習(xí)習(xí)題解答(第5章)

1、5三、解答題1. 設(shè)隨機變量X1，X2，Xn獨立同分布，且XP(l)，試利用契比謝夫不等式估計的下界。解：因為XP(l)，由契比謝夫不等式可得2. 設(shè)E(X) = 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = ，試根據(jù)契比謝夫不等式估計P|X + Y | ³ 3的上界。解：由題知 =0Cov= 所以3. 據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率解：設(shè)i個元件壽命為Xi小時，i = 1 ,2 , . , 16 ，則X1 ，X2 ，. ，X16獨立同分布

2、，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由獨立同分布的中心極限定理可知：近似服從N ( 1600 , ，所以=1- = 4. 某商店負責(zé)供應(yīng)某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時間內(nèi)每人需要用一件的概率為，假定在這一時間段各人購買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以%的概率保證不會脫銷（假定該商品在某一時間段內(nèi)每人最多可以買一件）解：設(shè)商店應(yīng)預(yù)備n件這種商品，這一時間段內(nèi)同時間購買此商品的人數(shù)為X ，則X B（1000，），則E(X) = 600，D (X ) = 240，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n，使PX n = %成立.則PX

3、 n 所以，取n=643。即商店應(yīng)預(yù)備643件這種商品，才能以%的概率保證不會脫銷。5. 某種難度很大的手術(shù)成功率為，先對100個病人進行這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P84 < X < 95解：依題意, X B（100，），則E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺替顧客服務(wù)的時間（以分鐘計）是相互獨立的隨機變量，均值為，方差為1求對100位顧客的總服務(wù)時間不多于2小時的概率解：設(shè)柜臺替第i位顧客服務(wù)的時間為X i ，i = 1,2,3.100.則X i ，i = 1,2,3.100獨立同分布，且E（X i）=，D(X i )=1，所以 即

4、對100位顧客的服務(wù)時間不多于兩個小時的概率為.7. 已知筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺，為了以%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買該種配件多少件解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，則X B(n，, =PX³10000= ，解得 n=12655即此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買12655件改種配件才能滿足以%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。8. 已知一本300頁的書中，每頁的印刷錯誤的個數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，試求整書中的印刷錯誤總數(shù)不多于70個的概率解：記每頁印刷錯誤個數(shù)

5、為，i=1，2，3，300，則它們獨立同服從參數(shù)為的泊松分布，所以E（X i）=，D(X i )=所以 9. 設(shè)車間有100臺機床，假定每臺機床是否開工是獨立的，每臺機器平均開工率為，開工時需消耗電能a千瓦，問發(fā)電機只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率保證車間正常生產(chǎn)解：設(shè)發(fā)電機只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率保證車間正常生產(chǎn)，記X為100臺機床中需開工的機床數(shù)，則X B(100，,E（aX）=64a ，D(aX ) =100××，所以10. 某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給家屬1萬元設(shè)老年人死亡率為，試求保險公司在

6、一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率解：設(shè)當年內(nèi)投保老人的死亡數(shù)為X，則X B (10000,。保險公司在一年內(nèi)的保險虧本的概率為 所以保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率是四、應(yīng)用題1. 某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費額（單位：元）服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費額是相互獨立的，求該餐廳的日營業(yè)額在其平均營業(yè)額760元內(nèi)的概率解：設(shè)每位顧客的消費額為Xi ，i =1,2,400, 且 X i U (20，100)，則，由獨立同分布的中心極限定理 , 所以2. 設(shè)某型號電子元件的壽命（單位：小時）服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時，具體使用時當一元件損壞后立即更換另一

7、新元件，已知每個元件進價為110元，試問在年計劃中應(yīng)為此元件作多少元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng)（假定一年工作時間為2000小時）解：設(shè)應(yīng)為這種元件作m元的預(yù)算，即需進m/110個元件，記第件的壽命為Xi小時，i =1，2，3···, m/110，且X i E (20)，所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，=，所以所以m=12980即在年計劃中應(yīng)為此元件作12980元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng).3. 據(jù)調(diào)查某村莊中一對夫妻無孩子、有1個孩子、有2個孩子的概率分別為，若該村共有400對夫妻，試求：(1) 400對夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率；(2) 只有1個孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率解：(1) 設(shè)第k對夫妻 孩子數(shù)為X k ，則X k的分布律為X k012p則， 故即400對夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率為(2) 設(shè)Y為只有一個孩子的夫妻對數(shù)，則Y B (400,， 即只有1個孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率為（B）1. 設(shè)隨機變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：（提示：利用Chebyshev不等式）證明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式 = 2. 設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律Xn0pk1/41/21/