第三節(jié) 行列式展開(kāi)定理ppt課件

1、音樂(lè)音樂(lè)第三節(jié)第三節(jié),312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa)(3223332211aaaaa )(3321312312aaaaa )(3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 1、余子式與代數(shù)余子式、余子式與代數(shù)余子式在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的余子式，記作的余子式，

2、記作nijaij1 nija.Mij，記記ijjiijMA )1(叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 233223)1(MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 122112)1(MA .12M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaa

3、aaaaaaaaD ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .)1(44444444MMA . 代代數(shù)數(shù)余余子子式式個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著一一個(gè)個(gè)余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個(gè)個(gè)元元素素分分別別 n n階行列式階行列式D=|aij|D=|aij|等于它的任意等于它的任意一行一行( (列列) )的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和, , 即即), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii )., 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 或或按第按第i i行展開(kāi)行展開(kāi)按第按第j j列展開(kāi)列展開(kāi)證略證略推論推

4、論: : 若行列式某行若行列式某行( (列列) )的元素全為零的元素全為零, ,則行列式則行列式的值為零的值為零. .( (行列式展開(kāi)定理行列式展開(kāi)定理) ),601504321 D例例2 2設(shè)設(shè)543106131061542 D列列展展開(kāi)開(kāi)得得按按第第2010436154260501 D行行展展開(kāi)開(kāi)得得按按第第1,58292 .58292 定理定理 行列式某一行的元素乘另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)行列式某一行的元素乘另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和等于零余子式之和等于零,即即這是因?yàn)檫@是因?yàn)榈诘趇行行第第j行行022111 jninjijinkjkikAaAaAaAa)(ji nnnniniiinii

5、nnkjkikaaaaaaaaaaaaAa212121112111 .0 同樣同樣, 行列式對(duì)列展開(kāi)行列式對(duì)列展開(kāi), 也有也有).(, 02211jiAaAaAanjnijiji ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)引入記號(hào)引入記號(hào) 則有則有2、行列式的計(jì)算、行列式的計(jì)算 計(jì)算行列式的基本方法：利用性質(zhì)計(jì)算行列式的基本方法：利用性質(zhì)5 5將某行將某行( (列列) )化出較多的零化出較多的零, ,再利用展開(kāi)定理按該行再利用展開(kāi)定理按該行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi). .例例13351110243152

6、113 D0551111115)1(33 3131 312cc 34cc 5011 50115 0011 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式0532004140013202527102135 D解解53241413252 53204140132021352)1(52 D13rr 122rr 66027013210 .1080124220 每行元素的和都相等每行元素的和都相等, ,把第二、三、四列都把第二、三、四列都加到第一列加到第一列, , 例例3 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解1111111111111111 xx

7、xx. . 原原式式111111111111 xxxxxxx 1111111111111111 xxxx xxxxxx 0000 原原式式111111111111 xxxxxxx 1111111111111111 xxxx xxxxxxx 00000001111 4x . . xxxx 02 按第一列展開(kāi)按第一列展開(kāi), , 并由上、下三角形并由上、下三角形行列式得行列式得 例例4 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式解解.0000000000000000abbaababa原原式式abaabaa0000000000 babbabbn0000000000) 1(1 .)1(1nnnba 例例5 計(jì)算計(jì)算n階

8、行列式階行列式解解nnnnaaaaaaaaa 21221211), 2 , 1,0(nii nnnnnnnaaaaaaaaa 1112211221122111原原式式nniinniinniinaaaaaaaaa 111112222221nnnnnnnaaaaaaaaa 1112211221122111原原式式每每列列加加到到第第一一列列1000101)1(221nniinaaa 每每行行減減去去第第一一行行.)1(1 iina nnnnnniinaaaaaaa 11111)1(2222221例例6 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式解解 0000010001000nD按第按第1 1列展開(kāi)，列展開(kāi)，21

9、)( nnnDDD (1)，即即)(211 nnnnDDDD 反復(fù)利用遞推公式得：反復(fù)利用遞推公式得： )(3221 nnnnDDDD (2)(122DDn 由對(duì)稱(chēng)性，由對(duì)稱(chēng)性，(1)(1)式又可化為式又可化為 21)( nnnDDD (1)，即即)(211 nnnnDDDD )(1221DDDDnnn (3), )1( 若若聯(lián)列聯(lián)列(2)(3),(2)(3),解得解得,)()(121121 DDDDDnnn,)()(121121 DDDDDnnn,1222 D,1 D而而代入得代入得.11 nnnD, )2( 若若)( 1221DDDDnnn 則則,n nnnDD 1nnnD )(12nnD

10、 222 nnnD )1(11 .)1(nn 證證用數(shù)學(xué)歸納法，用數(shù)學(xué)歸納法，21211xxD 12xx , )(12 jijixx.)1(2式式成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n例例7證明范德蒙證明范德蒙 (Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(倍倍：去去前前一一行行的的行行開(kāi)開(kāi)始始，每每行行減減從從第第階階范范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，式式對(duì)對(duì)于于假假設(shè)設(shè)11)1(xnn )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 112112222121111 nnnnnnxxxxxxxxx提提出出，就就有有因因子子列列展展開(kāi)開(kāi)，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙行列階范德蒙行列式式)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).