第2節(jié) 方陣的特征值特征向量 相似矩陣ppt課件

1、2 2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量相似矩陣相似矩陣一、基本概念一、基本概念定義定義5.2.1：設：設 A 是是 n 階矩陣，如果數階矩陣，如果數 l 和和 n 維非零向量維非零向量 X 滿足滿足AX = l X，那么這樣的數那么這樣的數 l 稱為矩陣稱為矩陣 A 的特征值，非零向量的特征值，非零向量 X 稱為稱為 A 對應于特征值對應于特征值 l 的特征向量的特征向量例：例：那么那么 l = 1 為為 的特征值，的特征值， 為對應于為對應于l = 1 的特征向量的特征向量.342212311 3423 21 特征方程特征方程特征多項式特征多項式n特征方程特征方程 | lE A

2、| = 0n特征多項式特征多項式| lE A|111212122212| 0nnnnnnaaaaaaEAaaa 例例5.2.1：求矩陣：求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征方程為的特征方程為所以所以 A 的特征值為的特征值為 l1 = 3，l2 = 2(二重特征值二重特征值)當當 l1 = 3 時，時， 對應的特征向量應滿足對應的特征向量應滿足 ，即，即解得基礎解系解得基礎解系 511311421A 2511|311(3)(2)0421EA 123511031133304210 xxx 123211032104220 xxx 1111X k1 X1k1 0就是對應的特

3、征向量就是對應的特征向量例例5.2.1：求矩陣：求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征方程為的特征方程為所以所以 A 的特征值為的特征值為 l1 = 3，l2 = 2(二重特征值二重特征值) 當當 l2 = 2 時，時， 對應的特征向量應滿足對應的特征向量應滿足 ，即，即解得基礎解系解得基礎解系 511311421A 2511|311(3)(2)0421EA 123511031122204210 xxx 123311031104210 xxx 2112X k2 X2k2 0就是對應的特征向量就是對應的特征向量例例5.2.2：求矩陣：求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特

4、征向量解：解：所以所以 A 的特征值為的特征值為 l1 = 1，l2 = l3 = 2 211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)EA 例例5.2.2：求矩陣：求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解續(xù)）：當解續(xù)）：當 l1 = 1 時，因為時，因為解方程組解方程組 (-E - A) X = 0解得基礎解系解得基礎解系 211020413A 1111101030 010414000rEAEA 1101p k p1k 0就是對應的特征向量就是對應的特征向量例例5.2.2：求矩陣：求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解續(xù)）：當解續(xù)）：當 l2

5、= l3 = 2 時，因為時，因為解方程組解方程組 (2E-A) X= 0解得基礎解系解得基礎解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同時為零就是對應的特征向量不同時為零就是對應的特征向量211020413A 4114112000 000411000rEA 23100 , 141pp 二、基本性質二、基本性質性質性質5.2.1：設：設 n 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為 l1, l2, , ln，那么，那么l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|二、基本性質二、基本性質性質性質5.2.1：設：設 n 階矩陣階矩陣

6、A 的特征值為的特征值為 l1, l2, , ln，那么，那么l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|性質性質5.2.2：假設：假設 l 是是 A 的一個特征值，的一個特征值，X 是是 A 的屬于的屬于 l 的特的特征向量，那么征向量，那么 kl 是是 kA 的特征值的特征值( k 是任意常數是任意常數)； lm是是Am的特征值的特征值(m為正整數為正整數)； 當當A可逆時，可逆時， l -1是是 A-1 的特征值，且的特征值，且X 仍為矩陣仍為矩陣kA，Am，A-1的分別對應于特征值的分別對應于特征值kl， lm，1/l的特征向量。的

7、特征向量。假設假設 l 是是 A 的一個特征值，那么的一個特征值，那么 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩陣多項式是矩陣多項式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值的特征值二、基本性質二、基本性質性質性質5.2.1：設：設 n 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為 l1, l2, , ln，那么，那么l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A|性質性質5.2.2：假設：假設 l 是是 A 的一個特征值，的一個特征值，X 是是 A 的屬于的屬于 l 的特的特征向量，那么征向量，那么 k

8、l 是是 kA 的特征值的特征值( k 是任意常數是任意常數)； lm是是Am的特征值的特征值(m為正整數為正整數)； 當當A可逆時，可逆時， l -1是是 A-1 的特征值，且的特征值，且X 仍為矩陣仍為矩陣kA，Am，A-1的分別對應于特征值的分別對應于特征值kl， lm，1/l的特征向量。的特征向量。假設假設 l 是是 A 的一個特征值，那么的一個特征值，那么 j (l) = a0 + a1 l + + am l m是矩陣多項式是矩陣多項式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值的特征值性質性質5.2.3：A與與AT有相同的特征值。有相同的特征值。定義定義5.

9、2.3：設：設 A, B 均為均為 n 階矩陣，若存在可逆階矩陣，若存在可逆n階矩陣階矩陣 P ，使，使P 1AP = B ，則稱則稱 B 為矩陣為矩陣 A 的相似矩陣，或稱矩陣的相似矩陣，或稱矩陣A 和和 B 類似類似對對 A 進行運算進行運算 P 1AP 稱為對稱為對 A 進行相似變換進行相似變換稱可逆矩陣稱可逆矩陣 P 為把為把 A 變成變成 B 的相似變換矩陣的相似變換矩陣A 與與 B 相似記為相似記為 AB 。性質：性質：反身性：反身性：A A對稱性：假設對稱性：假設 A B，則，則B A傳遞性：假設傳遞性：假設 A B，B C，那么，那么 A C定理定理5.2.1：相似矩陣的特征值也相同：相似矩陣的特征值也相同證明：根據題意，設證明：根據題意，設 A B，則存在可逆矩陣，則存在可逆矩陣 P ，使得，使得 P 1AP = B 于是于是 | B lE | = | P 1AP P 1(lE) P | = | P 1(AlE ) P | = | P 1| |AlE | |P | = |AlE | 推論推論5.2.1：假設：假設 n 階矩陣階矩陣A與對角矩陣與對角矩陣 L = diag(l1, l2, , ln )類似，則類似，則l1, l2, , l