二面角習題及答案

1、1.如圖三棱錐二面角P-ABC中，PC，平面ABC,PC=2,3邊長為2的正三角形，求二面角P-ABC的大小。解,D是BC的中點，且ADC是2.如圖在三棱錐S-ABC中，SAL底面ABC,AB±BC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E,又SA=AB,BS=BC,解：3.如圖：ABCD是矩形，AB=8,BC=4,AC與BD相交于O點，P是平面ABCD外一點，POL面ABCD,PO=4,M解：是PC的中點，求二面角M-BD-C大小。且AB=BC=BD,ZABC=/DBC=1200,求4.如圖ABC與BCD所在平面垂直,二面角A-BD-C的余弦值。解：D6.如圖,AB=AC=&l

2、t;6,AD=4,求5.已知正方體AC',M、N分別是BB',DD'的中點，求截面AMC'N與面ABCD,CC'D'D所成的角。解:AC，面BCD,BD，面ACD,若AC=CD=1,/ABC=30°,求二面角CABD的大小。解：7.三棱錐A-BCD中，/BAC=/BCD=90°,/DBC=30面角A-BC-D的度數(shù)。9.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，ZA=60°,PC,平面ABCD,PC=a,E是PA的中點.(1)求證平面BDEL平面ABCD.(2)求點E到平面PBC的距離.(3)求二面角A-E

3、B-D的平面角大小.解析：-2-10.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別在棱AB、BC上，G在對角線BD1上，且AE=4,BF=2,D1G:GB=1:2,求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小.11.如圖，設ABC-A1B1C1是直三棱柱,=2a,AC=BC=73a.(1)求證：AF±A1C(2)求二面角CAFB的大小E、F分別為AB、A1B1的中點，且AB=2AA112如圖ABCDABC是長方體，ab=2,AAAD1,求二平面AB1C與AB1C1D1所成二面角的大小.13.在正方體ABCDAiBCiDi中，KBB,MCC1BK且-BB143CMC

4、Ci4.求：平面AKM與ABCD所成角的大小.14.如圖，將邊長為a的正三角形ABC按它的高AD為折痕折成一個二面角CADC.(1)若二面角CADC是直二面角，求CC的長；(2)求AC與平面CCD所成的角；(3)若二面角CADC的平面角為120°,求二面角ACCD的平面角的正切參考答案解：由已知條件，D是BC的中點CD=BD=2ADC是正三角形AD=CD=BD=2D是ABC之外心又在BC上AABC是以/BAC為直角的三角形，AB±AC,又PC上面ABCPAXAB（三垂線定理）/PAC即為二面角P-AB-C之平面角，易求/PAC=30°2、解：:BS=BC,又DE垂

5、直平分SCBEXSC,SCX面BDEBDXSC,又SAL面ABCSAXBD,BD，面SACBD±DE,且BDXDC則/EDC就是所要求的平面角設SA=AB=a,則BC=SB=72a且AC=<3易證SACDEC/CDE=/SAC=60°3、解：取OC之中點N,則MN/POPO±MABCDMN，面ABCD且MN=PO/2=2,過N作NRXBD于R,連MR,則/MRN即為二面角M-BD-C的平面角過C作CE，BD于S則RN=1CE在RtABCDA,22CDBC8CEBD,5RN4.5tanMRNMN.5RN25MRNarctan24.:過A作AECB的延長線于巳連

6、結(jié)DE,面ABC，面BCDAE，面BCDE點即為點A在面BCD內(nèi)的射影EBD為4ABD在面BCD內(nèi)的射影設AB=a貝UAE=DE=ABsin60°6AD=cosABD2sin/ABD=5.SABDSBDEcos:設邊長為a,且MN=V2a,S口AMC'N=2_J54.152a81又BE-a21.3SBDESABD1a-a2-32一a8易證ANC'NA'C=3a1MNAC'2是菱形由于AMC'N在面ABCD上的射影即為正方形ABCDc2SOABCD=acos1,61arccos3取CC'的中點M',連結(jié)DM'則平行四邊形D

7、M'C'N是四邊形AMC'N在CC'D'D上的射影,S口DM'C'M12-acos22,62a2.62arccos66.解：作DFXAB于F,CEXAB于E,AC=CD=1/ABC=30AD=炎,BC=V3AB=2,BD=.2在RtAABC中,CEACBC1.3ABEFCBD同理DFADBDABBF,BD2DF2AE.AC2CE2EFCD2CE2DF2EF22EFDFcoscos即所求角的大小為.3arccos。37、解：由已知條件/BAC=90°,AB=AC,設BC的中點設為O,則OA=OC=J3BC=23oo3DCBCtan

8、302323AD2AO2OC2CD22AOCDcos解之得：1cos21509、解析：(1)設O是AC,BD的交點，連結(jié)EO. .ABCD是菱形，O是AC、BD的中點， E是PA的中點，EO/PC,又PC,平面ABCD, .EOL平面ABCD,EO平面BDE,平面BDE，平面ABCD.(2)EO/PC,PC平面PBC, .EO/平面PBC,于是點O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作OFBC于F,.EO,平面ABCD,EO/PC,PC平面PBC,平面PBC,平面ABCD,于是OF,平面PBC,OF的長等于O到平面PBC的距離.aa2_32_3'3由條件可知，OB=2,OF=2

9、x2=4a,則點E到平面PBC的距離為4a.(3)過O作OGEB于G,連接AG-.OEXAC,BDXAC.AC，平面BDE .AG，EB(三垂線定理)./AGO是二面角A-EB-D的平面角11世OEOB、.31-，OE=2pc=2a,OB=2a.EB=a.，OG=EB=4a又AO=2a.AO231 .tanZAGO=OG=3AGO=arctan3評析本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點到面距離，及二面角的求法,三垂線定理及逆定理的應用.10、設G在底面ABCD上的射影為H,HCBD,GHGB2麗=誦=32GH=3作HM，EF于M,連GM,由三垂線定理知GM±EF,則/GM

10、H=0就是平面BFG與底GH面ABCD所成的二面角的平面角，tanQ=HM下面求HM的值.建立如圖所示的直角坐標系，據(jù)題設可知.121H(3,3)、e(4,0)、F(1,12)直線EF的方程為1-24-6133IHM|=*;42621x-y041cdi0i2 =4,即4x-6y-1=0.由點到直線的距離公式可得1161326.134.134.13.tg0=3-11=11,0=arctg11.說明運用解析法來求HM的值是本例的巧妙所在.11、分析本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識解(1)-.AC=BC,E為AB中點，CEXAB又.ABCA1B1C1為直棱柱，CEXWAA1BB連結(jié)E

11、F,由于AB=2AA1 AA1FE為正方形 .AFXA1E,從而AFXA1C(2)設AF與A1E交于O,連結(jié)CO,由于AFXA1E,知AF，面CEA1丁/COE即為二面角C-AF-B的平面角 AB=2AA1=2a,AC=BC=3a.2a國<2a CE=2a,OE=2a,，tan/COE=2=2.，二面角CAFB的大小是arctan2.12、解析：:平面abcd/平面ABCQ1,.平面ARC與平面ABGD的交線為過點B1且平行于AC的直線.直線I就是二平面AB1C與ABGD1所成二面角的棱.又AA，平面ABCD,過A作ah于h,連z§ah.則AHA為二面角A1A的平面角.可tanAHA1求得52.因此所求角的大小為,、5arctan冗2或5arctan214、解析：1cccccDCDC-a(1)若CDC90,AC=a,2,CC(2)ADDC,a