高數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與極值（課堂PPT）

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第十八講2第九節(jié)一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值及其求法二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的單調(diào)性與極值 第二二章 3一、一、 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性若定理定理 1. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),證畢I 稱為單調(diào)遞增(遞減) 區(qū)間。4例例1. 確定函數(shù)31292)(23xxx

2、xf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12為駐點(diǎn)為駐點(diǎn)5yxo說明說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 6例例2 2 證明31tan0.32xxxx證：證：令331tan)(xxxxF

3、22( )sec1F xxx )(tan(tanxxxx令xxxg tan)(22( )sec1tan002g xxxx 0)0(tan)(gxxxg0)(xF0)0()( FxF從而2031tan3xxxx成立22tan xx7例例3. 證明. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 則0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x時, )(x單調(diào)增加 , 從而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 證明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx時, 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?xxxxxarcsin1)

4、1ln()1 ()(2提示提示:8例例4 4 求證)1ln(arctan22xxx證法一：證法一：設(shè))1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(220)0()( fxf當(dāng)0 x時)(0)(xfxf0)0()( fxf0)0()( fxf當(dāng)0 x時0)(xf綜上可知，無論x為什么值，總有)1ln(arctan22xxx則不等式成立。當(dāng)0 x時)(0)(xfxf9例例4 4 求證求證)1ln(arctan22xxx證法證法2：設(shè))1ln(arctan2)(2xxxxf0)0(fxxxxxxxfarctan21212arctan2)(22

5、0)(xfarctan則無論x為什么值，總有)1ln(arctan22xxx則不等式成立對 f (x) 在 0 與 x 之間應(yīng)用拉格朗日中值定理，有xxxxarctan2)1ln(arctan22式中在 0 與 x 之間，由于與 x 同號，10例例5 5 證明1( )(1)xf xx(0,)1ln( )ln(1)ln(1)ln f xxxxxx11( )(1) ln(1)ln,1xfxxxxx( )lntt ,1tx x1ln(1)ln, 01xxxx111ln(1)ln0,11xxxx0 x ( )0fx1( )(1)xf xx(0,)在證明證明令 在上利用拉格朗日中值定理得故當(dāng)時，從而 在

6、內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。此函數(shù)為冪指函數(shù)，兩邊取對數(shù)11例例5 證明方程2xxe在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個實(shí)根。證明證明： 設(shè) 2xxexf在區(qū)間0,1 上連續(xù)， 020f 021ef由零點(diǎn)定理，,1 , 0使 0f即2xxe的根存在。又 01xexfx xf單調(diào)增加。 xf的圖形至多與 x軸有一個交點(diǎn)，所以方程僅有唯一解。12二、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法定義定義:,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個鄰域若存在0 x在其中當(dāng)0 xx 時, )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大點(diǎn)極大點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf,

7、 )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .13注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點(diǎn)52,xx為極小點(diǎn)3x不是極值點(diǎn)2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如 (P146例例4)1x為極大點(diǎn) , 2) 1 (f是極大值; 1)2(f是極小值 .2x為極小點(diǎn) , 12xoy1214定理定理2 2（極值存在的必要條件）( )0.fx0()0fx( )yf x如果在x0處可導(dǎo)，且在x0處

8、取得極值，則（證明略）使的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)。( )yf x定理2告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)未必是極值點(diǎn)。 尋求函數(shù)的極值點(diǎn)首先要找( )yf x的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)的點(diǎn)，再判斷其是否為極值點(diǎn)。15定理定理 3 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時由小到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負(fù)負(fù)右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf(自證)點(diǎn)擊圖中任意處動畫播放暫停x)(xf )(xf0 xx 0 xx 0 x0 )(0 xf為極小值0 x為極小點(diǎn)如：

9、16例例1. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值 .解解: 1) 求導(dǎo)數(shù)235( )3fxx1323x35235xx2) 求極值可疑點(diǎn)令,0)( xf得;521x令,)( xf得20.x 3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大點(diǎn)， 其極大值為0)0(f是極小點(diǎn)， 其極小值為52x33. 0)(52f17定理定理4 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點(diǎn) 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點(diǎn) 取極小值 .)

10、(xf0 x證證: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00時當(dāng)xx0)(0 xxxf時，故當(dāng)00 xxx;0)( xf時，當(dāng)00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判別法知.)(0取極大值在xxf(2) 類似可證 .18例例2. 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解: 1) 求導(dǎo)數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點(diǎn)令,0)( xf得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx3) 判別因,06)0( f故 為極小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一

11、判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy119試問 為何值時,axxaxf3sin31sin)(32x在時取得極值 ,解解: )(xf由題意應(yīng)有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得極大值為3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0并求出該極值。指出它是極大還是極小，例例31)21( a12a20內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減2. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn) : 使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2)

12、 第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負(fù)負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負(fù)負(fù)變正正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf21思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1)()()(lim2axafxfax則在點(diǎn) a 處( ).)()(xfA的導(dǎo)數(shù)存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值 ;)()(xfC取得極小值;)()(xfD的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示: 利用極限的保號性 .222. 設(shè))(xf在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx則在點(diǎn)0 x處).(

13、)(xf(A) 不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo), 且;0)0( f(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示提示: 利用極限的保號性 .,2)(lim0 xxfx233. 設(shè))(xfy 是方程042 yyy的一個解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf則)(xf在)(0 x(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示提示:,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 24作業(yè)作業(yè)P149 1（1）（2）；2；3 (2)(4) ; 4 ；5(2), (3) (6); 6；7；8.25思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1 ,0上

14、,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(xf 單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 設(shè)在26 .),(21)1,(2121e2. 曲線21xey的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e ; ;274、設(shè)函數(shù)( )yy x3222221yyxyx( )yy x223xyyxyy 0y yx1xy11021y xy( )yy x1x 1.y 由方程所確定，求的極值。