概率3-2邊緣分布1ppt課件

1、復習回顧：復習回顧： F x, yP Xx ,Yy ,x, y F x y2 2、分分布布函函數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì), , （ ）是是關關于于變變量量和和的的不不減減函函數(shù)數(shù)1F x yxy.,;.,; 201 （ ）F x y. ., ,3Fy0 F x0F0 F1( (, , ) ), , ( ( , ,) )( (, ,) ), , ( (, ,) ) （ ）（4 4關于關于x x或或y y右連續(xù)右連續(xù)（5 5對對 , ,有有2121,yyxx0),(),(),(),(12112122yxFyxFyxFyxF3 3、二維離散型隨機變量、二維離散型隨機變量(X,Y)(X,Y)及分布律及分

2、布律,),(ijjipyYxXP,1,2,i j ijijijpjip1, 2 , 1, 0 ,yxF x yf u v dudv 1 .f x,y0; （ ） 3 （ ）設設是是平平面面上上的的區(qū)區(qū)域域 則則有有G.GxOy,PX ,YGfx, y dxdy ;2 F( x, y )f ( x, y )x y在在 f (x,y)的連續(xù)點的連續(xù)點 ,4 .（ ） 2 .,1; fx y dxdy（ ）第四節(jié)第四節(jié) 邊緣分布邊緣分布邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)離散型隨機變量的邊緣分布律離散型隨機變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度課堂練習課堂練習 假設假設(X,Y

3、)為二維隨機變量，則它的分量為二維隨機變量，則它的分量X或者或者Y為一維隨機變量，為一維隨機變量，X和和Y也具有也具有分布，把變量分布，把變量X(或或Y)的分布分別稱為二維隨的分布分別稱為二維隨機變量機變量X,Y的邊緣分布的邊緣分布. 問問:(X,Y)聯(lián)合分布和邊緣分布之間的關系聯(lián)合分布和邊緣分布之間的關系?這一節(jié)里這一節(jié)里,我們就來探求這個問題我們就來探求這個問題 .設二維隨機變量設二維隨機變量 (X,Y)有聯(lián)合分布函數(shù)為有聯(lián)合分布函數(shù)為 ,F x y隨機變量隨機變量 和和 的分布函數(shù)分別記為的分布函數(shù)分別記為XY ,XYFxFy XFxP Xx(X,Y) 的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù),稱其

4、為二維稱其為二維R.V. ,YFyP YyP XYyFy ,P Xx Y ,F x 且有且有一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù)(1)(1)(2)(2) 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)為為，設設二二維維隨隨機機變變量量YX 21F xyarctanxarctany22 ， yx，試試求求：XY及及的的邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)例例1X2Fx1arctanxarctany221arctanx ,x2 y y解解：( )=F(x,+ )( )=F(x,+ )=lim=lim1arctany ,y2 Y Y同同理理F F( (y y) )= =設離散型設離散型 R.V. ( X,Y )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分

5、布律為稱稱 X和和Y的分布律分別為的分布律分別為(X,Y) 的邊緣分布律，且的邊緣分布律，且, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP iijijj 1j 1XxXx ,Yy Xx ,Yy U UU U二、離散型隨機變量的邊緣分布律二、離散型隨機變量的邊緣分布律ip (3)(3)(X,Y) 關于關于 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為jyYP ijijji 1i 1PXx ,Yypp 1,2,j 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.(4

6、)(4)下下表表表表示示的的邊邊緣緣分分布布律律也也可可以以由由以以及及YXpi. pi. 0.20.25 50.40.40.0.0.0.3535X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05p.j0.250.50.25例例2.設設(X,Y)的聯(lián)合分布律表為的聯(lián)合分布律表為:求隨機變量求隨機變量X,Y的邊緣分布律的邊緣分布律.例例3 擲一枚骰子，直到出現(xiàn)小于擲一枚骰子，直到出現(xiàn)小于5點為止。變量點為止。變量 X 表示表示最后一次擲出的點數(shù)，最后一次擲出的點數(shù)，Y 為擲骰子的次數(shù)。求：隨機變?yōu)閿S骰子的次數(shù)。求：隨機變量量X,Y ) 的聯(lián)合分布

7、律及的聯(lián)合分布律及 X、Y 的邊緣分布律。的邊緣分布律。解：解：X 的可能取值為的可能取值為1，2，3，4，Y 的可能取值為的可能取值為1，2，3，(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為,jYiXPpij 121()66 j, 2 , 1. 4 , 3 , 2 , 1 ji前前j-1次擲的點數(shù)均不小次擲的點數(shù)均不小于于5，第，第j次擲出次擲出 i(5) 點。點。X 的邊緣分布律為的邊緣分布律為iijj 1P(Xi)pp , 2 , 1; 4 , 1,61)62(1 jipjij 1161)62(jj41311161 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為4jiji 1P(Yj)pp 41161)62

8、(ijj 121( )33 . 4 , 3 , 2 , 1 i, 2 , 1 j例例4 4 袋中有二個白球，三個黑球，從中取兩次球袋中有二個白球，三個黑球，從中取兩次球1:X0 第第一一次次取取到到白白球球定定義義第第一一次次取取到到黑黑球球1Y0 第第二二次次取取到到白白球球第第二二次次取取到到黑黑球球分有放回和無放回討論，求：分有放回和無放回討論，求：(X,Y(X,Y的聯(lián)合分布律及邊的聯(lián)合分布律及邊緣分布律緣分布律. .解：有放回解：有放回01011jpXY ip53535253535252525352535201011jpXYip425342534352415253525352不放回不放

9、回聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關系：聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關系：由聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律由聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律;但由邊緣但由邊緣分布律一般不能確定聯(lián)合分布律分布律一般不能確定聯(lián)合分布律.稱稱 X和和Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為(X,Y) 的邊緣密度的邊緣密度函數(shù)，且關于函數(shù)，且關于X 的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為 設連續(xù)型設連續(xù)型 R.V.( X,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為),(yxfX( )()dyfxf x, y 三、連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數(shù)三、連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數(shù) x 關于關于Y 的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為Y( )()dxfyf x,

10、 y y (5)(5)(6)(6)例例5 設設 (X,Y) 的密度函數(shù)是的密度函數(shù)是解解求求 兩個邊緣密度函數(shù)兩個邊緣密度函數(shù).24y(2),0 x1,0( ,y)50, 其其它它xyxf x dyyxfxfX,xxy0yx 1x當當 時時 10,0,0. Xxxyf x yfx或都有故暫時固定暫時固定 00,. Xxxfxfx y dyfx y dyfx y dyfx y dy當當 時時,01x 24y(2),0( ,y)50, 其其它它xyxf xxy0yx 1xx),2(5122xx注意取值范圍注意取值范圍xdyxy0)2(524 .,0,10,25122其它其它xxxxfX綜上綜上 ,

11、 dxyxfyfY, 1000 當當或或時時對對都都有有故故Yyy,x,fx, y,fy.0y1,當當時時yx yyy11y暫時固定暫時固定0yx 11 Yyyfyfx, y dxfx, y dxfx, y dxfx, y dx24y(2),y( ,y)50, 其其它它xx1f x),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY綜上綜上 ,注意取值范圍注意取值范圍課堂練習課堂練習 設設(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求X 和和 Y 的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù).xyx xy0 xx ,Xfxf

12、x y dy 解解暫時固定暫時固定當當 時時,0 x 當當 時時,0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx 暫時固定暫時固定yx xy0 ,Yfyfx y dx 暫時固定暫時固定yyy暫時固定暫時固定當當 時時,0y 當當 時時,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 解解: 22222()21)yxxyyxx因為因為所以所以 22221(1)2 12121, Xyxxfxedx y dyfy定理：定理： 設二維正態(tài)隨機變量設二維正態(tài)隨機變量(X,Y) 那么那么 N(0,0,1,1, ) 2221

13、(2)2(1)21,21 xxyyfx ye(0,1),(0,1)XNYN變量變量 21,1 tyx令則有則有 222212 xtXfxeedt22122 xe2212 xe x 22212 122121 y xxeedy同理同理 2212 yYfye y 由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. 也就是說也就是說,對于給定的對于給定的 不同的不同的 對應對應1212, 不同的二維正態(tài)分布不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明此例表明注：注：1)1) 的兩個邊緣分布都是一維標準的兩個邊緣分布都是一維標準正態(tài)分布正態(tài)分布N(0,1) ,并且不依賴于參數(shù)并且不依賴于參數(shù) .N(0,0,1,1, ) 2)推廣推廣:設二維隨機變量設二維隨機變量 , 則變量則變量X ,變量變量Y .221212(,) (, )X YN 211(,