濟(jì)南大學(xué)高等數(shù)學(xué)C一ch5學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1濟(jì)南大學(xué)濟(jì)南大學(xué)(dxu)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)C一一ch5第一頁，共73頁。例例: :xxcos)(sin .)()(,)()()()(:,的原函數(shù)的原函數(shù)為為稱稱或或有有上上若在區(qū)間若在區(qū)間xfxFdxxfxdFxfxFIxI 定義定義(dngy(dngy)：xCxcos)(sin 即：導(dǎo)數(shù)(do sh)等于f(x)的函數(shù)F(x)叫做f(x)的原函數(shù)。的原函數(shù)的原函數(shù)是是xxcossin的原函數(shù)的原函數(shù)是是xCxcossin 第1頁/共73頁第二頁，共73頁。原函數(shù)存在原函數(shù)存在(cnzi)(cnzi)定理：連續(xù)函數(shù)一定存在定理：連續(xù)函數(shù)一定存在(cnzi)(cnzi)原函數(shù)原函數(shù). .

2、 注注 必必存存在在原原函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)若若)(1xf.)()(),()(),()()()(),()(CxGxFxfxGxfxFxfCxFxfxF 則則若若的原函數(shù)，的原函數(shù)，都是都是則則即若即若 , 0)()()()()()( xfxfxGxFxGxF（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C 數(shù)數(shù)之之間間僅僅差差一一個個常常數(shù)數(shù)原原函函數(shù)數(shù)，且且每每兩兩個個原原函函就就有有無無窮窮多多個個有有一一個個原原函函數(shù)數(shù)若若)()(2xfxf.)()(CxGxF )()(xfxF 第2頁/共73頁第三頁，共73頁。任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函被積函數(shù)數(shù)不定積分不定積分(b (b dndn j fn) j

3、 fn)的的定義：定義：CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量 .)()(.)()()()(CxFdxxfxfCxFxfxF記記作作：的的不不定定積積分分為為，稱稱若注：要求 dxxf)(只需求出f(x)的一個原函數(shù)，再加 C 即可. 第3頁/共73頁第四頁，共73頁。例例1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解 例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx第4頁/共73頁第五頁，共73頁。 Cxxdxxx 222,2如如注注 :2 不不定定積積分分的的幾幾何何意意義義 是是函函數(shù)數(shù)； dxxf)(1一積分

4、一積分(jfn)曲線族曲線族 .3”運(yùn)運(yùn)算算關(guān)關(guān)系系：互互逆逆運(yùn)運(yùn)算算”與與“dxd dxxf)()1( dxxf)(2 ）（)(相相互互抵抵消消 )()(xfCxF )(差一常數(shù)差一常數(shù)Cxf )(第5頁/共73頁第六頁，共73頁。實(shí)例實(shí)例(sh(shll) xx 11.11Cxdxx 啟示啟示(qs(qsh)h)能否根據(jù)能否根據(jù)(gnj)(gnj)求導(dǎo)公式得出積求導(dǎo)公式得出積分公式？分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式. .)1( 第6頁/共73頁第七頁，共73頁。是是常常數(shù)數(shù)） k

5、Ckxkdx()1();1(1)2(1 Cxdxx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdx)3(;lnCx 第7頁/共73頁第八頁，共73頁。 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx 第8頁/共73頁第九頁，共73頁。例例3 求積分求積分.2dxxx 解：解：dxxx 2dxx 25Cx

6、125125.7227Cx 根據(jù)積分根據(jù)積分(jfn)(jfn)公式（公式（2 2）Cxdxx 11 第9頁/共73頁第十頁，共73頁。 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf設(shè)函數(shù)(hnsh)f(x)及 g(x)的原函數(shù)(hnsh)存在，則 dxxkf)()2(.)( dxxfk解：解：例例4 求積分求積分.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 第10頁/共73頁第十一頁，共73頁。解：解：例例4 求積分求積分.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113

7、xarctan3 xarcsin2 C 第11頁/共73頁第十二頁，共73頁。解解例例5 求積分求積分.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 第12頁/共73頁第十三頁，共73頁。解：解：例例6 求積分求積分.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明說明(shum(shumng)ng)：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形變形(bin xng)(bin xng)，才能使用基本積，才能

8、使用基本積分表分表. .第13頁/共73頁第十四頁，共73頁。函數(shù)函數(shù)xx2sin;2cos21 是否都是函數(shù)是否都是函數(shù)x2sin的原函數(shù)的原函數(shù)?解解答答(jid)xxxx2sin)2(2sin21)2cos21( xxxx2sin)(sinsin2)(sin2 所以所以(suy)都是都是函數(shù)函數(shù)x2sin的原函數(shù)的原函數(shù)第14頁/共73頁第十五頁，共73頁。cxdxx sincos解解答答(jid)xx2cos2)2(sin cxxdx sincos因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)cxdxx 2sin2cos?積分(jfn)變量統(tǒng)一 dxxx21coscxdxx 2sin2cos2第15頁/共73

9、頁第十六頁，共73頁。已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的切處的切線斜率為線斜率為xxx22sincos2cos, ,且此曲線與且此曲線與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為)0 ,4( , ,求此曲線的方程求此曲線的方程. . 第16頁/共73頁第十七頁，共73頁。解：解：.tancotCxx , 0)4( y, 2 C所求曲線所求曲線(qxin)(qxin)方方程為程為: :. 2tancot xxy dxxxxy22sincos2cos,sincos2cos22xxxdxdy dxxxxx2222sincossincos dxxx)cos1sin1(22第17頁/共73頁第十八頁

10、，共73頁?；净?jbn)(jbn)積分表：積分表： 13 13個個不定積分不定積分(b dn(b dn j fn) j fn)的性質(zhì)的性質(zhì) 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念(ginin)(ginin)：)()(xfxF 不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系： dxxf)()1( )()(xfCxF dxxf)(2 ）（Cxf )(第18頁/共73頁第十九頁，共73頁。P183 T1(偶數(shù)(u sh), T2第五章第五章 不定積分不定積分(b (b dndn j fn) j fn)第19頁/共73頁第二十頁，共73頁。第一類換元積分法第一類換元積分法第二類換元積分法第二

11、類換元積分法第五章第五章 不定積分不定積分(b (b dndn j fn) j fn)思考題思考題小結(jié)小結(jié)(xioji)第20頁/共73頁第二十一頁，共73頁?；净?jbn)(jbn)積分表：積分表： 15 15個公式個公式不定積分不定積分(b dn(b dn j fn) j fn)的性質(zhì)的性質(zhì) 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念(ginin)(ginin)：)()(xfxF 不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系： dxxf)()1( )()(xfCxF dxxf)(2 ）（Cxf )(第21頁/共73頁第二十二頁，共73頁。問題問題(wnt(wnt):): xdx2co

12、s,2sinCx 解決解決(jiju)(jiju)方方法法: :利用利用(lyng)(lyng)復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量量. .過程過程: :令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 第22頁/共73頁第二十三頁，共73頁。在一般在一般(ybn)情況下：情況下：設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微） )()()(xxfxF CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得換元法定理由此可得換元法定理(dngl).,為為中中間間變變量量u )()(xdxf CuF

13、 )(第23頁/共73頁第二十四頁，共73頁。 dxxxf)()( CuFduufxu )()()( 第一類換元公式第一類換元公式(gngsh)CxF )( )(xd （湊微分（湊微分(wi fn)(wi fn)法）法）設(shè)設(shè))(uf有原函數(shù)有原函數(shù) )(xu 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 則有則有: : 定理定理(dngl)1，)(uFCedxexx Cexdexx lnlnln dxxex1ln第24頁/共73頁第二十五頁，共73頁。 dxxxf)()( CuFduufxu )()()( 第一類換元公式第一類換元公式(gngsh)注：注：CxF )( )(xd 1. 使用此公式使用此公式(gngsh)的關(guān)鍵

14、在于將需要求的積的關(guān)鍵在于將需要求的積分：分： dxxg)(湊成湊成.)()( dxxxf2. 基本(jbn)步驟：（湊微分法）（湊微分法）設(shè)設(shè))(uf有原函數(shù)有原函數(shù) )(xu 可導(dǎo)，可導(dǎo)， 則有則有: : 定理定理1，)(uF(1)湊微分;(2)換元;(3)最后代回為x的函數(shù) )()(xdxf 或或分分表表. .) )看看作作整整體體應(yīng)應(yīng)用用基基本本積積( () )把把( (x 4 4注意定理?xiàng)l件第25頁/共73頁第二十六頁，共73頁。例例1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx （二）（二） xdx2sin xdxxcossi

15、n2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx （三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx （一）基本（一）基本(jbn)湊湊微分法微分法第26頁/共73頁第二十七頁，共73頁。例例2 求求.231dxx 解：解：dxx 231）xdx23(23121 .23ln21Cx dudxux21,23 或：直接令或：直接令duu 121Cu ln21.23ln21Cx ）baxdadx (1第27頁/共73頁第二十八頁，共73頁。例例3 求求.)ln21(1dxxx 解：解：dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln2112

16、1xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21ln21Cx 湊微分形式：xddxxln1 注：熟練掌握湊微分法的基礎(chǔ), 注意(zh y)積累常用湊微分公式。（二）多步湊微分（二）多步湊微分(wi fn)法法第28頁/共73頁第二十九頁，共73頁。例例4 求求.)1(3dxxx dxxx 3)1(11原式原式dxxx)1(1)1(132 .)1(21112Cxx )1(xd 解：解：第29頁/共73頁第三十頁，共73頁。例例5 求求.122dxxa dxaxa 222111原式原式 axdaxa2111.arctan1Caxa 注：結(jié)果可作為公式，計(jì)算時直接(zhji)套用。dxx

17、a 221.arctan1Caxa 解：解：第30頁/共73頁第三十一頁，共73頁。例例7 求求.25812dxxx 解：解：dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 第31頁/共73頁第三十二頁，共73頁。例例7 求求.11dxex 分析分析(fnx(fnx)：dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxede 1),1ln(1 tdtdxtxtex，令解：設(shè)令解：設(shè)dttttdtt 11111原式原式第32頁/共73頁第三十三頁，共73頁。dxexxx 12)11(,11

18、12xxx Cexxdexxxx 11)1(（三）聯(lián)合（三）聯(lián)合(linh)湊微分法湊微分法例例8 求求.)11(12dxexxx 解：第33頁/共73頁第三十四頁，共73頁。 xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 三角函數(shù)相乘時，拆開三角函數(shù)相乘時，拆開奇奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分. .（四）三角函數(shù)積分（四）三角函數(shù)積分(jfn)技技巧法巧法解： 例例9 求求.cossin52 xdxx第34頁/共73頁第三十五頁，共73頁。

19、 問題：問題：?125 dxxx解決解決(jiju)(jiju)方法：方法：作適當(dāng)?shù)淖兞孔鬟m當(dāng)?shù)淖兞?binling)(binling)替替換換. .過程過程(guchn(guchng)g)：令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）第35頁/共73頁第三十六頁，共73頁。則有換元公式則有換元公式(gngsh)(gngsh) )()()()(xtdtttfdxxf 定理定理(dngl)(dngl)2 2其中)(x是)(tx的反函數(shù) . 第36頁/共73頁第三十七頁，

20、共73頁。解解 例例10 求求).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt sectanlntax22ax .ln22Caaxax 2,2t .ln122Caxx 三角(snjio)代換法第37頁/共73頁第三十八頁，共73頁。解：解： 例例11 求求.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2t tdtttcos2sin44sin223 原式原式tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3

21、253t2x24x .4514345232Cxx 第38頁/共73頁第三十九頁，共73頁。解：解： 例例12 求求).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt tanseclntax22ax Caaxax 22ln.ln122Caxx 第39頁/共73頁第四十頁，共73頁。注注: :一般規(guī)律一般規(guī)律(gul)(gul)如下：當(dāng)被積函數(shù)如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有中含有22)1(xa 可令可令)2,2(sin ttax22)2(xa 可令可令)2,2(tan ttax22)3(ax 可令可令)2,

22、 0(sec ttax三角代換三角代換(di hun)目的是化掉目的是化掉根式根式.tdtadxcos taxacos22 tdtadx2sec taxasec22 tdttadxtansec taaxtan22 第40頁/共73頁第四十一頁，共73頁。做 變 換做 變 換(binhu(binhun): n): )()(1xttx 計(jì)算計(jì)算(j sun)(j sun)被積表達(dá)式被積表達(dá)式: : dtttfdxxf)()()( ctFdtttfdxxf )()()()( 求不定積分求不定積分: : 還回原變量還回原變量: ctFctFdtttfdxxf )()()()()(1 第41頁/共73頁

23、第四十二頁，共73頁。 21xt 令令 tdttt 221原式原式 dttt 1224Cttt 353251).(回代回代 解：例例13 求求521xdxx 三角(snjio)代換很繁瑣, 122 tx,tdtxdx 注注: : 代換的靈活多樣性代換的靈活多樣性根式根式(gnsh)(gnsh)有理化代換有理化代換第42頁/共73頁第四十三頁，共73頁。 注注: :當(dāng)分母的階較高時當(dāng)分母的階較高時, , 可采用可采用(ciyng)(ciyng)倒代換倒代換.1tx 例例14 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dtttt 27121原式原式 dttt7621Ct |21|ln1

24、417.|ln21|2|ln1417Cxx 解：7721171dtt 第43頁/共73頁第四十四頁，共73頁?；颈?j(jb bn)n)積積分分表表;coslntan)14( Cxxdx;sinlncot)15( Cxxdx;tanseclnsec)16( Cxxxdx;cotcsclncsc)17( Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa ;arcsin1)20(22Caxdxxa .ln1)21(2222Caxxdxax ;ln211)19(22Caxaxadxax 第44頁/共73頁第四十五頁，共73頁。解法解法(ji f)一一 求求.125dxxx 三角三角(s

25、njio)代代換法換法令令tdtdxtx2sectan dxtttdxxx 2525secsectan.1 2,2t第45頁/共73頁第四十六頁，共73頁。解法解法(ji f)二二 根式根式(gnsh)有理化代換有理化代換法法令令tdtxdxxt 21dttttdxxxx 2224)1(.1 求求.125dxxx 第46頁/共73頁第四十七頁，共73頁。求求.1)1(dxxeexxx .11xxdxexe .111）（xxxedxe Cxex |1|ln第47頁/共73頁第四十八頁，共73頁。1.第一(dy)換元法（湊微分法）基本(jbn)步驟：1、湊微分; 2、換元; 3、回代 dxxg)(

26、湊微分湊微分 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(x)u換元換元 CxFCuF )()( 關(guān)鍵步驟: 湊微分(wi fn)。三角代換、倒代換等三角代換、倒代換等2.第二換元法)(tx 令令 )()()()(xtdtttfdxxf CtFCtF )()( 第48頁/共73頁第四十九頁，共73頁。;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx第一第一(dy)(dy)換元法常換元法常見類型見類型: :;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxx

27、xf 第49頁/共73頁第五十頁，共73頁。P197 T1(奇數(shù)(j sh), T2第五章第五章 不定積分不定積分(b (b dndn j fn) j fn)第50頁/共73頁第五十一頁，共73頁。分部分部(fn b)積分法公式積分法公式分部分部(fn b)積分法解積分法解題技巧題技巧第五章第五章 不定積分不定積分思考題思考題小結(jié)小結(jié)第51頁/共73頁第五十二頁，共73頁。1.第一(dy)換元法（湊微分法）基本(jbn)步驟：1、湊微分; 2、換元; 3、回代 dxxg)(湊微分湊微分 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(x)u換元換元 CxFCuF )()( 關(guān)鍵步驟: 湊微分

28、。三角代換、倒代換等三角代換、倒代換等2.第二換元法)(tx 令令 )()()()(xtdtttfdxxf CtFCtF )()( 第52頁/共73頁第五十三頁，共73頁。;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx第一第一(dy)(dy)換元法常見類換元法常見類型型: :;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 第53頁/共73頁第五十四頁，共73頁。問題問題(wnt(wnt) ?dxxex解決解決(jiju)(jiju)思路思路利用兩個利

29、用兩個(lin(lin )函數(shù)乘積函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則. . ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式?vu、如何選擇如何選擇關(guān)鍵：關(guān)鍵：第54頁/共73頁第五十五頁，共73頁。 例例1 求積分求積分.cos xdxx解解（一）（一）令令,cos xu 2 2xvxv 則則 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行. .vu , （二）（二）令令, xu xvxvsin cos 則則 xdxxcos xdxxxsinsin.cossinCxxx 冪函數(shù)與三角函

30、數(shù)(snjihnsh)乘積注：簡單簡單易求易求的選擇原則的選擇原則uvvu， ,第55頁/共73頁第五十六頁，共73頁。 若被積函數(shù)是若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正冪函數(shù)和正( (余余) )弦函弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積的乘積, ,就考慮設(shè)就考慮設(shè)冪冪函數(shù)為函數(shù)為 , ,使其降冪一次使其降冪一次. .u 例例2 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu , xxevev 則則 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用（再次使用(shyng)(shyng)分分部積分法）部積分法）, xu xev 結(jié)論結(jié)論(jiln)1冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)(zh sh

31、 hn sh)乘積第56頁/共73頁第五十七頁，共73頁。 例例3 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctanxu 2 2xvxv 則則 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 冪函數(shù)與反三角函數(shù)(snjihnsh)乘積第57頁/共73頁第五十八頁，共73頁。 若被積函數(shù)是若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)的乘積，就考慮設(shè)對對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)函數(shù)或

32、反三角函數(shù)為 . .u 例例4 求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,4 43xvxv 則則 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 結(jié)論結(jié)論(jiln)2冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)乘積第58頁/共73頁第五十九頁，共73頁。 例例5 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意注

33、意(zh y)(zh y)循環(huán)形式循環(huán)形式結(jié)論結(jié)論3 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為應(yīng)為同類型函數(shù)同類型函數(shù). .u指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)與三角函數(shù)乘積第59頁/共73頁第六十頁，共73頁。 例例6 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2

34、Cxxx 第60頁/共73頁第六十一頁，共73頁。解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 .1arctan2dxxxx例例6 求積分求積分第61頁/共73頁第六十二頁，共73頁。dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt tanseclnCxx 21ln dxxxx21arctanxx arctan12 .1ln2Cxx 第62頁/共73頁第六十三頁，共73頁。 已知已知)(xf的一個原函數(shù)是的一個原函

35、數(shù)是 2xe , 求求 dxxfx)(. dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx又又兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo), , 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 解解第63頁/共73頁第六十四頁，共73頁。 求積分求積分解：解：.dxex 令令xt ,2tdtdx tdtedxetx2 ttde2tttee dt() 2ttteeC()2xex1C()2第64頁/共73頁第六十五頁，共73頁。解：解： ,cos)(sin22xxf 設(shè)設(shè))(xf求求令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 第65頁/共73頁第六十六頁，共73頁。duvuvudv 分部分部(fn b)積分法積分法1、被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)、被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)(zhsh)、三角函數(shù)相乘時、三角函數(shù)相乘時2、被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)、被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)(du sh)、反三角、反三角相乘時相乘時3、被積函數(shù)為、被積函數(shù)為