如果G

23、(fx, fy)頻帶無限制，則這些頻頻帶無限制，則這些頻譜函數(shù)必然會(huì)疊加。譜函數(shù)必然會(huì)疊加。 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)即使即使G (fx, fy)是頻帶有限的函數(shù)，若是頻帶有限的函數(shù)，若X,Y取值不合適，這些重復(fù)的頻譜函數(shù)取值不合適，這些重復(fù)的頻譜函數(shù)之間也會(huì)互相重疊。之間也會(huì)互相重疊。fxGs(fx)01/X1/X只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊，才有可只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊，才有可能用濾波的方法，從中提取出原函數(shù)的能用濾波的方法，從中提取出原函數(shù)的頻譜，進(jìn)而求出原函數(shù)。頻譜，進(jìn)而求出原函數(shù)。fxGs(fx)02-3 抽樣定理抽樣定理 二、抽樣函數(shù)二、抽樣函數(shù)gs(x,y)

24、的頻譜的頻譜2-3 抽樣定理抽樣定理 三、抽樣間隔三、抽樣間隔fxG(fx)-BxBx0 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)(2) 原函數(shù)抽樣時(shí)，在原函數(shù)抽樣時(shí)，在x方向和方向和y方向抽樣點(diǎn)的間方向抽樣點(diǎn)的間隔隔 X 和和Y不得大于不得大于1/(2 Bx)和和1/(2 By)，(1) g(x,y)是限帶函數(shù)，其頻譜是限帶函數(shù)，其頻譜G (fx, fy)僅在頻率平面上一個(gè)有限區(qū)域僅在頻率平面上一個(gè)有限區(qū)域 上不為上不為零零2 Bx, 2 By : 帶寬帶寬: 包圍包圍 的最小矩形在的最小矩形在 fx 和和 fy方向上的寬度。方向上的寬度。yxBYBX21 ,21則則Gs中各個(gè)區(qū)域中各個(gè)

25、區(qū)域(間隔為間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會(huì)重的頻譜就不會(huì)重疊疊fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用濾波的方法，提取出原函數(shù)的頻譜有可能用濾波的方法，提取出原函數(shù)的頻譜G，進(jìn)而求出原函數(shù)。，進(jìn)而求出原函數(shù)。2-3 抽樣定理抽樣定理 三、抽樣間隔三、抽樣間隔fxGs(fx)-BxBx01/X則則Gs中各個(gè)區(qū)域間隔為中各個(gè)區(qū)域間隔為1/X,1/Y的頻譜就不會(huì)重疊，有可能用濾波的頻譜就不會(huì)重疊，有可能用濾波的方法，提取出原函數(shù)的頻譜的方法，提取出原函數(shù)的頻譜G，進(jìn)而求出原函數(shù)。進(jìn)而求出原函數(shù)。yxBYBX21 ,21yxBYBX21 ,21稱為奈奎斯特稱為奈奎斯特(Niquest)間隔間隔只

26、要以小于或等于奈奎斯特間隔對(duì)只要以小于或等于奈奎斯特間隔對(duì)g(x,y)抽樣，則抽樣，則gs(x,y)的頻譜的頻譜就是就是G (fx, fy)的周期性復(fù)現(xiàn)，包含了的周期性復(fù)現(xiàn)，包含了g(x,y)的全部信息。的全部信息。2-3 抽樣定理抽樣定理 四、原函數(shù)的復(fù)原四、原函數(shù)的復(fù)原為了從為了從gs(x,y)中還原出中還原出g(x,y)，將，將gs(x,y)通過一個(gè)通過一個(gè)理想低通濾波器，只允許所有頻率理想低通濾波器，只允許所有頻率|fx|Bx, |fy|By 的頻率分量無畸變地通過，而將此區(qū)域以外的頻的頻率分量無畸變地通過，而將此區(qū)域以外的頻率分量完全阻塞。率分量完全阻塞。fxGs(fx)-BxBx0

27、1/X此理想低通濾波器的頻率此理想低通濾波器的頻率特性為頻域中的矩形函數(shù)特性為頻域中的矩形函數(shù)2-3 抽樣定理抽樣定理 四、原函數(shù)的復(fù)原四、原函數(shù)的復(fù)原用頻域中寬度用頻域中寬度2Bx和和2By的位于的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)：原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)：yyxxyxBfBf,ffH2rect2rect濾波過程：濾波過程：yxyyxxyxs,ffGBfBf,ffG2rect2rect根據(jù)卷積定理，在空間域得到：根據(jù)卷積定理，在空間域得到：yxgyxhyxgs, mYnX,yxnX,mYgXYx,ygYyXxx,ygnms combcombyBxBsBBBfBfFx,yhyxyxyyxx2s

28、inc2inc4 2rect2rect12-3 抽樣定理抽樣定理 四、原函數(shù)的復(fù)原四、原函數(shù)的復(fù)原mYyBx-nX BnX,mYgXYBBx,ygyxnmyx 2sinc2sinc 4若取最大允許的抽樣間隔，即若取最大允許的抽樣間隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，則用函數(shù)，則用函數(shù)的抽樣值計(jì)算出原函數(shù)：的抽樣值計(jì)算出原函數(shù)： yyxxnmyxBmyB Bnx-BBmBngyx22sinc22sinc2,2,g原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值插值函數(shù)插值函數(shù)插值：由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值插值：由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值原函數(shù)在空域原函數(shù)在空域中表

29、示為：中表示為：2-3 抽樣定理抽樣定理四、原函數(shù)的復(fù)原四、原函數(shù)的復(fù)原抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示g(x)0 xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X.fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽樣抽樣fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.復(fù)原復(fù)原2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bx*2-3 抽樣定理抽樣定理四、原函數(shù)的復(fù)原四、原函數(shù)的復(fù)原抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsinc(2B

30、x)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=sinc函數(shù)稱為函數(shù)稱為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)頻域?yàn)V波相當(dāng)于頻域?yàn)V波相當(dāng)于空域的插值運(yùn)算空域的插值運(yùn)算連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣。重新恢連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣。重新恢復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定。復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定。2-3 抽樣定理抽樣定理四、原函數(shù)的復(fù)原四、原函數(shù)的復(fù)原抽樣和還原的圖示抽樣和還原的圖示抽樣抽樣空域空域 g(x,y)g(x,y)頻域頻域 G(fx,fy)G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)

31、復(fù)原復(fù)原低通濾波器低通濾波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)= gs(x,y)*h(x,y)G(fx,fy)= Gs(fx,fy)H(fx,fy)抽樣定理表明抽樣定理表明: 在一定條件下可以由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)。在一定條件下可以由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)。一個(gè)連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟一個(gè)連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息。失任何信息。 2-3 抽樣定理抽樣定理五、抽樣定理的適用性五、抽樣定理的適用性在數(shù)學(xué)上，限帶函數(shù)在空域上一定是無限擴(kuò)展的函數(shù)在數(shù)學(xué)上，限帶函數(shù)在空域上一定是無限擴(kuò)展的函數(shù)函數(shù)不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內(nèi)。只要函數(shù)不可能在空域和頻域都被限制在某