空間解析幾何ppt課件

1、空間解析幾何空間解析幾何第六章第六章4. 空間中的平面與直線空間中的平面與直線u空間中的平面及其方程?？臻g中的平面及其方程。u空間直線及其方程?？臻g直線及其方程。幾何上，任給空間中某一點(diǎn)，及某一方向，都可且?guī)缀紊希谓o空間中某一點(diǎn)，及某一方向，都可且只可做一條過該定點(diǎn)且垂直于給定方向的平面。下面用只可做一條過該定點(diǎn)且垂直于給定方向的平面。下面用解析式描述此幾何關(guān)系解析式描述此幾何關(guān)系.任取平面任取平面上一點(diǎn)上一點(diǎn)M(x, y, z).故故 nM0M=0.設(shè)：平面設(shè)：平面過定點(diǎn)過定點(diǎn)M0(x0, y0, z0)且垂直于方向且垂直于方向n=(A, B,C).由已知，由已知，nM0M， M0Mxzy

2、0 n (A, B, C) (x x0, y y0, z z0)= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)= 0.即平面即平面上任意點(diǎn)上任意點(diǎn)M(x, y, z)都滿足方程都滿足方程(1).反之若反之若(x, y, z)滿足滿足(1)，則由，則由(1).(1)n與與 M0M 垂直垂直. 即即M在平面在平面 上上.我們稱垂直于平面我們稱垂直于平面 的任何非零向量為的任何非零向量為的法的法方向或法向，方向或法向，因而，因而，n即為即為 之一個(gè)法向之一個(gè)法向.方程方程(1)依賴于法向依賴于法向n及定點(diǎn)及定點(diǎn)M(x0, y0, z0). 故故(1)稱為平面稱為平面 的法點(diǎn)式方程的法點(diǎn)式方程.A

3、(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0法點(diǎn)式方程法點(diǎn)式方程例例 1 1 求求過過三三點(diǎn)點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程. 解解取取ACABn ),1, 9,14( 所求平面的點(diǎn)法式方程為所求平面的點(diǎn)法式方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx),6, 4 , 3( AB).1, 3 , 2( AC例例 2 2 求求過過點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx 和和051223 zyx的的平平面面方方程程. 1 7nzyx的法向量為的法向量為 2 05122

4、3nzyx的的法法向向量量為為取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解),1 , 1, 1( )12, 2, 3( 一般地，設(shè)平面一般地，設(shè)平面 過過M1, M2, M3三點(diǎn)三點(diǎn), M1, M2, M3不共線不共線. 即即. 03121MMMM則得平面方程為：則得平面方程為：, 0)(31211MMMMMM即即, 0),(111131312121212 zzyyxxzzyyxxzzyyxxkji. 0131312121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三平面

5、的三點(diǎn)式方程點(diǎn)式方程.由點(diǎn)法式方程由點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx0 DCzByAx法向量法向量).,(CBAn ;（一一次次方方程程）反反之之，對對一一次次方方程程D (1) 0 DCzByAx，則則取取其其一一解解),( 000zyx0000 DCzByAx同同解解于于 (1) 0)()()(000 zzCyyBxxA的的圖圖形形是是平平面面。 (1) 平面的一般式方程。平面的一般式方程。平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面

6、通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn) )2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx 垂垂直直，求求此此平平面面方方程程。 設(shè)平面設(shè)平面 ：, 0 DCzByAx由過由過原點(diǎn)知原點(diǎn)知, 0 D由由 過點(diǎn)過點(diǎn))2, 3, 6( 知知 0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA 所求平面方程為所求平面方程為解解. 032

7、2 zyx，不不全全為為、0CBA，、可可取取322 CBA設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 平平面面方方程程為為0)()()( DxcDybDxaD1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程即即x軸上截距軸上截距y軸上截距軸上截距z軸上截距軸上截距解：如圖解：如圖 M1NM0 設(shè)平面設(shè)平面 : Ax+By+Cz+D=0. 那么那么平面上點(diǎn)平面上點(diǎn)M1(x1, y1, z1)滿足滿足 A1x+B1y+C1z+D1=0.由于由于 M0N 為之法向?yàn)橹ㄏ?故故M0N

8、/ (A, B, C).n |0NMd |cos|10 MM即即|0NMd |cos|10 MM|101010nMMnMMMM |10nnMM ,| )()()(|22200101CBAzzCyyBxxA .|222000CBADCzByAxd 即即點(diǎn)到平面的點(diǎn)到平面的距離公式距離公式我們目前已對平面本身的解析關(guān)系描述得我們目前已對平面本身的解析關(guān)系描述得較清楚了較清楚了. 現(xiàn)在討論兩平面間的關(guān)系現(xiàn)在討論兩平面間的關(guān)系.一般說來，兩平面的關(guān)系有以下幾種一般說來，兩平面的關(guān)系有以下幾種兩平面平行不重合兩平面平行不重合.兩平面平行重合兩平面平行重合.兩平面不平行相交兩平面不平行相交兩平面法向一致但

9、無交點(diǎn)兩平面法向一致但無交點(diǎn)兩法向一致且有交點(diǎn)兩法向一致且有交點(diǎn)兩平面垂直兩平面垂直相交但不垂直相交但不垂直兩法向垂直兩法向垂直兩法向不共線兩法向不共線也不垂直也不垂直橋梁橋梁法向夾角法向夾角 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.如何求其間夾角如何求其間夾角？分別為分別為 1 ， 2 的法向，的法向，故故 cos |2121nnnn,222222212121212121CBACBACCBBAA 20 定義定義: 兩平面兩平面 1, 2 的法方向的法方向n1, n2的夾角的夾角稱為平面稱為平面1和和 2 的夾角的夾角 (通常指銳角通常指銳角).由平面

10、方程，知由平面方程，知n1=(A1, B1, C1)、n2=(A2, B2, C2)A1A2+B1B2+C1C2=0;兩平面平行兩平面平行0222111 CBACBAkjikBABAjCACAiCBCB)()()(122112211221 =) , ,(122112211221BABACACACBCB =A1:A2=B1:B2=C1:C2.兩平面垂直兩平面垂直n1n2=0n1n2=0 A1:A2=B1 : B2=C1 : C2 .000即即平行不重合平行不重合重合重合A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2;A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2 .特殊情形：特殊情形：例例5.

11、 設(shè)平面設(shè)平面 過點(diǎn)過點(diǎn)M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且與且與平面平面1：x+y+z=0垂直，垂直， 求平面求平面 .而而 過點(diǎn)過點(diǎn)M1, M2. 故故平面平面 / M1M2 .設(shè)設(shè)1法向法向n1=(1, 1, 1).因而，平面因而，平面 n1M1M2 . n1 M1M2 即即 的法向的法向 n =n1M1M2 .那么那么 平面平面 / n1 .解：解：110111kji kj ).1 , 1 , 0( 故得平面故得平面方程為方程為. 0)0()0()1(0 zyx即即. 0 zy)01 , 01 , 11()1 , 1 , 1( n例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系

12、：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx解解 cos601 兩平面相交，且夾角兩平面相交，且夾角.601arccos 2222231)1(2)1(|311201| 解解),1, 1,2(1 n)2,2,4(2 n,212142 兩平面平行。兩平面平行。21)0 , 1 , 1( )0 , 1 , 1( MM且且兩平面不重合兩平面不重合 如果一個(gè)非零向量平行于直線如果一個(gè)非零向量平行于直線L L，就稱這個(gè)向，就稱這個(gè)向量為直線量為直線 的一個(gè)方向向量的一個(gè)方向向量xyzo0M M sr0rl,),( 0000LzyxM 設(shè)設(shè)的的

13、一一個(gè)個(gè)方方向向向向量量為為 ),(Lpnms 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為為LzyxM),(00,rOMrOM u 點(diǎn)點(diǎn) 在在 直線直線 l 上的充要條件是上的充要條件是 0M共共線線與與sMM0s trrs tMM 00亦即亦即即即（1式叫做直線式叫做直線 l 的向量式參數(shù)方程的向量式參數(shù)方程)1()(0為為參參數(shù)數(shù)故故ts trr sMM/ 0因因?yàn)闉橹本€的直線的(坐標(biāo)式坐標(biāo)式)參數(shù)方程參數(shù)方程，s tMM 0，即即),(),( 000pnmtzzyyxx ptzzntyymtxx000得得:L將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)將直線的參數(shù)方程中的參數(shù) t 消去，則可得到消去，則可得到pzznyymxx00

14、0 直線直線L的標(biāo)準(zhǔn)方程或的標(biāo)準(zhǔn)方程或?qū)ΨQ式方程。對稱式方程。直線直線L的一組方向數(shù)。的一組方向數(shù)。方向向量的方向余弦稱為該直線的方向余弦方向向量的方向余弦稱為該直線的方向余弦解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx，則則，、若若2122221111),(),( MMLzyxMzyxM :L121121121zzzzyyyyxxxx 兩點(diǎn)式方程。兩點(diǎn)式方程。注：注：1 2 L若空間直線若空間直線L為兩平面為兩平面0:11111 DzCyBxA0:22222 Dz

15、CyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA:L那那么么的交線，的交線，空間直線的一般方程?？臻g直線的一般方程。xyzo(不唯一不唯一)在直角坐標(biāo)系下，在直角坐標(biāo)系下， 兩平面的法向量分別為兩平面的法向量分別為21 和和,22221111CBAnCBAn 22112211221121,BABAACACCBCBnns所以直線所以直線 l 的方向向量可取為的方向向量可取為例例 8 將直線將直線L 化成對稱式方程化成對稱式方程 0220123zyxzyx解：平面解：平面 的法向量的法向量0123:1 zyx )1 , 2, 3(),(1111 CBAn022:2 zyx ) 1, 1

16、 , 2(),(2222 CBAn平面平面 的法向量的法向量21,nLnL 求直線求直線L上一點(diǎn)上一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)令令x0=1 那那么么 042zyzy得得 Y0=4,z0=4745411 zyx所求直線所求直線L方程為方程為kjikjinns7511212321 的的方方向向向向量量直直線線 l解解 先作過點(diǎn)先作過點(diǎn)M且與已知直線且與已知直線 L 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,，由由 tztytx1213LM N代入平面方程，得代入平面方程，得,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取方向向量取方

17、向向量MN)373, 1713, 272( ),4 , 1, 2(76 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx另解另解: 12131:)3 , 1 , 2( 垂垂直直的的平平面面且且與與已已知知直直線線先先做做過過點(diǎn)點(diǎn)zyxLMLM )0 , 1 , 1(0LM L)1, 2 , 3()3 , 0 , 3(/0 sMMns所所求求直直線線： 0)3() 1( 2)2( 3 zyx0)3() 1( 2)2( zyx）（1 , 2 , 16 再求過再求過M與與L的的：0)3() 1( 2)2(: zyx. 0)3()1(2)2(3 zyx2L1L則兩直線夾角則兩直線夾角 滿滿足足21,

18、 LL設(shè)直線設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角兩直線的夾角指其方向向量間的夾角( (通常取銳角通常取銳角) )的方向向量分別為的方向向量分別為2121cosssss 1s2s),(, ),(22221111pnmspnms 212121pnm222222pnm212121ppnnmm特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss例例10 10 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角解解: : 直線直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L)

19、1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 當(dāng)直線與平面垂直時(shí)當(dāng)直線與平面垂直時(shí), ,規(guī)定其夾角規(guī)定其夾角L 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)當(dāng)直線與平面不垂直時(shí), ,設(shè)直線設(shè)直線 L L 的方向向量為的方向向量為 平面平面 的法向量的法向量為為.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn則直線與平面夾角則直線與平面夾角 滿足滿足線所夾銳角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角稱為直線與平面間的夾角解解:),2, 1, 1( n),2, 1, 2(