圓中的概念和性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1講 圓中的概念和性質(zhì)【知識點一】圓的概念與性質(zhì)在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點A所形成的圖形叫做圓，其固定的端點0叫做圓心，線段OA 半徑.圓的表示法：習慣上用半徑表示，以點O為圓心，記作“O”，讀作“圓O”同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓. 等圓：半徑相等（能夠重合）的兩個圓，叫做等圓.注意：同圓或者等圓的半徑相等.同心圓的圓心相同，半徑不同的圓.弦：連接圓上任意兩點的線段 如圖中的EF，CD，AB. 直徑：經(jīng)過圓心的弦，如圖中的AB?。簣A上任意兩點間的部分，簡稱弧.如圖，以AB為端點

2、的弧記為讀作“弧AB”.優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧，用三個字母表示，如圖中劣?。盒∮诎雸A的弧，如圖中與半圓：任意一條直徑把固分成的兩條弧，如圓中等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧，如圖中=例1.（1）下列說法正確的有_（填序號） 直徑是弦； 半圓是??； 長度相等的兩條弧是等?。?所對圓心角相等的兩條弧是等?。?半徑相等的兩個圓是等圓（圓心不同）； 兩個半圓是等弧(2)下列結(jié)論錯誤的是（ ） A：圓是軸對稱圖形 B：圓是中心對稱圖形 C：半圓不是弧 D：頂點在圓心的角叫做圓心角 練1-1.有下列四個說法：半徑確定了，圓就確定了；直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓其中錯誤說法的個數(shù)是（ ）

3、 A：1 B：2 C：3 D：4 練1-2.給出下列說法：半徑相等的圓是等圓；長度相等的弧是等??；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半徑相等的兩個半圓是等弧，其中正確的有（ ） A：1個 B：2個 C：3個 D：4個 例2.(1)如圖所示，MN為O的弦，MON = 70，則N的度數(shù)為（ ）A：40 B：50 C：55 D：60 (2)如圖，AB是O的直徑，CD是O的弦，AB，CD的延長線交于點E，若AB = 2DE，E = 18，則 C = _，AOC = _ 練2-1.(1)如圖所示，MN為O的弦，M = 55，則MON的度數(shù)為（ ）A：50 B：55C：60 D：70(2)如圖，O的直徑AB與弦

4、CD的延長線交于點E，若DE = OB，AOC = 87，則E = _， C = _ 練2-2.(1)如圖所示，MN為O的直徑，點P是圓上一點，連接OP，MP，已知P = 50，則PON的度數(shù)為（ ）A：80B：90 C：100 D：110 (2)如圖，CD是O的直徑，EOD = 84 ，AE交于O點B，且AB = OC，則A的度數(shù)是_【知識點二】圓垂徑定理有關(guān)計算練習：如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm,求O的半徑分析：過點O做OEAB與E，連接OA，由垂徑定理：，AOE中，O的半徑的半徑為5cm.總結(jié)：過圓心向弦作垂線并連接半徑,則半徑、弦的一半與該弦的弦心距三條

5、線段滿足勾股定理.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.符號語言表達： CD是直徑且CDAB，AE=BE，=，=垂直于弦的直徑的幾個基本作圖：垂徑定理的推論：平分弦(此弦非直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.思考：為什么強調(diào)這里的弦不是直徑？如圖，一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但不一定互相垂直.因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立直徑（過圓心） （CD過圓心，即CD為直徑）垂直徑 （CDAB）平分弦（不是直徑） （AE=BE）平分優(yōu)弧 （=）平分劣弧 （=） “知二推三”例3.如圖，已知O的直徑ABCD于點E，則下列結(jié)論不正確的是（ ） A：CE = DEB：

6、AE = OE C：弧BC = 弧BD D：OCEODE練3-1.在O上作一條弦AB，再作一條與弦AB垂直的直徑CD，CD與AB交于點E，則下列結(jié)論中不一定正確是（ ） A： AE = BE B： AC = BC C： D：練3-2.如圖，AB為O直徑，弦CDAB于E，則下面結(jié)論中錯誤的是（ ） A：CE=DE B：弧BC等于弧BD C：BAC=BAD D：OE=BE 例4.如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點D,若O的半徑為5,AB = 8,則CD的長是（ ） A：2B：3 C：4 D：5 練4-1.如圖,AB是O的弦,半徑OC AB于D點,且AB = 6cm,OD = 4cm,則DC的長為

7、（ ） A：5cm B：2.5cm C：2cm D：1cm 練4-2.如圖，O的直徑CD=10，弦AB=8，ABCD，垂足為M，則DM的長為（ ） A： 5 B： 6 C： 7 D： 8 例5.如圖，AB為O的直徑，弦CDAB于E，已知CD= 12，BE=2，則O的直徑為（ ） A：8 B：10 C：16D：20 練5-1.如圖,已知半徑OD與弦AB互相垂直,垂足為點C,若AB = 8,CD = 3,則 O的半徑為（ ） A：4 B：5 C：25 D：19 練5-2.如圖, O的弦AB垂直平分半徑OC, 若AB =, 則O的半徑為（ ）A： B：2C： D：附加題：1.O的半徑為5cm，弦AB

8、CD，且AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為（ ） A：1cm B：7cm C：3cm或4cm D：1cm或7cm2 設(shè)點P是半徑為5的O內(nèi)一定點，且OP = 4，則過點P的所有弦中，弦長可能取到的所有整數(shù)值之和為_第2講 圓中的角【知識點一】圓圓周角定理及推論圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角 如圖，AOB是圓心角弧度：把頂點在圓心的周角等分成360份，每一份的圓心角是， 的圓心角對著的弧，即圓心角的度數(shù)等于弧度數(shù).圓周角的概念：頂點在圓上并且兩邊都與圓相交的角如圖，BAC是圓周角.圓周角定義的兩個特征：頂點在圓上 兩邊都與圓相交練習：如圖，APB是圓周角的是（ ）圓周角定理：圓

9、周角定理：同弧所對的圓周角的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)的一半.幾何語言：AOB是弧AB所對的圓心角，ACB是弧AB所對的圓周角ACB=練習：求出下列圖形的1 圓周角定理的證明：圓心O在BAC的一條邊上（證明提示：外角定理）圓心O在BAC的內(nèi)部（證明提示：外角定理）圓心O在BAC的外部（證明提示：外角定理）圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等如圖， 1=3 ,2=4逆命題：在同圓或等圓中，相同圓周角所對的弧相等如圖在O中，若BAC = DFE， 則有推論2:半圓(或直徑)所對的圓周是直角， 90圓周角所對的弦是直徑，如圖在O中，若AB為直徑，則ACB= 90.巧記：直徑對直角，直角對直

10、徑.練習：如圖，已知AC為O的直徑，BAC= 50，則D= .分析：連接BC注意：構(gòu)造直徑所對的圓周角得直角.例1.（1）如圖，A、B均為O上一點，若AOB = 80，則ACB = （ ） A：80 B：70 C：60 D：40（2）如圖，點A、B、C在O上，ABCO，B = 22，則A = _ (3)如圖所示，AB是O的直徑，弦DC與AB相交于點E，若ACD = 50，則DAB = _ (4)如圖，A經(jīng)過坐標系的原點，與x軸交于點B(8,0)，與y軸交于點C(0,6)，則A的半徑為_ 練1-1.(1)如圖，O是ABC的外接圓，已知B = 60，則ACO = _ (2)如圖，點A、B、C在O上

11、，ABOC，OAB = 25，則B = _ (3)如圖所示，AB是O的直徑，弦DC與AB相交于點E，若C = 40，則ABD = _ 練1-2.(1)如圖，AB是O的直徑，BC是O的弦若OCB = 60，則BAC = _ （2）如圖，ABC中，AB = AC，以AB為直徑的半圓交BC、AC于D、E，已知DE為40，則A =_ 例2.如圖，AB是O的直徑，點C、D在O上，B = 60，則ADC = _ (2)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A、B、C的度數(shù)之比為3: 4: 6，則D的度數(shù)為_ 練2-1.(1)如圖，已知AOC = 150，則ABC = （ ） A：105 B：120C：135 D：150

12、 (2)已知A、B、C為O上三點，AOB = 60，則ACB = _ 練2-2.(1)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A、B、C的度數(shù)之比為2: 3: 7，則D的度數(shù)為_(2)已知A、B、C為O上三點，AOC = 120，則ABC = _ 例3.如圖，正方形ABCD的外接圓為O，點P在劣弧CD上（不與C點重合）. （1）求BPC的度數(shù)； （2）若O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長. 練3-1.如圖，正方形ABCD的外接圓為O，點P在劣弧AD上（不與A、D點重合）若O的半徑為1，則的值為（ ） A：2 B：4 C：6 D：8 練3-2.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑為4的O，則三角形ABC的邊長為（

13、 ） A：B：4 C：D：6【知識點二】弧弦角距的關(guān)系數(shù)學來源于生活想一想，茶杯的蓋子為什么要做成圓的呢？答案：由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，旋轉(zhuǎn)蓋子任意角度后還和原來一樣.思考：進一步，在同圓中，兩個相等的圓心角所對的兩段弧、弦有什么關(guān)系？如圖，由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，若兩個圓心角相等，則這兩個角所對的兩段弧相等，兩條弦也相等.過點0分別作AB、CD的垂線段，則稱這兩條垂線段的長度為弦AB、CD對應(yīng)的弦心距. 易知弦心距也相等.事實上，同圓或等圓中，這五者：圓心角相等 弧相等 弦相等 圓周角相等 弦心距相等 知一得四思考：想一想，圓的內(nèi)接四邊形若是梯形，則一定是等腰梯形么？為什么？例4.（1）如圖，在O中，A = 40，則B的度數(shù)為_ (2)已知六邊形ABCDEF是O的內(nèi)接六邊形，且AB = BC = CD，DE = EF = FA 求證：BAF = CDE = 120 練4-1.如圖，在O中，AOB = 40，則ADC的