(完整word版)高考函數(shù)知識點總結(jié)(全面)

1、高考函數(shù)總結(jié)函數(shù)的概念與表示1、函數(shù)（1）函數(shù)的定義 原始定義：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x 、y，如果對于 x 在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值， y 都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱 y 是 x 的函數(shù)， x 叫作自變量。 近代定義：設(shè) A、B都是非空的數(shù)的集合， f：xy是從 A到 B的一個對應(yīng)法則，那么從 A到 B 的映 射 f：AB就叫做函數(shù)，記作 y=f（x） ，其中 x A, y B ，原象集合 A 叫做函數(shù)的定義域，象集合 C叫做函數(shù)的值域。 C B（ 2 ）構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域 對應(yīng)法則 值域3、函數(shù)的表示方法 解析法 列表法 圖象法注意：強(qiáng)調(diào)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的表示形式

2、。 二、函數(shù)的解析式與定義域1、函數(shù)解析式：函數(shù)的解析式就是用數(shù)學(xué)運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫解析式， 求函數(shù)解析式的方法：（1） 定義法（ 2）變量代換法（4）函數(shù)方程法（5）參數(shù)法（3）待定系數(shù)法（6）實際問題2、函數(shù)的定義域：要使函數(shù)有意義的自變量x 的取值的集合。求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；（4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集3。復(fù)合函數(shù)定義域：已知 f（x）

3、的定義域為 x a, b ,其復(fù)合函數(shù) f g（ x） 的定義域應(yīng)由不等式a g（x） b 解出。三、函數(shù)的值域1函數(shù)的值域的定義在函數(shù) y=f（x） 中，與自變量 x 的值對應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域2確定函數(shù)的值域的原則 當(dāng)函數(shù) y=f（x） 用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù) y 的集合； 當(dāng)函數(shù) y=f（x） 用圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在 y 軸上的投影所覆蓋的實數(shù) y 的集合； 當(dāng)函數(shù) y=f（x） 用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定； 當(dāng)函數(shù) y=f（x） 由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。3求函數(shù)值域的

4、方法 直接法：從自變量 x 的范圍出發(fā)，推出 y=f（x） 的取值范圍； 二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域； 反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域； 判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出 y 的取值范圍； 單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域； 不等式法：利用不等式的性質(zhì)求值域； 圖象法：當(dāng)一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域； 幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。四 函數(shù)的奇偶性1定義: 設(shè)y=f(x) ，xA，如果對于任意 xA，都有 f( x) f(x)，則稱 y=f(x)為偶函數(shù)。設(shè) y=f(x) ， xA，如果對于任意 xA，都有 f( x)

5、 f(x)，則稱 y=f(x)為奇函數(shù)。如果函數(shù) f(x)是奇函數(shù)或 偶函數(shù)，則稱函數(shù) y= f (x) 具有奇偶性。2. 性質(zhì)：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱， y=f(x) 是偶函數(shù)y=f(x) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱 , y=f(x) 是奇函數(shù) y=f(x) 的圖象關(guān)于原點對稱 , 偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間 上單調(diào)性相同， 偶函數(shù)無反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)， 若函數(shù) f(x) 的定義域關(guān)于原點對稱，則它可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和11f(x) 12 f(x) f( x) 12 f(x) f(

6、x) 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1D2要關(guān)于原點對稱 對于F(x)=fg(x) :若g(x)是偶函數(shù)，則 F(x)是偶函數(shù)若 g(x)是奇函數(shù)且 f(x)是奇函數(shù)，則 F(x)是奇函數(shù)若 g(x)是奇函數(shù)且 f(x)是偶函數(shù)，則 F(x)是偶函數(shù)3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點對稱看 f(x)與f(-x)的關(guān)系五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義 一般地，設(shè)一連續(xù)函數(shù) f(x) 的定義域為 D ，則? 如果對于屬于定義域 D 內(nèi)某個區(qū)間上的 任意兩個自變量的值 x1，x2D 且 x

7、1>x2，都有 f(x1) >f(x2)， 即在 D 上具有單調(diào)性且 單調(diào)增加 ，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是 增函數(shù) 。? 相反地，如果對于屬于定義域 D 內(nèi)某個區(qū)間上的 任意 兩個自變量的值 x1，x2D 且 x1>x 2，都有 f(x1) <f(x 2)，即在 D上具有單調(diào)性且 單調(diào)減少 ，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是 減函數(shù)。則增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱 單調(diào)函數(shù) 。2、判斷函數(shù)單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)的方法：(1) 從定義入手，(2)從圖象入手， (3)從函數(shù)運算入手， (4)從熟悉的函數(shù)入手(5) 從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手 注：函數(shù)的定義域優(yōu)先3、函數(shù)單調(diào)

8、性的證明：定義法“取值作差變形定號結(jié)論”。4、一般規(guī)律( 1 )若 f(x),g(x) 均為增函數(shù)，則 f(x)+g(x) 仍為增函數(shù)；(2) 若 f(x)為增函數(shù)，則 -f(x) 為減函數(shù)；(3) 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；4)設(shè) y f g x 是定義在 M 上的函數(shù)，若 f(x)與 g(x) 的單調(diào)性相反，則 y f g x 在 M 上是減函數(shù)；若 f(x) 與 g(x) 的單調(diào)性相同，則 y f g x 在 M 上是增函數(shù)。六、反函數(shù)1、反函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù) y=f(x) 的定義域為 A，值域為 C，由 y=f(x) 求出 xy ，若對于 C 中的每一個值 y ，在 A 中都

9、有唯一的一個值和它對應(yīng)， 那么 x y 叫以 y 為自變量的函數(shù)， 這個函數(shù) x y 11叫函數(shù) y=f(x) 的反函數(shù)，記作 x f 1 y ，通常情況下，一般用 x 表示自變量，所以記作 y f 1 x 。 注：在理解反函數(shù)的概念時應(yīng)注意下列問題。(1) 只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)；(2) 反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟( 1 )解關(guān)于 x 的方程 y=f(x) ，達(dá)到以 y 表示 x 的目的；(2) 把第一步得到的式子中的 x 換成 y， y 換成 x；(3) 求出并說明反函數(shù)的定義域(即函數(shù)y=f(x) 的值域)。3、關(guān)于反函

10、數(shù)的性質(zhì)(1) y=f(x)和 y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱；(2) y=f(x) 和 y=f-1(x) 具有相同的單調(diào)性；(3) y=f(x) 和 x=f-1(y) 互為反函數(shù)，但對同一坐標(biāo)系下它們的圖象相同；(4) 已知 y=f(x) ，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a ，從中求出 x，即是 f-1(a)；(5) f-1f(x)=x;(6) 若點 P(a,b)在 y=f(x) 的圖象上，又在 y=f -1(x) 的圖象上，則 P(b,a)在 y=f(x) 的圖象上；( 7 )證明 y=f(x) 的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱，只需證得 y=f(x) 反函數(shù)和 y=f(x

11、) 相同；七二次函數(shù)1二次函數(shù)的解析式的三種形式2b(1)一般式： f(x)=ax 2+bx+c(a 0)，其中 a 是開口方向與大小， c 是 Y 軸上的截距，而是對稱軸。2a(2)頂點式(配方式) ：f(x)=a(x-h) 2+k 其中 (h,k) 是拋物線的頂點坐標(biāo)。(3) 兩根式(因式分解) ： f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中 x 1,x2是拋物線與 x 軸兩交點的坐標(biāo)。求一個二次函數(shù)的解析式需三個獨立條件，如：已知拋物線過三點，已知對稱軸和兩點，已知頂點和對稱軸。又如，已知 f(x)=ax 2+bx+c(a 0) ，方程 f(x)-x=0 的兩根為 x1,x2 ，則可

12、設(shè)a x x1 x x2x 。f(x)-x= f x x a x x1 x x2 , 或 f x2二次函數(shù) f(x)=ax 2+bx+c(a 0)的圖象是一條拋物線，對稱軸 xb ，頂點坐標(biāo)2a( b 4 ac b( 2a4a1)a>0 時，拋物線開口向上，函數(shù)在b 上單調(diào)遞減，2a在b2a) 上單調(diào)遞增，2a時，f (x)m in24ac b4a2)a<0 時，拋物線開口向下，函數(shù)在b 上單調(diào)遞增，2a在b2a) 上單調(diào)遞減，b2a時，f (x)m ax4acb24a23二次函數(shù) f(x)=ax 2+bx+c(a 0)當(dāng)b 4ac 0時圖象與 x 軸有兩個交點 M1(x1,0),

13、M2(x2,0)M 1M 2 x1 x2(x1 x2)2 4 x1x2a4二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系方程 ax2 bx c 0(a 0)的根為二次函數(shù) f(x)=ax 2+bx+c(a0) y 0的 x的取值。二次函數(shù)與一2元二次不等式的關(guān)系一元二 次不等式 ax2 bx c 0( 0) 的解集為二次函數(shù)f(x)=ax 2+bx+c(a 0)y 0( 0)的 x的取值范圍二次函數(shù)情況一元二次方程一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c (a>0) =b2-4acax2+bx+c=0 (a>0)2ax +bx+c>0(a>0)2ax +bx+c<0(a>0)圖

14、 象 與 解>0bx12abx22 2axx x1或 x x2xx1 x x2=0bx1 x21 2 2axx x0<0方程無解R八 指數(shù)式與對數(shù)式1冪的有關(guān)概念n個(1)正整數(shù)指數(shù)冪n aaaaa(nN ) ，(2) 零指數(shù)冪 a01 (a0)(3)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪n a1 n aa 0,nNm(4)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a nnmaa0,m,n N ,n 1 ；(5)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪m an1m amn1 nmaa0,m,n N ,n 1(6) 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0,0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)r s r s1 a a a a 0,r,s Q2rs ar r r3 ab

15、arbr a 0,b 0,r Q3根式(1)根式的定義 :一般地，如果 xn a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n根式， n 叫做根指數(shù)， a 叫被開方數(shù)。(2) 根式的性質(zhì) : 當(dāng) n 是奇數(shù)，則 n ana ；當(dāng) n 是偶數(shù)，則 n ana負(fù)數(shù)沒有偶次方根，零的任何次方根都是零ars a 0,r,s Q1,n N ， n a 叫做a a 0a a 04對數(shù)(1)對數(shù)的概念如果ab N(a 0,a 1) ,那么b叫做以 a為底N的對數(shù),記b loga N(a 0,a 1)(2)對數(shù)的性質(zhì)：零與負(fù)數(shù)沒有對數(shù)(3)對數(shù)的運算性質(zhì)loga MNN log alog a M(4)對數(shù)換底

16、公式：log a N5 )對數(shù)的降冪公式： logMNloga log a1 0 log a a 1 loga M loga NN log a M n nlog a M 其中 a>0,a 0,M>0,N>0logmN (N 0,a 0且alog m a1,m 0且 m 1)Nnn log a N(N 0,a m0且 a 1)從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別和九指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù) y=ax 與對數(shù)函數(shù) y=logax (a>0 , a 1)互為反函數(shù)，聯(lián)系名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式Y(jié)=ax (a>0 且 a 1)y=log ax (a>0 ,

17、a 1)定義域(- ,+ )(0,+ )值域(0,+ )(- ,+ )過定點(， 1)(1，)比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同， 可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對數(shù)式比較大小同理） 記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：3、研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù) 的單調(diào)性是解決問題的重要途徑。十函數(shù)的圖象1、1）作函數(shù)圖象的基本方法有兩種：描點法： 1、先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)

18、（奇偶性，單調(diào)性，周期性）2、列表（注意特2）殊點，如：零點，最大最小，與軸的交點）圖象變換法：利用基本初等函數(shù)變換作圖連線如：作出函數(shù)1 的圖象x平移變換：左正右負(fù)，上正下負(fù)）即(x)0 , 右移;h 0 ,左移( x h)y對稱誰，誰不變，對稱原點都要變）(x)0 , 下移;k 0 ,上移( x) kyf ( x )x軸yf (x )yf ( x )y軸yf( x )yf ( x )原點yf ( x )yf ( x )yxyf1 ( x)y 軸右邊不變，左邊為右邊部分的對稱圖yf ( x )y保留x 軸上方圖，將x軸下方圖上翻yf ( x )xyf(仍一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?來的 1伸縮變換：

19、yf (x)仍一點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍yf ( x)對稱變換：f倍y(x)x)f(x)Af ( x)導(dǎo)數(shù)與積分1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù) y=f（x）,如果自變量 x 在 x 0處有增量 x ，那么函數(shù) y相應(yīng)地有增量 y =f（x 0+ x ） f（ x 0 ），比 y y f （ x0x） f （ x0 ）值 x叫做函數(shù) y=f（x）在x0到x0+ x之間的平均變化率，即 x = x 。如果當(dāng)yx 0 時， x 有極限，我們就說函數(shù) y=f（x） 在點 x 0 處可導(dǎo)，并把這個極限叫做 f（ x）在點 x 0 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f '( x 0)或 y'x|x0 。yf (x0x

20、) f(x0)lim lim即 f (x 0 )= x 0 x = x 0 x 。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f ( x)在點 x 0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f(x)在點 p(x0，f(x 0 )處的切線的斜率。也就 是說，曲線 y=f( x )在點 p(x 0，f(x 0 )處的切線的斜率是 f '(x 0 )。相應(yīng)地，切線方程為 yy0=f(x0)xx 0)。3幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : C 0;n1nx (sin x)cosx (cos x)sin xx x x(ex)ex; (ax)ax ln aln xx;loga x1loga ex4兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則(u v)

21、 u v .(uv)uvuv .u'v uv'2vv 0)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù) y f(x) 在某個區(qū)間可導(dǎo)， 如果 f (x) 0，則 f (x)為增函數(shù)； 如果 f (x) 0，則 f(x) 為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有 f (x) 0，則 f (x) 為常數(shù)；2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為 0，極值點處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)； 曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3最值：一般地，在區(qū)間 a，b上連續(xù)的函數(shù) f (x) 在a， b上必有最大值與最小值。 求函數(shù) ?(x) 在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù) ?(x) 在區(qū)間端點的值 ?(a)、?(b)； 將函數(shù) ? (x) 的各極值與 ?(a)、 ?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分(1)概念：設(shè)函數(shù) f(