牛頓插值多項(xiàng)式學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式第一頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。第二節(jié)牛頓插值多項(xiàng)式第二節(jié)牛頓插值多項(xiàng)式本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :一一. . 均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì)二二. Newton均差插值公式均差插值公式三三. . 小結(jié)小結(jié)第1頁(yè)/共15頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。一一. . 均差及其性質(zhì)均差及其性質(zhì)對(duì)于對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值的插值(,() (0,1, )iixf xin 問(wèn)題問(wèn)題, 將將n 次插值多項(xiàng)式寫(xiě)成如下形式次插值多項(xiàng)式寫(xiě)成如下形式 010201011( )()()()()()()nnnNxaaxxaxxxxaxxxxxx (0,1, )kakn

2、為待定系數(shù)為待定系數(shù). 由插值條件由插值條件()() (0,1, ),njjNxf xjn 多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式稱為牛頓牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式. 形如上式的插值形如上式的插值 第2頁(yè)/共15頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。當(dāng)當(dāng)1xx 時(shí)時(shí),101101()()()nNxaa xxf x 10110()()f xf xaxx 當(dāng)當(dāng)2xx 時(shí)時(shí),20120220212()()()()()nNxaa xxaxxxxf x2012022021()()()()f xaaxxaxxxx 202021()()()f xf xxxxx 1010()()f xf xxx 1a000()()

3、naNxf x 當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí),第3頁(yè)/共15頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。依次遞推可得依次遞推可得 34,.na aa定義定義 1 記記 (),iif xf x 稱稱if x為為( )f x關(guān)于關(guān)于xi 的的零階均差零階均差.稱稱 111,iiiiiif xf xf xxxx 為為( )f x關(guān)于關(guān)于xi , xi+1的的一階均差一階均差.121122,iiiiiiiiif xxf x xf x xxxx 稱為稱為二階均差二階均差.1021211020()()()()()f xf xf xf xxxxxxx 第4頁(yè)/共15頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。一般地一般地,

4、k 階均差階均差為為 12111,iii kiii kiii ki kif xxxf x xxf x xxxx 均差有如下基本性質(zhì)：均差有如下基本性質(zhì)： 定理定理 1: (1) 均差與函數(shù)值的關(guān)系為均差與函數(shù)值的關(guān)系為010011(),()()()()njnjjjjjjjnf xf xxxxxxxxxxx (2) 均差與節(jié)點(diǎn)的排列順序有關(guān)均差與節(jié)點(diǎn)的排列順序有關(guān), 即即 01,nf xxx 102,nf xxxx110,nnf xxxx 第5頁(yè)/共15頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。012011011,(3),kkkkkkf x xxxf x xxf x xxxx (4) 若函數(shù)若函數(shù)

5、 ( )f x在在 , a b上存在上存在n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)且節(jié)點(diǎn) 01, , ,nxxxa b 則則 , ,a b 使得使得 ( )01( ),!nnff xxxn 第6頁(yè)/共15頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。ixif x0 x1x2x3xnx0f x1f x2f x3f xnf x01,f xx12,f xx23,f xx1,nnf xx 012,f xxx123,f xxx21,nnnf xxx03,f xx3,nnf xx 01,nf xxx一階均差二階均差三階均差n階均差計(jì)算均差可按下表逐行進(jìn)行計(jì)算均差可按下表逐行進(jìn)行 第7頁(yè)/共15頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十

6、四分。二二. . Newton均差插值公式均差插值公式定理定理2 設(shè)設(shè) ( )nNx是滿足插值條件是滿足插值條件 ()()niiiNxf xy (0,1, )in 的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式, 而且余項(xiàng)而且余項(xiàng) 010( )( )( ),()nnnniiRxf xNxf xxxxx (2)001001201( ),(),()()nNxf xf x xxxf x x xxxxx 01011,()()()nnf xxxxxxxxx (1)則則第8頁(yè)/共15頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。證證 明明 將將x 看成看成 , a b上一點(diǎn)上一點(diǎn), 可得可得000( ) ,(),f xf xf xf

7、 x xxx 001011 , ,(),f x xf xxf x xxxx 010120122 , ,(),f x xxf xxxf x xxxxx 010101 , ,(),nnnnf x xxf xxxf x xxxxx 依次將后一式代入前一式依次將后一式代入前一式, 得得 001001201( ),(),()()f xf xf xxxxf xxxxxxx01011,()()()nnf xxxxxxxxx 011( ,)( ),( )nnnnf x xxxNxRxx 第9頁(yè)/共15頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。上式中上式中( )nNx是是(1)式式, ( )nRx就是就是(2)式

8、式. 由由(2)式有式有 ()() (0,1, )niiNxf xin 因此由因此由(1) 定義的定義的 ( )nNx是滿足插值條件是滿足插值條件 ()()(0,1, )niiiNxf xy in的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式. 證畢證畢. .第10頁(yè)/共15頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。例例 1 已知已知 ( )f xshx 的離散數(shù)據(jù)如下表：的離散數(shù)據(jù)如下表： ix()if x0.000.200.300.500.000000.201340.304520.52110用用Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式, 計(jì)算計(jì)算 (0.23)f估計(jì)誤差估計(jì)誤差. 的近似值并的近似值并 解解 均差計(jì)算的

9、結(jié)果如下表均差計(jì)算的結(jié)果如下表 第11頁(yè)/共15頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。ixif x一階均差二階均差三階均差0.000.200.300.500.000000.201340.304520.521101.00671.03181.08290.083670.170330.17332則則Newton插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為 3( )1.00670.08367 (0.20) 0.17332 (0.20)(0.30)N xxx xx xx 由此算出由此算出 3(0.23)(0.23)0.23203fN (4)( ),fxshx 因因余項(xiàng)為余項(xiàng)為 31( )(0.20)(0.30)(0.50

10、),00.54!R xx xxxshx 第12頁(yè)/共15頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。估計(jì)誤差估計(jì)誤差 336|(0.23)|(0.23)(0.23)|10.23 0.03 0.07 0.27 0.533 1024RfN 若增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)若增加一個(gè)節(jié)點(diǎn) 0.60,x 只需再增加如下一行：只需再增加如下一行： ixif x一階均差二階均差三階均差0.000.200.300.500.600.000000.201340.304520.521100.636651.00671.03181.08291.15550.083670.170330.242000.173320.17918四階均差0.00976 插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為 43( )( ) 0.00976 (0.20)(0.30)(0.50)N xN xx xxx 第13頁(yè)/共15頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期二：三點(diǎn) 四十四分。三三. . 小