簡(jiǎn)行列式按行展開定理

1、11.5行列式按行行列式按行(列列)展開定理展開定理2.),(,)1(),(1),(的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式元元叫做叫做；記；記余子式，記作余子式，記作的的元元階行列式叫做階行列式叫做列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的行和第行和第所在的第所在的第元元階行列式中，把階行列式中，把在在ijijijjiijijijijajiAMAMajinjiajin 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例例如如四四階階行行列列式式代數(shù)余子式的定義代數(shù)余子式的定義和代數(shù)余子式的余子式元中32)2 , 3(a,44434124232114131132a

2、aaaaaaaaM .)1(32322332MMA 3引理引理 . ),(ijijijijAaDaajiin 數(shù)余子數(shù)的乘積，即數(shù)余子數(shù)的乘積，即與它的代與它的代式等于式等于外都為零，那么這行列外都為零，那么這行列元元行所有元素除行所有元素除階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第一個(gè)一個(gè)的情形，此時(shí)的情形，此時(shí)先證先證)1 , 1(),( ji證證,00212222111nnnnnaaaaaaaD .1111MaD 即即有有,)1(11111111MMA 又又.1111AaD 從從而而再證一般情形，此時(shí)再證一般情形，此時(shí).0011111nnnjnijnjaaaaaaaD 4.)1()1(1i

3、jijijijjijiAaMaDD 于于是是，行其余元素都為行其余元素都為，第，第元為元為的的由于由于01)1 , 1(1ijaD定理定理3 (展開定理）展開定理） 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的所的所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即. ), 2 , 1(), 2 , 1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii或,1ijijMaD 利用前面的結(jié)果，有利用前面的結(jié)果，有式的計(jì)算式的計(jì)算的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化行列的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化行列這一法則并結(jié)合行列式這一法則并結(jié)合行列式用用展開法則，利展開法則

4、，利列列行行這個(gè)定理叫做行列式按這個(gè)定理叫做行列式按 )(5證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000,002111211nnnninnaaaaaaa6), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii 根根據(jù)據(jù)引引理理，即即得得), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 可得可得類似的，若按列證明，類似的，若按列證明，證畢證畢推論推論jiAaAaAajiAaAaAanjnijijijninjiji, 0, 0.)()(22112211或即式乘

5、積之和等于零的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子列的元素與另一行列行列式某一行7例例1.),(,31423131501112534131211114131211MMMMAAAAAMjiDDijij 及及求求，和和式式依依次次記記作作元元的的余余子子式式和和代代數(shù)數(shù)余余子子的的設(shè)設(shè)解：解：行所得的行列式，即的第代替等于用因?yàn)?1, 1, 1, 114131211DAAAA8aaaaaaannn11222111100010000011000110001D2：例求D=?分析：特點(diǎn)是分析：特點(diǎn)是n行作和為行作和為0，0，01，再展開，再展開即可降階！即可降階！aaaaaarrrrnnnn112221112110001

6、000001100011100001 ,1解：D1)1()1(111nnr展開按9有些問(wèn)題可以用升階法！有些問(wèn)題可以用升階法！0,111111111D321naaaain：求例aaaDDnnn1111111111110001211解：10綜述綜述：行列式計(jì)算歸納為1。二三階行列式可用對(duì)角線法則對(duì)角線法則直接計(jì)算。2。某些特殊行列式觀察其特點(diǎn)觀察其特點(diǎn)用行列式定義及其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。3。把所給行列式化為上三角或下三角行列式化為上三角或下三角行列式進(jìn)行計(jì)算。（計(jì)算機(jī)就是如此做?。?。利用降階法降階法將高階行列式化為低階行列式計(jì)算（或升階法升階法把低階行列式化為高階行列式計(jì)算）。11練習(xí)練習(xí) .335111024315