-大一(第一學(xué)期)高數(shù)期末考試題及答案

1、4設(shè) f （x）是連續(xù)函數(shù)，且2 2xx（A）2（ B）2二、填空題（本大題有2lim （13x）sin7x 0f (x)120f(t)dt ,則 f (x)(2（C）x4小題，每小題4分,(D)x2.共16分)5.6.已知C0空是 f（x）的一個原函數(shù)Xf (x)cosxdxx7.limn(cos2n8.2 .x arcs in21I1 X21dx（本大題三、解答題9.設(shè)函數(shù)v v(x)由方程求110.7x廠dx.x(1 x7)5小題，每小題8分，共40分）x vesin（XV）1確定，求V（x）以及v（）.大一上學(xué)期高數(shù)期末考試、單項(xiàng)選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）1.設(shè)f：

2、(x)cos x (x sin x ),則在 x 0 處有().(A)f (0)2( B)f(0)1( C)f (0)0( D)f（x）不可導(dǎo).設(shè)(x)1 X，(x)3 33x，則當(dāng) x 1 時()2.1 X.(A)(x)與（x）是同階無窮小，但不是等價無窮?。唬˙）（X）與（x）是等價無窮?。唬–）（X）是比（x）高階的無窮??；（D）（X）是比（x）高階的無窮小.X3.若F（x）0（2t x）f（t）dt，其中心）在區(qū)間上（1,1）二階可導(dǎo)且f（x）0，則（）.（A）函數(shù)F（x）必在 x0處取得極大值；（B）函數(shù)F（x）必在 x 0 處取得極小值；（C） 函數(shù)F（x）在 x 0 處沒有極值，

3、但點(diǎn)（0，F(xiàn)（0）為曲線yF（x）的拐點(diǎn)；（D）函數(shù)F（x）在 x 0 處沒有極值，點(diǎn)（0，F(xiàn)（0）也不是曲線y F（x）的拐點(diǎn)。11.12.13.設(shè)f (x)xe2x,設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),g(x)并討論g(x)在 xg(x)0 x 11f (xt)dt03f (x)dx.求微分方程xy 2 y，且x0 處的連續(xù)性xlnx滿足y(1)lim0空Ax，A為常數(shù).求19的解.四、解答題(本大題 10 分)14.已知上半平面內(nèi)一曲線y y(x) (x 0)，過點(diǎn)(01)，且曲線上任一點(diǎn)M(X0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線xX。所圍成 面積的 2 倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方

4、程.五、解答題(本大題 10 分)15.過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y ln x及 x 軸圍成平面圖形 D.(1)求 D 的面積 A； (2)求 D 繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V.六、證明題(本大題有 2 小題，每小題 4 分，共 8 分)16.設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q ，1】，q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017.設(shè)函數(shù)f(x)在0，上連續(xù)，且0證明：在0，內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn)1，2，使f( 1) f( 2) 0.(提xF(x) f(x)dx示：設(shè)0解答一、

5、單項(xiàng)選擇題(本大題有 4 小題，每小題 4 分，共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空題(本大題有 4 小題，每小題 4 分，共 16 分)1 COSX26 () C5.e. 6.2X.7.2 . 8.3三、解答題(本大題有 5 小題，每小題 8 分，共 40 分)9.解：方程兩邊求導(dǎo)eX y(1 y ) cos(xy)(xy y) 0y(x)10.解:X 0, y7XeX yy cos(xy) eXyXcos(xy)0y(0) x6dx du原式11.解:171尹|u|如|x7丨13f(x)dx03Xd(1u(12ln |u12.解:Xxe-2e34由f()g(x)g(x)g(

6、0)(-u1|) c)dU2In |17 i0 xe3X7| CXdx2Xx20dx0 . 1 (X 1)2dX0 00，知1f (Xt )dt0Xtcos2d (令X2g(0)0。Xf (u)duu0(X1 sin )0)XXf (X) f (u)du_ 02XXf (u)dulim -X0(X0)f(x)x2xf(x)lim g (X) limX0X0limX 02XXf (u)du0_2XA2，g(x)在X0處連續(xù)。x0qdy 2y13.解：dx x2_dxy exIn x2_dxexIn xdx C)xln31y(1) ,C09四、解答題(本大題Cx214解：由已知且y將此方程關(guān)于x求

7、導(dǎo)得2特征方程：r r 2其通解為y C1ey - xln x310 分)x20ydx yy 2y代入初始條件y()故所求曲線方程為：五、解答題(本大題 10 分)0解出特征根:小2xC2e(0)1，得1e315解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為由于切線過原點(diǎn)，解出X。1(ey0A則平面圖形面積(2)三角形繞直線曲線yln積為 V2x = ex與 x 軸及直線1V2(e01,2.C12x(xo,ln Xo)2,C2D 繞直線 x =六、證明題16.證明：q(1 q) f(x)dxe，從而切線方程為:ey)dy1e 12y， 切線方程：1 xeInV1,則V1Xo1(x x)X0一周所得圓錐體體積記

8、為x= e 所圍成的圖形繞直線 x= e 一周所得旋轉(zhuǎn)體體ey)2dy-(5e212e 3)62 小題，每小題 4 分，共 12 分)1q f (x)dx0e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(本大題有qf(x)dx0V V1V21q f (x)dxqf(x)dx q( f (x) d x01f(x)dx)qx0q10, q2 q,1f(1) f(2)q(1 q) f(1) q(1 q)f (2)故有：q1f (x) d x q f (x)dx0 0證畢。17.xF(x) f (t)dt ,0 x證：構(gòu)造輔助函數(shù)：0上可導(dǎo)。F (x) f(x)，且F(0) F( )0f (x)cosxdx cosxdF (x)00F (x)cosx|sin x F (x)dx00F(x)sin xdx 0有0，由積分中值定理，存在(0, )，使F( )sin 0即F( )0綜上可知F(0) F( ) F( )0,(0, ).在區(qū)間0, , , 上分別應(yīng)用羅爾定理，知