第三章-格林函數(shù)法

1、若已知點(diǎn)電荷(點(diǎn)點(diǎn)源源)產(chǎn)生的場(chǎng)(邊邊界無(wú)限遠(yuǎn)界無(wú)限遠(yuǎn),無(wú)初始無(wú)初始條件）條件）qU任意帶電體(任意任意源源)產(chǎn)生的場(chǎng)(邊邊界無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)初界無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)初始條件）始條件）QqVU=dU積分得到若能求出某一點(diǎn)源在給定初始和給定初始和邊界條件邊界條件下產(chǎn)生的場(chǎng)任意源在相同初相同初始和邊界條件始和邊界條件下產(chǎn)生的場(chǎng) 格林函數(shù)，又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理方程中的一個(gè)重要概念，也是求解各類定解問題的另一種常用方法。 積分得到：代表一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng)格林函數(shù)格林函數(shù)5.1 泊松方程的格林函數(shù)法泊松方程的格林函數(shù)法1. 邊值問題的提法邊值問題的提法 第一邊值問題（狄里希利問題）

2、 求一函數(shù)，使之在區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程或拉普拉斯方程，且在邊界上取已知值。 u rf ru rr 第二邊值問題（諾伊曼問題） 求一函數(shù)，使之在區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程或拉普拉斯方程，在邊界上對(duì)外法線方向的導(dǎo)數(shù)取已知值。 u rf ru rrn 第三邊值問題（洛平問題） 求一函數(shù)，使之在區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程或拉普拉斯方程，在邊界上其本身和對(duì)邊界外法向?qū)?shù)的線性組合取已知值。 u rf ruurn2. 格林公式格林公式Tvuu vv u dVuvdSnn 上述定解問題，都是要求在區(qū)域內(nèi)部求解，故又稱為內(nèi)問題；若在區(qū)域外部求解，則稱為外問題。 在閉域 上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，在 內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則有（ 為外法

3、線方向） , , ,u x y zv x y zT Tnd()dddSTTTuuVuVuVvvvv上式稱為上式稱為第一格林公式第一格林公式上式稱為上式稱為第二格林公式，簡(jiǎn)稱格林公式第二格林公式，簡(jiǎn)稱格林公式 u rf ruurn3. 泊松方程的基本積分公式泊松方程的基本積分公式 典型的泊松方程( 三維穩(wěn)定分布）邊值問題為了求解上面定解問題，我們必須定義一個(gè)與此定解問題相應(yīng)的為了求解上面定解問題，我們必須定義一個(gè)與此定解問題相應(yīng)的格林函數(shù)格林函數(shù) 0( ,)r rG它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件： 格林函數(shù)的引入( ,)

4、()000r rrrGGGn()0rr代表三維空間變量的代表三維空間變量的 函數(shù)函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中其形式為，在直角坐標(biāo)系中其形式為 0000()() () ()xxyyzzrr格林函數(shù)具有十分格林函數(shù)具有十分明確的物理意義：明確的物理意義： 位于 處且電量為 的點(diǎn)電荷在接地的導(dǎo)體殼內(nèi) 處所產(chǎn)生的電勢(shì)。由此可以進(jìn)一步理解通常人們?yōu)槭裁捶Q格林函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù) 0r0r0q 0rro 格林函數(shù)的對(duì)稱性0,G r r 處的點(diǎn)源在點(diǎn) 處產(chǎn)生的場(chǎng) 0rr00;,G r rG r r 00G,rrrr 函數(shù)性質(zhì) 0,G r r 處的點(diǎn)源在點(diǎn) 處產(chǎn)生的場(chǎng) r0r場(chǎng)相同格林函數(shù)具有對(duì)稱性格林函數(shù)具有對(duì)稱性 對(duì)稱

5、性在電學(xué)上的意義： 處單位點(diǎn)電荷在 處產(chǎn)生的電勢(shì)等于 處單位點(diǎn)電荷在 0rr處產(chǎn)生的電勢(shì) r0r根據(jù)格林公式，根據(jù)格林公式，令令0( ,)Gr rv得到得到 ( )( ( ) d( ( )( )dTGuuGSuGG uVnrrrrn0( ) d( )( )d( ( )( ) ()drrrrrrrTTuGGuSG uuGVnGfuVn即為即為根據(jù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)有函數(shù)性質(zhì)有： 00( ) ()d( )TuVurrrr可得如下泊松方程的基本積分公式泊松方程的基本積分公式 0Tuvu rvfdVvudSnn 0TGuu ruGdSGfdVnn即即由格林函數(shù)的對(duì)稱性可得由格林函數(shù)的對(duì)稱性可得 000000

6、0000( ,)( )( ,) ( )d ( )( ,)dr rr )rr rrrr rTGuuGfVuGSnn 解的基本思想解的基本思想：通過上面解的形式，我們?nèi)菀子^察出引通過上面解的形式，我們?nèi)菀子^察出引用格林函數(shù)的目的：主要就是為了使一個(gè)非齊次方程與任意邊用格林函數(shù)的目的：主要就是為了使一個(gè)非齊次方程與任意邊值問題所構(gòu)成的定解問題轉(zhuǎn)化為求解值問題所構(gòu)成的定解問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)特定的邊值問題一個(gè)特定的邊值問題， 一一般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本積分公式可求得般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本積分公式可求得定解問題的解定解問題的解 u rf ru rr 0TGuu ruGd

7、SGfdVnn分析： 只須消掉公式中的 項(xiàng)即可得到結(jié)果。 nu3.第一邊值問題格林函數(shù)第一邊值問題格林函數(shù)相應(yīng)的格林函數(shù)相應(yīng)的格林函數(shù)0( ,)G r r是下列問題的解是下列問題的解： 0000;,;0 G r rrrr rG r rT 000;TG r ru rrdSG r rf r dVn 000G r;rG r;rrlSu rrdlfdSn 二維時(shí) 0000000G r;rrG r;rrlSu rdlfdSn 000000,TG r ru rrdSG r rf rdVn 二維時(shí) 由格林函數(shù)的對(duì)稱性可得由格林函數(shù)的對(duì)稱性可得 上式為第一邊值問題解的積分表示式上式為第一邊值問題解的積分表示式

8、5.2 用電像法求格林函數(shù)法用電像法求格林函數(shù)法1. 無(wú)界空間的格林函數(shù)無(wú)界空間的格林函數(shù) 基本解基本解 求出對(duì)應(yīng)的格林函數(shù) 為求解泊松方程 利用解的積分表達(dá)式 必須解一個(gè)特殊的泊松方程邊值問題 為求格林函數(shù) 對(duì)一般形狀區(qū)域，要解決這個(gè)特殊的泊松方程邊值問題也十分困難，但由于滿足的邊值問題具有同一性，難度相對(duì)原問題也有一定程度降低，特別是對(duì)泊松方程狄利克雷問題其格林函數(shù)又有十分明確的物理圖像，因此該做法仍具有重要而積極意義。不僅如此，對(duì)若干特殊形狀區(qū)域，還可用初等方法求出，從而能夠解決該區(qū)域上的所有泊松方程的狄利克雷問題。 對(duì)狄利克雷問題的格林函數(shù)應(yīng)滿足： 000;0G r rrrG r r

9、令 代入上述定解問題有 01GGG010010GGrrGG1100GGG 00Grr再令 （在區(qū)域內(nèi)）顯然沒有考慮邊界的影響（或者說對(duì)應(yīng)著無(wú)界空間）注意 表示點(diǎn) 處的源對(duì)點(diǎn) 處的直接影響， 表示點(diǎn) 處的源對(duì)點(diǎn) 處（通過邊界）的間接影響。0G0rr1G0rr 若認(rèn)為若認(rèn)為 、 是由點(diǎn)電荷是由點(diǎn)電荷 、 產(chǎn)生的電勢(shì)產(chǎn)生的電勢(shì)，則由，則由它們滿足的方程可知：它們滿足的方程可知： 是所研究區(qū)域內(nèi)是所研究區(qū)域內(nèi) 處的點(diǎn)電荷處的點(diǎn)電荷 在在所研究區(qū)域內(nèi)所研究區(qū)域內(nèi) 處產(chǎn)生的、且不計(jì)任何邊界或初始條件的電處產(chǎn)生的、且不計(jì)任何邊界或初始條件的電勢(shì)；勢(shì)； 則應(yīng)為點(diǎn)電荷則應(yīng)為點(diǎn)電荷 在邊界上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的等效點(diǎn)

10、電荷在邊界上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的等效點(diǎn)電荷 （電量未知，位置（電量未知，位置 應(yīng)在所研究區(qū)域之外）在所研究區(qū)域應(yīng)在所研究區(qū)域之外）在所研究區(qū)域內(nèi)內(nèi) 處產(chǎn)生的并滿足一定邊界條件的電勢(shì)。處產(chǎn)生的并滿足一定邊界條件的電勢(shì)。0G1G10q 2q0G0rr1q1G1q2qr1r稱為相應(yīng)方程的基本解基本解（即無(wú)界空間的格林函數(shù)） 00r;rG 二維空間： 00011lnc2rrG 三維空間： 0000000q14rr4rr4rrG 1100GGG 2. 電像法求特殊區(qū)域的格林函數(shù)電像法求特殊區(qū)域的格林函數(shù) 根據(jù)格林函數(shù)的物理意義，利用電磁學(xué)中關(guān)于計(jì)算點(diǎn)電荷電勢(shì)的知識(shí)，針對(duì)特殊區(qū)域的具體形式，再結(jié)合幾何、數(shù)學(xué)有

11、關(guān)內(nèi)容，就可求得相應(yīng)的格林函數(shù)，從而解決該區(qū)域上泊松方程的邊值問題。這即是所謂的電像法。思路：例1 試求球內(nèi)的泊松方程的狄利克雷問題的格林函數(shù)。解： 該定解問題為三維，其基本解為 0014rrG 1G則滿足 011rRrR00rR1GG4RrG OR0r0M1MPMr 設(shè)產(chǎn)生 的等效點(diǎn)電荷電量 、位置 （在 的延長(zhǎng)線上且在球形區(qū)域以外，這樣方程自然滿足）1Gq1r0r010q14Rr4Rr101q4rrG因此： 11000RrPMqPMRr則11rOMOR0r0M1MPMr1000PMqRPMr1rR00Rqr21020Rrrr選取 使得 11Mr10OPMOPM01001000010011q

12、G=G +G4rr4rrRr114rr4rr4rr4rrRr 球形區(qū)域格林球形區(qū)域格林函數(shù)表達(dá)式；函數(shù)表達(dá)式；區(qū)域形狀不同區(qū)域形狀不同其格林函數(shù)也其格林函數(shù)也會(huì)有所不同會(huì)有所不同00200020Rr14rrR4rrr 2000201R14rrrR4rrr 0000000G r;rrG r;rrlSu rdlfdSn 000000;TG r ru rrdSG r rf rdVn 0014rrG 00011lnc2rrG 1100GGG OR0r0M1MPMr例2 試求解球內(nèi)的泊松方程的狄利克雷問題 3r Ru0rRuf, 解： 000rxyz000000ksincosi+sinsinj+cosk

13、ksincos i+sinsinj+cos k 、 在球坐標(biāo)系中單位矢量分別為 0rr設(shè) 的球坐標(biāo)為 00,MrM r 000, ,rr 11rOM0coskk000coscossinsincos球的拉普拉斯方程的狄利克雷問題的格林函數(shù)由例1得： 0011RG=4rr4 r rr00rRG=r0rRGn00001rR11R4rrrr rr 0kk0rr02222000011rR11R4rrr2rr cosrrr2rr cos 0222 24200000rR11R4rrr2rr cosr rR2R rr cos 0220033222 2420000rRR r rrR cosrrcos14rr2r

14、r cosr rR2R rr cos 2233222243R r RrR cos1Rrcos4rR2rRcosr RR2R rcos 223221Rr4RrR2rRcos最后得00000G r;rr, ,f,Sudn 22200000300222R Rrf,dsin4R +r2rRcosd 2220000032221Rrf,R sind4R +r2rRcosdR 02000000G r;rf,R sinddn 例3 試求圓的泊松方程的狄利克雷問題的格林函數(shù)。解： 圓的泊松方程的狄利克雷問題的基本解 00011lnc2rrG 應(yīng)滿足： 1G1100r Rr R00rR11GGlnc2RrG 設(shè)產(chǎn)

15、生 的等效點(diǎn)電荷電量 、位置 （在 的延長(zhǎng)線上且在圓形區(qū)域以外，這樣方程自然滿足）1G0q=1r0rOR0r0M1MPMrOR0r0M1MPMr則： 11111lnc2rrG10101111lnclnc22RrRr1100R r1ccln2R r仍選取 使得 11Mr10OPMOPM可得： 11000Rr11Rcclnln22rRr21020R,rrr最后得：20002011111Rlnlnln2rr22rRrrr 0101011111RG=G +Glnlnln2rr2rr2r 注意：這只是二維空間中圓形區(qū)域圓形區(qū)域的格林函數(shù)表達(dá)式例4 求解圓內(nèi)拉普拉斯方程狄利克雷問題 2r Ru0rRu 解

16、：由例3，圓內(nèi)泊松方程狄利克雷問題的格林函數(shù)為： 001111R1G=lnln2rr2rrr22000220110-11=ln2rr2rr cos1R1ln2rrr2rr cos0rr022000224200011ln2rr2rr cos1Rln2r rR2R rr cos 00rR0rRGG=nr22202420000000rR1Rln2rr rR2R rr cos1lnrr2rr cos222201Rr2 R Rr2rRcos 000f r =0 ,dlRd 0000G r;rlu rdln 222002200Rrd2R2Rrcos-+r 0000000G r;rrG r;rrlSu rdlfdSn 例5 在半平面內(nèi)求解邊值問題 2y 0u0y 0ux解： 在 處放置一點(diǎn)電荷 000Mx ,y0q=-其在 處產(chǎn)生的電勢(shì)（基本解）為 M x,yO000Mx ,y100Mx , yM x,y00011lnc2rrG 0220011lnc2xxy-y 在 處放置一點(diǎn)電荷 100Mx , y0q=其在 處產(chǎn)生的電勢(shì)為 M x,y在邊界 ： y010y 0y 0GG 11111lnc2rrG1220011lnc2xxy+yO000Mx ,y100Mx , yM x,y102222001111lncln