高三數(shù)學一輪復習數(shù)列的綜合應用熱點專題突破課件

1、熱點專題突破系列(三)數(shù)列的綜合應用考點考點考情分析考情分析等差數(shù)列與等等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合比數(shù)列的綜合問題問題等差、等比數(shù)列相結合的問題是高考考查的等差、等比數(shù)列相結合的問題是高考考查的重點重點, ,考查方式主要有考查方式主要有: :(1)(1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前通項公式、前n n項和公式、等差項和公式、等差( (比比) )中項、中項、等差等差( (比比) )的性質的性質; ;(2)(2)重點考查基本量重點考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方解方程程( (組組)的計算以及靈活運用等差、等比數(shù)的計算以及靈活運用等差

2、、等比數(shù)列的性質簡化解決問題列的性質簡化解決問題考點考點考情分析考情分析數(shù)列與函數(shù)的數(shù)列與函數(shù)的綜合問題綜合問題數(shù)列與函數(shù)的特殊關系數(shù)列與函數(shù)的特殊關系, ,決定了數(shù)列與函數(shù)決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性交匯命題的自然性, ,是高考命題的易考點是高考命題的易考點, ,考考查方式主要有查方式主要有: :(1)(1)以函數(shù)為載體以函數(shù)為載體, ,考查函數(shù)解析式的求法考查函數(shù)解析式的求法, ,或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關系、或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關系、數(shù)列前數(shù)列前n n項和的計算方法項和的計算方法; ;(2)(2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點命根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點命

3、題題, ,考查利用函數(shù)的單調性來確定數(shù)列的單考查利用函數(shù)的單調性來確定數(shù)列的單調性、最值或解決某些恒成立問題調性、最值或解決某些恒成立問題考點考點考情分析考情分析數(shù)列與不等數(shù)列與不等式的綜合問式的綜合問題題數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點. .考查方式主要有三種考查方式主要有三種: :(1)(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關系判斷數(shù)列問題中的一些不等關系, ,如比較數(shù)如比較數(shù)列中的項的大小關系等列中的項的大小關系等; ;(2)(2)以數(shù)列為載體以數(shù)列為載體, ,考查不等式的恒成立問題考查不等式的恒成立問題, ,求不等式中的參數(shù)的取值范圍等求不等式中的參

4、數(shù)的取值范圍等; ;(3)(3)考查與數(shù)列問題有關的不等式的證明問題考查與數(shù)列問題有關的不等式的證明問題數(shù)列的實際數(shù)列的實際應用問題應用問題此類試題一般圍繞著現(xiàn)實生活中的人口的增長、此類試題一般圍繞著現(xiàn)實生活中的人口的增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算、分期付款等客觀背景進行設置分期付款等客觀背景進行設置, ,它不僅涉及數(shù)它不僅涉及數(shù)列中的基本知識和方法列中的基本知識和方法, ,還往往涉及其他學科還往往涉及其他學科的知識和常識的知識和常識考點考點1 1 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例【典例1 1】(2014(

5、2014湖州模擬湖州模擬) )已知已知aan n 是單調遞增的等差數(shù)列是單調遞增的等差數(shù)列, ,首項首項a a1 1=3,=3,前前n n項和為項和為S Sn n, ,數(shù)列數(shù)列bbn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,首項首項b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,S=12,S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求aan n 和和bbn n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)令令c cn n=S=Sn ncos(acos(an n)(nN)(nN* *),),求求ccn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .【解題視點【解題視點】(1)(1)利用利用“基

6、本量法基本量法”, ,用首項和公差用首項和公差( (比比) )表示已表示已知等式知等式, ,解得公差解得公差( (比比),),再用通項公式求解再用通項公式求解. .(2)(2)用用(1)(1)的結論表示出的結論表示出c cn n, ,再分再分n n是偶數(shù)與是偶數(shù)與n n是奇數(shù)兩種情況討是奇數(shù)兩種情況討論求和論求和. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設數(shù)列設數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,數(shù)列數(shù)列bbn n 的公比為的公比為q,q,則則a a2 2b b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+d)+q=9+

7、3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,則則(3+d)(11-3d)=33+2d-3d(3+d)(11-3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因為因為aan n 是單調遞增的等差數(shù)列是單調遞增的等差數(shù)列, ,所以所以d0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知c

8、 cn n=S=Sn ncos3n=cos3n=當當n n是偶數(shù)時是偶數(shù)時, ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+an n=6+12+18+=6+12+18+3n=+3n=2n2n33Snn,n2233Snn,n.22 是偶數(shù)，是奇數(shù)3n n2.4當當n n是奇數(shù)時是奇數(shù)時, ,T Tn n=T=Tn-1n-1-S-Sn n= =- (n+1)=- (n+1)2 2. .綜上可得綜上可得,T,Tn n= =2

9、3 n1 n133nn4223423n n2,n43n1n.4是偶數(shù)， 是奇數(shù)【規(guī)律方法【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略問題的解題策略(1)(1)分析已知條件和求解目標分析已知條件和求解目標, ,確定為最終解決問題需要首先求確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題解的中間問題, ,如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差求出首項和公差( (公比公比) )等等, ,確定解題的順序確定解題的順序. .(2)(2)注意細節(jié)注意細節(jié). .在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中, ,如果等比

10、數(shù)如果等比數(shù)列的公比不能確定列的公比不能確定, ,則要看其是否有等于則要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在數(shù)列的通在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等, ,這些細這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的節(jié)對解題的影響也是巨大的. .提醒提醒: :在不能使用同一公式進行計算的情況下要注意分類討論在不能使用同一公式進行計算的情況下要注意分類討論, ,分類解決問題后還要注意結論的整合分類解決問題后還要注意結論的整合. .【變式訓練【變式訓練】(2014(2014金華模擬金華模擬) )在等比數(shù)列在等比數(shù)列aan n 中中, ,已知已知a a

11、1 1=3,=3,公比公比q1,q1,等差數(shù)列等差數(shù)列bbn n 滿足滿足b b1 1=a=a1 1,b,b4 4=a=a2 2,b,b1313=a=a3 3. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 與與bbn n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)記記c cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n, ,求數(shù)列求數(shù)列ccn n 的前的前n n項和項和S Sn n. .【解析【解析】(1)(1)設等差數(shù)列設等差數(shù)列bbn n 的公差為的公差為d.d.由已知得由已知得:a:a2 2=3q,a=3q,a3 3=3q=3q2 2, ,b b1 1=3,b=3,b4 4=3+3d,

12、b=3+3d,b1313=3+12d,=3+12d,所以此時所以此時d=2,d=2,所以所以a an n=3=3n n,b,bn n=2n+1.=2n+1.223q33d,q1d,q3q1()3q3 12dq14d 或舍去 ，(2)(2)由題意得由題意得:c:cn n=(-1)=(-1)n nb bn n+a+an n=(-1)=(-1)n n(2n+1)+3(2n+1)+3n n, ,S Sn n=c=c1 1+c+c2 2+ +c+cn n=(-3+5)+(-7+9)+=(-3+5)+(-7+9)+(-1)+(-1)n-1n-1(2n-1)+(-1)(2n-1)+(-1)n n(2n+1)

13、+3+3(2n+1)+3+32 2+ +3+3n n, ,當當n n為偶數(shù)時為偶數(shù)時,S,Sn n= =當當n n為奇數(shù)時為奇數(shù)時,S,Sn n=(n-1)-(2n+1)+=(n-1)-(2n+1)+所以所以S Sn n= =n 1n 13333nn2222，n 1n 13337n,2222n 1n 133nn2237nn.22， 為偶數(shù)， 為奇數(shù)【加固訓練【加固訓練】在公差為在公差為d(d0)d(d0)的等差數(shù)列的等差數(shù)列aan n 和公比為和公比為q q的等比數(shù)列的等比數(shù)列bbn n 中中,a,a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3. .(

14、1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 和和bbn n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)令令c cn n=a=an nb bn n, ,求數(shù)列求數(shù)列ccn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)因為因為a a2 2=b=b1 1=3,a=3,a5 5=b=b2 2,a,a1414=b=b3 3, ,所以所以解之得解之得 所以所以a an n=2n-1,b=2n-1,bn n=3=3n n. .233d3q,3 12d3q，d2,d0,().q3q1舍去(2)(2)因為因為c cn n=a=an nb bn n=(2n-1)=(2n-1)3 3n n. .所以所以

15、T Tn n=1=13+33+33 32 2+5+53 33 3+ +(2n-1)+(2n-1)3 3n n, ,所以所以3T3Tn n=1=13 32 2+3+33 33 3+ +(2n-3)+(2n-3)3 3n n+(2n-1)+(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2=3+23 32 2+2+23 33 3+ +2+23 3n n-(2n-1)-(2n-1)3 3n+1n+1, ,所以所以-2T-2Tn n=3+2(3=3+2(32 2+3+33 3+ +3+3n n)-(2n-1)-(2n-1)3 3n+1n+1=3+2=3+2 -(2n-1) -(2n

16、-1)3 3n+1n+1, ,所以所以T Tn n=3+(n-1)=3+(n-1)3 3n+1n+1. .n 19 1 31 3考點考點2 2 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【典例典例2 2】(12(12分分)(2013)(2013安徽高考安徽高考) )設數(shù)列設數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=2, =2, a a2 2+a+a4 4=8,=8,且對任意且對任意nNnN* *, ,函數(shù)函數(shù)f(x)=(af(x)=(an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2)x+a)x+an+1n+1cosxcosx-a-an+2n+2sinx,sinx,滿足滿足f =0.f =0.(1)(

17、1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)若若b bn n= = 求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和S Sn n. .( )2nna12(a),2【解題視點解題視點】(1)(1)由由f =0f =0證得證得aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列.(2).(2)求出求出bbn n 的通項公式的通項公式, ,利用等差、等比數(shù)列的求和公式計算利用等差、等比數(shù)列的求和公式計算. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題設可得由題設可得,f(x,f(x)=a)=an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2-a-an+1n+1sinx-sinx-a an+2n+2cosx

18、,cosx,對任意對任意nNnN* *,f =a,f =an n-a-an+1n+1+a+an+2n+2-a-an+1n+1=0,=0,即即a an+1n+1-a-an n= =a an+2n+2-a-an+1n+1, ,故故aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .由由a a1 1=2,a=2,a2 2+a+a4 4=8=8解得解得aan n 的公差的公差d=1,d=1,所以所以a an n=2+1=2+1(n-1)=n+1.(n-1)=n+1.( )2( )2 nnnan 1nnn12n2n1112b2(a)2(n1)2n2222111 ( ) n n122Sbbb2n212121n3n1.2

19、 由，可得【規(guī)律方法【規(guī)律方法】數(shù)列與函數(shù)的綜合數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的常見類型及解題策略問題的常見類型及解題策略(1)(1)已知函數(shù)條件已知函數(shù)條件, ,解決數(shù)列問題解決數(shù)列問題, ,此類問題一般利用函數(shù)的性此類問題一般利用函數(shù)的性質、圖象研究數(shù)列問題質、圖象研究數(shù)列問題. .(2)(2)已知數(shù)列條件已知數(shù)列條件, ,解決函數(shù)問題解決函數(shù)問題, ,解決此類問題一般要充分利解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形. .另外另外, ,解題時解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內在聯(lián)系要注意數(shù)列與函數(shù)的內在聯(lián)系, ,靈活運用函數(shù)的思想方法求解靈

20、活運用函數(shù)的思想方法求解, ,在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列, ,因此掌握遞推數(shù)列因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決的常見解法有助于該類問題的解決. .解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(1)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)數(shù)列是一類特殊的函數(shù), ,其定義域是正整數(shù)集其定義域是正整數(shù)集, ,而不是某個而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)區(qū)間上的連續(xù)實數(shù), ,所以它的圖象是一群孤立的點所以它的圖象是一群孤立的點. .(2)(2)轉化以函數(shù)為背景的條件時轉化以函數(shù)為背景的條件時, ,應注意題中的限制條件應注意題中的限制條件, ,如函如

21、函數(shù)的定義域數(shù)的定義域, ,這往往是非常容易忽視的問題這往往是非常容易忽視的問題. .(3)(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關問題時利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關問題時, ,應準確構造函數(shù)應準確構造函數(shù), ,注意數(shù)列中相關限制條件的轉化注意數(shù)列中相關限制條件的轉化. .【變式訓練【變式訓練】(2014(2014溫州模擬溫州模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)= (x-1,)= (x-1,xRxR),),數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=a(a-1,aR),a=a(a-1,aR),an+1n+1=f(a=f(an n)(nN)(nN* *).).(1)(1)若數(shù)列若數(shù)列aan n 是常

22、數(shù)列是常數(shù)列, ,求求a a的值的值. .(2)(2)當當a a1 1=4=4時時, ,記記b bn n= (nN= (nN* *),),證明數(shù)列證明數(shù)列bbn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,并求出通項公式并求出通項公式a an n. .4x2x1nna2a1【解析【解析】(1)(1)因為因為f(xf(x)= ,a)= ,a1 1=a,a=a,an+1n+1=f(a=f(an n)(nN)(nN* *),),數(shù)列數(shù)列aan n 是常數(shù)列是常數(shù)列, ,所以所以a an+1n+1=a=an n=a,=a,即即a= ,a= ,解得解得a=2a=2或或a=1.a=1.所以所求實數(shù)所以所求實數(shù)a a的值

23、是的值是1 1或或2.2.4x2x14a2a1(2)(2)因為因為a a1 1=4,b=4,bn n= (nN= (nN* *),),所以所以即即b bn+1n+1= b= bn n(nN(nN* *),),所以數(shù)列所以數(shù)列bbn n 是以是以b b1 1= = 為首項為首項,q= ,q= 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,于是于是nna2a1nnn 1n1n 1nn 1nn4a222 a2a2a12b,b4a23a13 a11a1，232323n 1nn2 22b( )( )nN* .3 33由由所以所求的通項公式所以所求的通項公式nnnnnnnnn2( )2a2a223b( )anN*

24、 ,2a1a13( )13，即，解得nnn2( )23anN* .2( )13【加固訓練【加固訓練】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)n,n,點點P Pn n(n,S(n,Sn n) )都在都在函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x的圖象上的圖象上, ,且過點且過點P Pn n(n,S(n,Sn n) )的切線的斜率為的切線的斜率為k kn n. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)若若b bn n= a= an n, ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項和項和T Tn n.

25、 .(3)(3)設設Q=x|x=kQ=x|x=kn n,nN,nN* *,R=x|x,R=x|x=2a=2an n,nN,nN* *,等差數(shù)列等差數(shù)列ccn n 的的任一項任一項c cn nQRQR, ,其中其中c c1 1是是QRQR中的最小數(shù)中的最小數(shù),110c,110c1010115,115,求求ccn n 的通項公式的通項公式. .nk2【解析【解析】(1)(1)因為點因為點P Pn n(n,S(n,Sn n) )都在函數(shù)都在函數(shù)f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x的圖象上的圖象上, ,所以所以S Sn n=n=n2 2+2n(nN+2n(nN* *).).當當n2n2時時,a,

26、an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2n+1,=2n+1,當當n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=3=3滿足上式滿足上式, ,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)由由f(xf(x)=x)=x2 2+2x+2x求導可得求導可得f(xf(x)=2x+2.)=2x+2.因為過點因為過點P Pn n(n,S(n,Sn n) )的切線的斜率為的切線的斜率為k kn n, ,所以所以k kn n=2n+2,=2n+2,所以所以b bn n= a= an n=4=4(2n+1)(2n+1)4 4n n. .所以所以T Tn n

27、=4=43 34 41 1+4+45 54 42 2+4+47 74 43 3+ +4+4(2n+1)(2n+1)4 4n n. .由由4,4,得得4T4Tn n=4=43 34 42 2+4+45 54 43 3+4+47 74 44 4+ +4+4(2n+1)(2n+1)4 4n+1n+1. .nk2- -得得: :-3T-3Tn n=43=434+24+2(4(42 2+4+43 3+ +4+4n n)-(2n+1)-(2n+1)4 4n+1n+1 =43=434+24+2 -(2n+1) -(2n+1)4 4n+1n+1,所以所以2n 141414n 2n6n116T4.99(3)(3

28、)因為因為Q=x|x=2n+2,nNQ=x|x=2n+2,nN* *,R=x|x=4n+2,nN,R=x|x=4n+2,nN* *,所以所以QR=R.QR=R.又因為又因為c cn nQRQR, ,其中其中c c1 1是是QRQR中的最小數(shù)中的最小數(shù), ,所以所以c c1 1=6,=6,因為因為ccn n 的公差是的公差是4 4的倍數(shù)的倍數(shù), ,所以所以c c1010=4m+6(mN=4m+6(mN* *).).又因為又因為110c110c1010115,00即可得證即可得證. .(2)(2)把已知等式中的把已知等式中的n n換為換為n-1(n2),n-1(n2),然后兩式相減消去然后兩式相減

29、消去S Sn n,S,Sn-1n-1, ,根據(jù)結構向等差或等比數(shù)列轉化根據(jù)結構向等差或等比數(shù)列轉化, ,再求通項公式再求通項公式. .(3)(3)根據(jù)根據(jù)(2)(2)的結論的結論, ,先運用裂項求和先運用裂項求和, ,再證明不等式再證明不等式. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)當當n=1n=1時，時，4a4a1 1=a=a2 22 25,5,a a2 22 2=4a=4a1 1+5+5，因為，因為a an n00，所以所以(2)(2)當當n2n2時，時，4S4Sn n1 1=a=an n2 24(n4(n1)1)1 1，4a4an n=4S=4Sn n4S4Sn n1 1=a=an+1n+

30、12 2a an n2 24 4，a an+1n+12 2=a=an n2 2+4a+4an n+4=(a+4=(an n+2)+2)2 2，因為，因為a an n00，所以，所以a an+1n+1=a=an n+2+2，當，當n2n2時，時，aan n 是公差是公差d=2d=2的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .因為因為a a2 2,a,a5 5,a,a1414構成等比數(shù)列，構成等比數(shù)列，a a5 52 2=a=a2 2a a1414，(a(a2 2+6)+6)2 2=a=a2 2(a(a2 2+24)+24)，解得，解得a a2 2=3,=3,21a4a5.由由(1)(1)可知，可知，4a4a1 1

31、=a=a2 22 25=4,a5=4,a1 1=1=1，又因為，又因為a a2 2a a1 1=3=31=21=2，則，則a an n是首項是首項a a1 1=1,=1,公差公差d=2d=2的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .數(shù)列數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=2n=2n1.1. 1223nn 11113a aa aa a11111 33 55 7(2n 1)(2n1)11111111(1)()()()2335572n 12n1111(1).22n12【規(guī)律方法【規(guī)律方法】數(shù)列中不等式的處理方法數(shù)列中不等式的處理方法(1)(1)函數(shù)方法函數(shù)方法: :即構造函數(shù)即構造函數(shù), ,通過函

32、數(shù)的單調性、極值等得出關通過函數(shù)的單調性、極值等得出關于正實數(shù)的不等式于正實數(shù)的不等式, ,通過對關于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出通過對關于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式數(shù)列中的不等式. .(2)(2)放縮方法放縮方法: :數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結果放縮得到果放縮得到. .(3)(3)比較方法比較方法: :作差或者作商比較作差或者作商比較. .【變式訓練【變式訓練】已知各項均不相等的等差數(shù)列已知各項均不相等的等差數(shù)列aan n 的前四項和的前四項和S S4 4=14,=14,且且a a1 1,a,a3 3,a,a7 7成等比數(shù)

33、列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)設設T Tn n為數(shù)列為數(shù)列 的前的前n n項和項和, ,若若T Tn naan+1n+1對一切對一切nNnN* *恒恒成立成立, ,求實數(shù)求實數(shù)的最小值的最小值. .nn 11a a【解析【解析】(1)(1)設公差為設公差為d,d,由已知得由已知得解得解得d=1d=1或或d=0(d=0(舍去舍去) )，所以所以a a1 1=2=2，故，故a an n=n+1.=n+1.121114a6d14,a2daa6d， nn 1nnn 12211112,a an1 n2n1n211111111nT.2334n1

34、n22n22 n2nTan2 .2 n2n.2 n2n111n2.42 44162 n22(n4)n1.16 所以因為，所以所以又當且僅當時等號成立所以 的最小值為【加固訓練【加固訓練】(2014(2014太原模擬太原模擬) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的公差不為零的公差不為零, ,且且a a3 3=5,a=5,a1 1, ,a a2 2,a,a5 5成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)若數(shù)列若數(shù)列bbn n 滿足滿足b b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +2+2n-1n-1b bn n=a=an n且數(shù)列

35、且數(shù)列bbn n 的前的前n n項項和為和為T Tn n, ,試比較試比較T Tn n與與 的大小的大小. .3n1n1【解析【解析】(1)(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中, ,設公差為設公差為d(d0),d(d0),所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.22152111311a aaaa4dada5a2d5a1,d2，由題得所以，解得，(2)b(2)b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+ +2+2n-1n-1b bn n=a=an n, ,b b1 1+2b+2b2 2+4b+4b3 3+

36、+2+2n-1n-1b bn n+2+2n nb bn+1n+1=a=an+1n+1, ,- -得得:2:2n nb bn+1n+1=2,=2,所以所以b bn+1n+1=2=21-n1-n, ,當當n=1n=1時時,b,b1 1=a=a1 1=1,=1,所以所以b bn n= =即即2 n2,n2,1,n1，nn4,n2,b21,n1.當當n=1n=1時時,T,T1 1=b=b1 1=1, =1,=1, =1,所以所以當當n2n2時時, ,又又2 2n n=(1+1)=(1+1)n n= n+1(n2),= n+1(n2),所以所以所以當所以當n=1n=1時時, , 當當n2n2時時, ,3

37、n1n1n3n1Tn1，2n 1n23nn 2114(1)111122T14()13,1222212 01nnnnCCCn 2nn 2144143n1n2 33n222n12n1n1，n3n1Tn1，n3n1T.n1考點考點4 4 數(shù)列的實際應用問題數(shù)列的實際應用問題【典例【典例4 4】某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn). .該企該企業(yè)第一年年初有資金業(yè)第一年年初有資金20002000萬元萬元, ,將其投入生產(chǎn)將其投入生產(chǎn), ,到當年年底資金到當年年底資金增長了增長了50%.50%.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同預計以后每年資金年增長率與第

38、一年的相同. .公司公司要求企業(yè)從第一年開始要求企業(yè)從第一年開始, ,每年年底上繳資金每年年底上繳資金d d萬元萬元, ,并將剩余資并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)金全部投入下一年生產(chǎn). .設第設第n n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為金為a an n萬元萬元. .(1)(1)用用d d表示表示a a1 1,a,a2 2, ,并寫出并寫出a an+1n+1與與a an n的關系式的關系式. .(2)(2)若公司希望經(jīng)過若公司希望經(jīng)過m(m3)m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為年使企業(yè)的剩余資金為40004000萬元萬元, ,試確定企業(yè)每年上繳資金試確定企業(yè)每年上繳資金d

39、d的值的值( (用用m m表示表示).).【解題視點【解題視點】(1)(1)只要根據(jù)增長率求出當年年底的資金總額只要根據(jù)增長率求出當年年底的資金總額, ,再再減去上繳的資金減去上繳的資金, ,就是剩余資金就是剩余資金, ,即可求出即可求出a a1 1,a,a2 2, ,以及建立以及建立a an+1n+1與與a an n間的遞推關系式間的遞推關系式. .(2)(2)使用逐次迭代的方法或者構造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)使用逐次迭代的方法或者構造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)列列aan n 的通項公式的通項公式a an n, ,令令a am m=4000=4000即可求出即可求出d.d.【規(guī)范解答【規(guī)范解答

40、】(1)(1)由題意得由題意得a a1 1=2000(1+50%)-d=2000(1+50%)-d=3000-d,=3000-d,a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d= a(1+50%)-d= a1 1-d=4500- -d=4500- d,d,所以所以a an+1n+1=a=an n(1+50%)-d= (1+50%)-d= a an n-d.-d.325232(2)(2)方法一方法一: :由由(1)(1)得得, ,當當n2n2時時, ,nn 1n 22n 23aad23 3( ad)d2 233( ) add22n 12n 213333( )ad1( )( ).2222整理得整理得

41、由題意由題意,a,am m=4000,=4000,所以所以 (3000-3d)+2d=4000,(3000-3d)+2d=4000,解得解得故該企業(yè)每年上繳資金故該企業(yè)每年上繳資金d d的值為的值為 時時, ,經(jīng)過經(jīng)過m(m3)m(m3)年企業(yè)的剩余資金為年企業(yè)的剩余資金為40004000萬元萬元. .n 1n 1n 1n333a( )3000d2d( )1( )30003d2d.222m 13( )2mmm 1mmm3( )2 10001000 322d.332( )12mm 1mm1000 3232方法二方法二: :由于由于a an+1n+1= a= an n-d,-d,設設a an+1n

42、+1+= (a+= (an n+),),化為化為a an+1n+1= a= an n+ ,+ ,與與a an+1n+1= a= an n-d-d比較可比較可得得=-2d,=-2d,故故a an+1n+1-2d= (a-2d= (an n-2d),-2d),這說明數(shù)列這說明數(shù)列aan n-2d-2d是以是以a a1 1-2d=3000-3d-2d=3000-3d為為首項首項, , 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,所以所以a an n-2d=(3000-3d)-2d=(3000-3d)即即a an n=(3000-3d)=(3000-3d) +2d. +2d.( (下同方法一下同方法一).)

43、.32323212323232n 13( ),2n 13( )2【規(guī)律方法【規(guī)律方法】解答數(shù)列實際應用問題的步驟解答數(shù)列實際應用問題的步驟(1)(1)確定模型類型確定模型類型: :理解題意理解題意, ,看是哪看是哪類數(shù)列模型類數(shù)列模型, ,一般有等差數(shù)一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型列模型、等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模型. .基本特征見下基本特征見下表表: :數(shù)列模型數(shù)列模型基本特征基本特征等差數(shù)列等差數(shù)列均勻增加或者減少均勻增加或者減少等比數(shù)列等比數(shù)列指數(shù)增長指數(shù)增長, ,常見的是增產(chǎn)率問題、存款復利問常見的是增產(chǎn)率問題、存款復利問題題簡單遞推簡單遞推數(shù)列數(shù)列指數(shù)增長的

44、同時又均勻減少指數(shù)增長的同時又均勻減少. .如年收入增長率如年收入增長率為為20%,20%,每年年底要拿出每年年底要拿出a(a(常數(shù)常數(shù)) )作為下年度的作為下年度的開銷開銷, ,即數(shù)列即數(shù)列aan n 滿足滿足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)準確解決模型準確解決模型: :解模就是根據(jù)數(shù)列的知識解模就是根據(jù)數(shù)列的知識, ,求數(shù)列的通項、求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程數(shù)列的和、解方程( (組組) )或者不等式或者不等式( (組組) )等等, ,在解模時要注意運在解模時要注意運算準確算準確. .(3)(3)給出問題的回答給出問題的回答: :實際應用問題最后要把求解的

45、數(shù)學結果化實際應用問題最后要把求解的數(shù)學結果化為對實際問題的答案為對實際問題的答案, ,在在解題中不要解題中不要忽視了這點忽視了這點. .提醒提醒: :一般地一般地, ,涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列, ,涉及依次增涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列加或減少要用等差數(shù)列, ,有的問題是可以通過轉化得到等差或有的問題是可以通過轉化得到等差或等比數(shù)列的等比數(shù)列的, ,注意之間的聯(lián)系注意之間的聯(lián)系. .【變式訓練【變式訓練】(2014(2014廣州模擬廣州模擬) )某學校餐廳為了保證每天供應某學校餐廳為了保證每天供應10001000名學生用餐名學生用餐, ,每星期一都提供有

46、每星期一都提供有A,BA,B兩種菜可供學生選擇兩種菜可供學生選擇( (每個學生都將從二種中選一種每個學生都將從二種中選一種),),經(jīng)調查經(jīng)調查, ,凡是在本周星期一選凡是在本周星期一選A A菜的菜的, ,下周星期一會有下周星期一會有20%20%改選改選B,B,而選而選B B菜的菜的, ,下周星期一則有下周星期一則有30%30%改選改選A.A.用用a an n,b,bn n分別表示在第分別表示在第n n個星期一選個星期一選A,BA,B菜的人數(shù)菜的人數(shù)(a(a1 1,b,b1 1表示本周星期一選表示本周星期一選A,BA,B菜人數(shù)菜人數(shù)),),若若a a1 1=200.=200.(1)(1)試以試以

47、a an n表示表示a an+1n+1. .(2)(2)證明證明:a:an n 的通項公式是的通項公式是a an n=(-400)=(-400) +600. +600.(3)(3)試問從第幾個星期一開始試問從第幾個星期一開始, ,選選A A的人數(shù)超過選的人數(shù)超過選B B的人數(shù)的人數(shù)? ?n 11( )2【解析【解析】(1)(1)由題可知由題可知, ,因為在本周星期一選因為在本周星期一選A A菜的菜的, ,下周星期一下周星期一會有會有20%20%改選改選B,B,而選而選B B菜的菜的, ,下周星期一則有下周星期一則有30%30%改選改選A,A,所以所以a an+1n+1=a=an n(1-0.2

48、)+0.3(1-0.2)+0.3b bn n, ,又又a an n+b+bn n=1000,=1000,所以整理得所以整理得:a:an+1n+1= a= an n+300.+300.(2)(2)因為因為a a1 1=200,=200,且且a an+1n+1= a= an n+300,+300,所以所以a an+1n+1-600= (a-600= (an n-600),-600),即即aan n-600-600可以看成是首項為可以看成是首項為-400,-400,公比為公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,所以所以a an n=(-400)=(-400) +600. +600.121212n 11( )