二次函數(shù)的實際的應(yīng)用之利潤最大值、面積最值問題

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案二次函數(shù)的實際應(yīng)用一一最大利潤問題、面積最大(小)值問題4aC-b,如果自變量的4a一：最大利潤問題知識要點：二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2,bxc(a=0)化成頂點式y(tǒng)=a(x)22a取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)即當(dāng)a>0時，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)x=-2，y最小值=4*b;2a4axiExWx2內(nèi)，則當(dāng)當(dāng)a<0時，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)如果自變量的取值范圍是x1b4ac-bx=一,y最大值=-2a4a<x<x2,如果頂點在自變量的取值范圍4acbx=_2,y最值a。b,如果頂點不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減2a

2、4a性；如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=x2時，y最大=ax2+bx2+c,當(dāng)x=x1時,y最小=ax；+bx+c;如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=x1時，y最大=ax12十bx1+c,當(dāng)x=x2時,y最小=ax2+bx2+c.商品定價一類利潤計算公式：經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)據(jù)：商品進(jìn)價；商品售價；商品銷售量；漲價或降價；銷售量變化；其他成本?？偫麧?總售價-總進(jìn)價-其他成本=單位商品利潤x總銷售量一其他成本單位商品利潤=商品定價一商品進(jìn)價總售價=商品定價X總銷售量；總進(jìn)價=商品進(jìn)價X總銷售量例1：某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子廠品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(萬

3、件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2x+100.(利潤=售價-制造成本)(1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得3502萬元的利潤？當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？解：(1)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1800,；門方心J.z與x之間的函數(shù)解析式為z=-2x2+136x-180

4、0;511/T(2)由2=350，得350=-2x2+136x-1800,解這個方程得x1=25,x2=431/所以，銷售單價定為25元或43元，將z=-2x2+136x-1800配方，得z=-2(x-34)2+512,因此，當(dāng)銷售單價為34元時，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元；/一(3)結(jié)合(2)及函數(shù)z=-2x2+136x-1800的圖象(如圖所示)可知，“加"''當(dāng)25<xW43時z>350,精彩文檔又由限價32元，得25<x<32,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y=-2x+100中y隨x的增大而減小，當(dāng)x=32時，每月制造成本最低最低

5、成本是18X(-2>32+100)=648(萬元)，因此，所求每月最低制造成本為648萬元.練習(xí):1.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？解：設(shè)漲價(或降價)為每件x元，利潤為y元，y為漲價時的利潤，y為降價時的利潤則:y1=(60-40x)(300-10x)=-10(x2-10x-600)-10(x-5)26250當(dāng)x=5,即：定價為65元時，ymax=6250(元)maxy2=(60-40-x)(30020x)=-20(x-20)(x15

6、)一一2一-20(x-2.5)6125當(dāng)x=2.5,即：定價為57.5元時，ymax=6125(元)綜合兩種情況，應(yīng)定價為65元時，利潤最大.例2:市健益”超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30?元/千克銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y(千克)?與銷售單價x(元)(x>30)存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式.試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，？現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于30kb=40040kb=200-20

7、b-1000t火千克O1020304050打元4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍(?直接寫出答案).解：設(shè)y=kx+b由圖象可知，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-20x+1000(30<x<50).P=(x-20)y=(x-20)(-20x1000)=-20x2140)0-20000a=-20<0P有最大值.1400當(dāng)x=35時，Pmax=4500(兀)2(-20)(或通過配方，P=-20(x-35)2+4500,也可求得最大值)答：當(dāng)銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元.4180-20(x-35)24500<448021三(x-35)三1

8、631W9W3賊36<x<39練習(xí)2.某公司投資700萬元購甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)和設(shè)備后，進(jìn)行這兩種產(chǎn)品加工.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件還需成本費30元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件還需成本費20元.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)實用標(biāo)準(zhǔn)文案現(xiàn)：甲種產(chǎn)品的銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），當(dāng)35今50時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20-0.2x;當(dāng)50今70時，y與x的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，乙種產(chǎn)品的銷售單價，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩(wěn)定在10萬件.物價部門規(guī)定這兩種產(chǎn)品的銷售單價之和為90元.（1）當(dāng)50今M0時，求出甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）若公

9、司第一年的年銷售量利潤（年銷售利潤=年銷售收入-生產(chǎn)成本）為W（萬元），那么怎樣定價，可使第一年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少？（3）第二年公司可重新對產(chǎn)品進(jìn)行定價，在（2）的條件下，并要求甲種產(chǎn)品的銷售單價x（元）在50今M0范圍內(nèi)，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤之和-投資成本）不低于85萬元.請直接寫出第二年乙種產(chǎn)品的銷售單價m（元）的范圍.個式萬件）解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(kw。,.函數(shù)圖象經(jīng)過點(50,10),(70,8),：50k+b=10.J0k+b=8,k=-0.1解得b=15,所以，y=0.1x+15；（2）乙種產(chǎn)品

10、的銷售單價在25元（含）到45元（含）之間,90-x>2590-X45,解之得45&x&45450式50時，W=(x-30)(20-0.2x)+10(90x20),=-0.2x2+16x+100,=-0.2(x2-80x+1600)+320+100,=-0.2(x-40)2+420,v-0.2<0, .x>40時，W隨x的增大而減小， 當(dāng)x=45時，W有最大值，W最大=-0.2(45-40)2+420=415萬元；500x&65,W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20),=-0.1x2+8x+250,=-0.1(x2-80x+160

11、0)+160+250,=-0.1(x-40)2+410,v-0.1<0, .x>40時,W隨x的增大而減小， 當(dāng)x=50時，W有最大值，W最大=-0.1(50-40)2+410=400萬元.綜上所述，當(dāng)x=45,即甲、乙兩種產(chǎn)品定價均為45元時，第一年的年銷售利潤最大,最大年銷售利潤是415萬元；(3)根據(jù)題意得，W=-0.1x2+8x+250+415-700=-0.1x2+8x-35,令W=85,貝卜0.1x2+8x-35=85,解得x1=20,x2=60.又由題意知，50&x065根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分析，50<x<60IP50<90-mC60,a30<

12、mC40二、面積最大（最?。┲祮栴}實際問題中圖形面積的最值問題分析思路為:精彩文檔(1)分析圖形的成因(2)識別圖形的形狀(3)找出圖形面積的計算方法(4)把計算中要用到的所有線段用未知數(shù)表示(5)把線段長度代入計算方法形成圖形面積的函數(shù)解析式，注意自變量的取值范圍(6)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出面積的最值。例1：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備米寬的門(木質(zhì)).花圃的長與寬如何在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個設(shè)計

13、才能使花圃的面積最大？解：設(shè)花圃的寬為X米，面積為S平方米則長為：32-4x+2=344x(米)則：S=x(34-4x).2一.-4x34x/17、2289-4(x)-44.0:二34-4x<10f176x2.17公<6,4S與x的二次函數(shù)的頂點不在自變量x的范圍內(nèi),而當(dāng)6Mx17,<一內(nèi)，S隨x的增大而減小,217c289，當(dāng)x=6時，Smax=T(6)+=60(平方米)44答：可設(shè)計成寬6米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大.練習(xí)1在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以

14、2cm/s的速度移動，如果P、Q兩點同時出發(fā)，分別到達(dá)B、C兩點后就停止移動.(1)運動第t秒時，PBQ的面積y(cm2)是多少？(2)此時五邊形APQCD的面積是S(cm?,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.(3) t為何值時s最小，最小值時多少？1 ,、,(1)y=一(6-t)2t=T2+6t2(2)S=6M12-(-t2+6t)=t2-6t+72(0<t<6)(3)S=(t-3)263，當(dāng)t=3寸；S有最小值等于63例2.如圖，把一張長10cm,寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計)實用標(biāo)準(zhǔn)文案(

15、1)要使長方體盒子的底面積為48cm2,那么剪去的正方形的邊長為多少？(2)你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；(3)如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由.解：(1)設(shè)正方形的邊長為工cm,則(10-2(8-2打二48即1-"0解得網(wǎng)=8(不合題意，舍去)，&二1.,剪去的正方形的邊長為1cm.(2)有側(cè)面積最大的情況

16、.設(shè)正方形的邊長為工cm,盒子的側(cè)面積為ycm2,則y與X的函數(shù)關(guān)系式為：y=2(10-2z)x+2(8-2x)x-即"-8/+36工-/9丫81改寫為y=彳一一+.(4J2:當(dāng)i=225時，加=405即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時,長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2.(3)有側(cè)面積最大的情況.設(shè)正方形的邊長為cm,盒子的側(cè)面積為ycm2.若按圖1所示的方法剪折，則與X的函數(shù)關(guān)系式為:10-2xy:2(8-2x)x2x(13?169即y=61十.I16r13當(dāng)工二”時，外大1696若按圖2所示的方法剪折,則與I的函數(shù)關(guān)系式為:精彩文檔y=2(10-2x)x+2822Xx-

17、984.3比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形7兆的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm2.33例3、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三點，其頂點為D,對稱軸是直線l,l與x軸交于點H.(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求PBC周長的最小值；(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合),過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F,交x軸于點G,設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m,4ADF的面積為S.求S與m的函數(shù)關(guān)系式；S是否存在最

18、大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.a+b+c=O解：(1)由題意可知：,9a-3b+c=0lc=3a=-1解得：二-2Lc=3拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3;(2).PBC的周長為:PB+PC+BC.BC是定值， 當(dāng)PB+PC最小時，4PBC的周長最小，點A、點B關(guān)于對稱軸I對稱，連接AC交l于點P,即點P為所求的點vAP=BPPBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.A(-30),B(1,0),C(0,3),L.AC=3V2,BC=V10;故PBC周長的最小值為3瓶+/歷.(3);拋物線y=-x2-2x+3頂點D的坐標(biāo)為(-1,4) .A(-3,0).直線AD的解析式為y=2x+6丁點E的橫坐標(biāo)為m,E(m,2m+6),F(m,m22m+3) .EF=-m2-2m+3-(2m+6)=-m2-4m-3S=Sadef+Saaef=EF?GH+EF?AG=EF?AH222=1(-m2-4m-3)>2=-m2-4m-3;S=-m2-4m-3=-(m+2)2+1； 當(dāng)m=-2時，S最大，最大值為1此時點E的坐標(biāo)為(-2,2).實用標(biāo)準(zhǔn)文案練習(xí)2如圖，已知