不等式綜合問(wèn)題

1、不等式綜合問(wèn)題一、問(wèn)題背景不等式主要包括一元二次不等式、線性規(guī)劃、基本不等式，不等式綜合問(wèn)題既有不等式內(nèi)部知識(shí)的綜合，又有不等式與其他數(shù)學(xué)分支的交匯.二、常見的思想方法主要思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、化歸思想等.具體方法包括恒等變形、“換元法”、構(gòu)造函數(shù)方程等.三、范例24例1(1)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+3y+j=1。，則xy的取值范圍為24X(2)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2+3y+4=10,則的取值范圍為Xyy-814【答案】(1)1,-；(2)-.323x一【思路】利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于xy和的不等關(guān)系，通過(guò)解不等式求范圍.y解答(1)10=(x+f)+(2+3y)22.(x+f)(Z+3y)=

2、2j3xy+8+14,yxyxxy解得xy的取值范圍為1,8.3(2)10=(x+3y)+(5-17【答案】,5.".42+4)>2,i'(x+3y)(2+-)=2)叟十久+14,xyxyixyx,一14解得一的取值范圍為-,-.y23例2已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足OMIogzxlogy+log2z<1，且x+yE2z,則必宜z的取值范圍為xz-【思路】將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于一，一的二兀關(guān)系，構(gòu)造圖形解題.yyxzzx11三UV三2【解答】由條件得1三年七2,令三=U,2=V,則«,y2yyV1<2Ux-yV-1建立坐標(biāo)系UOV,則一y二可以看作點(diǎn)(U,V

3、)與(0,1)連線斜率.zU一、1,一17117-1兩個(gè)極限位置：一是直線與V=相切，一是過(guò)點(diǎn)(21二一1),U42則x二丫的取值范圍為J,5-、17,z42例3某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻，導(dǎo)致濃硫酸泄漏，對(duì)河水造成了污染.為減少對(duì)環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng)，及時(shí)向污染河道投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐漸溶化，水中的堿濃度f(wàn)(x)與時(shí)間x(小時(shí))的關(guān)系可近似地表示為：2-x-6-0_x：36x31f(x)=6x3，只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于-時(shí)，才能對(duì)污x31-3-x_66染產(chǎn)生有效的抑制作用.(1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？1.(

4、2)第一次投放1單位固體堿后，當(dāng)污染河道水中的堿濃度減少到-時(shí)，馬上再投放1個(gè)3單位的固體堿，設(shè)第二次投放后水中堿濃度為g(x)，求g(x)的函數(shù)表達(dá)式及水中堿濃度的最大值.(此時(shí)水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加)【思路】應(yīng)用問(wèn)題,【解答】依題意,依據(jù)題設(shè)條件建立不等關(guān)系，利用函數(shù)、不等式知識(shí)解決模型.0<x<33MxM6xx61或x1，解得1Ex<3或3<x£4,2-16x33.63即1MxM4.所以，能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間：4-1=3小時(shí).由知，x=4時(shí)第二次投入1單位固體堿，顯然g(x)的定義域?yàn)?<x<10x當(dāng)4<xW6時(shí)，第一

5、次投放1單位固體堿還有殘留，故gx=.1-三62-T6=11x_6(x4)+3_33x-1當(dāng)6<xW10時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無(wú)殘留，故當(dāng)6<xE7時(shí)，g(x)=2當(dāng)7<xM10時(shí)，g(x)=111x6§一§8x6所以g(x)=<35x3-6(x-4)66"(x-4)3x-45x=；6364_x_66<x<77<x_108x63-6-x-1當(dāng)4MxW6時(shí)，g(x)=-Gx1+)<-272,當(dāng)且僅當(dāng)33x-13x-1x=1+36e(4,6)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)6<xM10時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無(wú)殘留，5x-

6、165xg(x)=(+)單倜遞增；右7cxM10,g(x)=單調(diào)遞減，故26x-136g(x)max1=g(7)-2又(犯一2五)也2二口號(hào)>0,所以當(dāng)x=1+3后時(shí)，水中堿326610濃度的最大值為-2.2.3答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間為3小時(shí)；第一次投放1+3亞10小時(shí)后，水中堿濃度的達(dá)到取大值為2J2.3四、練習(xí)24題1(1)已知正頭數(shù)x,y滿足x+3y+=10,則xy的取值范圍為24x,(2)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+3y+=10,則一的取值氾圍為xyy一-8,“、14,【答案】(1)1；,一.323x一【思路】利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于xy和一的不等關(guān)系，

7、通過(guò)解不等式求范圍.y解答(1)10=(x+4)十(2+3y)22j(x+W)(Z+3y)=2/3xy十且+14,yx.yx,xy8,解得xy的取值氾圍為1,一.3(2)10=(x+3y)+(+)之2J(x+3y)(+，)=2I+14,xyxyxyx14解得一的取值范圍為-,-.y23題2已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足0Wlog2xlog?y+log2z<1,且x+yE2z,則x-yz的取值范圍為15-J17【答案】,5".42xz.【思路】將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于一，一的二兀關(guān)系，構(gòu)造圖形解題.yyxzzx1uv2【解答】由條件得1W等W2,*=U,2=V，則S,y2yyV1<2Ux

8、-yV-1建立坐標(biāo)系UOV,則1可以看作點(diǎn)(U,V)與(0,1)連線斜率.111兩個(gè)極限位置：一是直線與V='相切，一是過(guò)點(diǎn)(171二一1),U4，2則二二Y的取值范圍為1,517.z42題3某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發(fā)生側(cè)翻，導(dǎo)致濃硫酸泄漏，對(duì)河水造成了污染.為減少對(duì)環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應(yīng)，及時(shí)向污染河道投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐漸溶化，水中的堿濃度f(wàn)(x)與時(shí)間x(小時(shí))的關(guān)系可近似地表示為：1一時(shí)，才能對(duì)污32.二上0“3f(x)=6x3，只有當(dāng)污染河道水中堿的濃度不低于1-3-x-6,6染產(chǎn)生有效的抑制作用.(1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制

9、作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？1.(2)第一次投放1單位固體堿后，當(dāng)污染河道水中的堿濃度減少到一時(shí)，馬上再投放1個(gè)3單位的固體堿，設(shè)第二次投放后水中堿濃度為g(x)，求g(x)的函數(shù)表達(dá)式及水中堿濃度的最大值.(此時(shí)水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加)【思路】應(yīng)用問(wèn)題，依據(jù)題設(shè)條件建立不等關(guān)系，利用函數(shù)、不等式知識(shí)解決模型.0<x：3【解答】依題意，x61"6一丁飛-31-即1WxE4.所以，能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間:1，解得1Ex<3或3工xE4,>-341=3小時(shí).由知，x=4時(shí)第二次投入1單位固體堿，顯然g(x)的定義域?yàn)?<x<10當(dāng)4WxW6時(shí)，第一次投

10、放2-(x-4)11x(x-4)33-3-x-11單位固體堿還有殘留，故g(x)=.16；E10時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無(wú)殘留，故:xg(x)=2-<10時(shí),g(x)=1(x-4)6x-48x6一?(x-4)336x-15x1133x-14<x<6所以x66x-17：二x_10一10x-16當(dāng)4WxW6時(shí)，g(x)=-(+)33x-1x=1+3Ce(4,6)時(shí)等號(hào)成立；<-272,當(dāng)且僅當(dāng)3x-13x-1當(dāng)6<x<10時(shí)，第一次投放1單位固體堿已無(wú)殘留，若6<x<7，/5,x-1g(x)=-(261=g(7)=二25x)單倜遞增；右7cxM1

11、0,g(x)=單調(diào)遞減，故g(x)max36又("叱廿立二叵9二蓬A(yù)。，所以當(dāng)乂=1十3行時(shí)，水中堿濃度的最大值為-2J.3答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時(shí)間為3小時(shí)；第一次投放1+3J2小時(shí)后，水中堿濃度的達(dá)到最大值為-242.3五、練習(xí)解答1.【思路】利用二次函數(shù)、二次方程、一元二次不等式等相關(guān)結(jié)論進(jìn)行解題.，一，4由f(1)M4知，t=a+w4,8,a216a2,c所以a.c=a=L_2c4a2444t4(a)at2177因?yàn)間(t)=-在4,8遞增，所以值域?yàn)?即取大為.4t244g(4)=k-：二0依題意，g(-1)=k>0,故kw(14)，所以k

12、=2,f(x)=x2x+2wI,收).則g(2)=k>02L(J=f(x)+2在f(x)=4取得最小值為史.f(x)f(x)2228ab=1-c222(3)由a+b+c=1，a+b+c=1,貝Ud(a+b)(a+b)2,ab二二c-c2.a,b為方程x2(1c)x+c2c=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根,22_11-A=(c-1)-4(c-c)>0=>-<c<1.-/12c:ab=2c：1c=c二一因?yàn)閍>b>c,32(ca)(cb)0=3c-2c0=c：0,orc1一.一4、所以，一一<c<0,即a+b=1c=(1,),3377人212323.(4

13、)由f(1)=一得a+b+c=一，令x+=2x+2x+x=x=1,由f(x)<x+2x+一推得f(-1)&222223,2由f(x)孑2+1推得f(1)J,f(1)=223.勿馴證：-x+x+1Wx+2x+對(duì)xCR都成乂.,ab+c=3,2222525故2(a+c)=5,a+c=且b=1,.f(x)=ax2+x+(a)222521.依題,國(guó)：ax+x+(a)條+一對(duì)一切xCR成立，22.awl且=14(a1)(2a)wq得(2a3)2wqf(x)=-x2+x+1,2存在實(shí)數(shù)a=-,b=1,c=1,使得不等式：x2+l<(x)<x2+2x+-對(duì)一切xCR都成立.2222

14、.【思路】利用線性規(guī)劃知識(shí)與基本不等式或者幾何因素結(jié)合起來(lái)解題.'2xy+220【解答】(1)點(diǎn)P在平面區(qū)域x+y_2W0上,畫2y-1.0出可行域x2+(y+2)2=1上，那么|PQ|的最小值圓上的-一，1-r一一，點(diǎn)到直線y=的距離，即圓心(0,2)到直線21,一，y=_的距離減去半徑2作出可行域.(3)IOPIcoseOA-OP|OA|x2y,根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)易得,z=x2十y2表示點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方，其最大值為29.值的范圍為0坐.5(4)設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,-LbccosA=9由q=bcsinA=12,“4.八4A3,_tanA二一,sinA=,cosA=一，bc=15,355,sinB由=cosA=sinC根據(jù)余弦定理得,a=，b2+c2-2bccosA=4,AABC的周長(zhǎng)為a+b+c=12.-121-、由2S+bc=3x+4y+5z=12,所以x+y+z=+(2x+y),553x4y-12x之0,由線性規(guī)劃可得0WtW8,、.y之0一，.12,所以x+y+z的取值氾圍為,4.53思路】本題在建立函數(shù)模型后，要解決該模型，可以運(yùn)用函數(shù)知識(shí)或者基本不等式