經(jīng)典高考概率分布類型題歸納

1、 經(jīng)典高考概率類型題總結(jié)1、 超幾何分布類型2、 二項(xiàng)分布類型三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的對(duì)比四、古典概型算法五、獨(dú)立事件概率分布之非二項(xiàng)分布（主要在于如何分類）六、綜合算法一、超幾何分布1.甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè).（1）若甲、乙二人依次各抽一題，計(jì)算：甲抽到判斷題，乙抽到選擇題的概率是多少？甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？（2） 若甲從中隨機(jī)抽取5個(gè)題目，其中判斷題的個(gè)數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.二、二項(xiàng)分布1.某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和

2、一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu).若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在的地區(qū)附近有A，B，C三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們對(duì)社區(qū)醫(yī)院的選擇是相互獨(dú)立的.（1）求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率；（2）求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；（3）設(shè)4名參加保險(xiǎn)人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望2.某廣場(chǎng)上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是，出現(xiàn)綠燈的概率都是.記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為X，當(dāng)這排裝飾燈閃爍一次時(shí)：(1)求X2時(shí)的概率；(2)求X的數(shù)學(xué)期望解(1)依題意知：X2表示4盞裝飾燈閃爍一次時(shí)，恰好有2盞燈出現(xiàn)紅燈，而每盞燈出現(xiàn)紅燈

3、的概率都是，故X2時(shí)的概率PC22.(2)法一X的所有可能取值為0,1,2,3,4，依題意知P(Xk)Ck4k(k0,1,2,3,4)X的概率分布列為X01234P數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×4×.三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的對(duì)比有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地依次任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則P（X） .辨析：1.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中不放回地依次任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則P（X） 2. 有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地依次任取件，第k次取到次品的概率，則P（X）

4、 3.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中不放回地依次任取件，第k次取到次品的概率，則P（X） 四、古典概型算法1.一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面分別涂有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體底面上的數(shù)字分別為x1,x2，記X=(x1-2)2+(x2-2)2.（1）分別求出X取得最大值和最小值的概率；（2）求X的概率分布及方差.2.（2012·江蘇高考）設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，=0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)=1（1）求概率P（=0）；（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（） 3.某市公租房的房源位

5、于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中：（1）恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；（2）申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)X的概率分布與期望. 4.設(shè)S是不等式x2x60的解集，整數(shù)m，nS.(1)記“使得mn0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)m2，求的概率分布表及其數(shù)學(xué)期望E()解(1)由x2x60，得2x3，即Sx|2x3由于m，nZ，m，nS且mn0，所以A包含的基本事件為(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于m的所有不同取值為2，1,0,1,2,3，所以m

6、2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(0)，P(1)，P(4)，P(9).故的概率分布表為0149P所以E()0×1×4×9×.5.在高中“自選模塊”考試中，某考場(chǎng)的每位同學(xué)都選了一道數(shù)學(xué)題，第一小組選數(shù)學(xué)史與不等式選講的有1人，選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的有5人，第二小組選數(shù)學(xué)史與不等式選講的有2人，選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析得分情況 .(1)求選出的4人均為選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的概率；(2)設(shè)X為選出的4個(gè)人中選數(shù)學(xué)史與不等式選講的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“從第一小組選出的2人

7、均選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”為事件A，“從第二小組選出的2人均選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”為事件B.由于事件A、B相互獨(dú)立，所以P(A)，P(B)，所以選出的4人均選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的概率為P(A·B)P(A)·P(B)×.(2)X可能的取值為0,1,2,3，則P(X0)，P(X1)··，P(X3)·.P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3).故X的分布列為X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×1 (人)6.已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相

8、同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球現(xiàn)在從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球（I）求取出的4個(gè)球均為黑色球的概率；（II）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（III）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（I）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均黑球”為事件A， “從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨎事件A，B相互獨(dú)立，且取出的4個(gè)球均為黑球的概率為P（AB）=P（A）P（B）=（II）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅紅，1個(gè)是黑球”為事件C， “從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件D 事件C

9、，D互斥，且取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為P（C+D）=P（C）+P（D）=（III）解：可能的取值為0，1，2，3由（I），（II）得 ，又，從而P（=2）=1P（=0）P（=1）P（=3）=的分布列為的數(shù)學(xué)期望五、獨(dú)立事件概率分布之非二項(xiàng)分布（主要在于如何分類）1.開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立且等可能的每把鑰匙試開后不能放回求試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差分析：求時(shí)，由題知前次沒打開，恰第k次打開不過，一般我們應(yīng)從簡(jiǎn)單的地方入手，如，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，推廣到一般解：的可能取值為1，2，3，n；所

10、以的分布列為：12kn； 2. 射擊練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列、期望及方差 某射手進(jìn)行射擊練習(xí)，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進(jìn)入下一組的練習(xí)，否則一直打完5發(fā)子彈后才能進(jìn)入下一組練習(xí)，若該射手在某組練習(xí)中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習(xí)中耗用子彈數(shù)的分布列，并求出的期望與方差（保留兩位小數(shù)）分析：根據(jù)隨機(jī)變量不同的取值確定對(duì)應(yīng)的概率，在利用期望和方差的定義求解解： 該組練習(xí)耗用的子彈數(shù)為隨機(jī)變量，可以取值為1，2，3，4，51，表示一發(fā)即中，故概率為2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故4，表示第一、二、三發(fā)未中，

11、第四發(fā)命中，故5，表示第五發(fā)命中，故因此，的分布列為12345P0.80.160.0320.00640.0016 3. 在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次.某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為（1）求q的值；（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E；（3）試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A，在B處投

12、中為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)=0.25，P(B)= q，根據(jù)分布列知：=0時(shí)=0.03，所以，q=0.8（2）當(dāng)=2時(shí)，P1=0.75q()×2=1.5q()=0.24當(dāng)=3時(shí)，P2 =0.01，當(dāng)=4時(shí)，P3=0.48，當(dāng)=5時(shí)，P4=0.24所以隨機(jī)變量的分布列為：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為；該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72由此看來(lái)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大 4. 某科技公司遇到一個(gè)技術(shù)難題，緊急成立甲、乙兩個(gè)攻關(guān)小組，按要求各自單獨(dú)進(jìn)行為期一個(gè)月的技術(shù)攻關(guān)，同時(shí)決定

13、對(duì)攻關(guān)期滿就攻克技術(shù)難題的小組給予獎(jiǎng)勵(lì)已知這些技術(shù)難題在攻關(guān)期滿時(shí)被甲小組攻克的概率為 被乙小組攻克的概率為.（1）設(shè)X為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)，求X的概率分布及V(X)；（2）設(shè)Y為攻關(guān)期滿時(shí)獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)的2倍與沒有獲獎(jiǎng)的攻關(guān)小組數(shù)之差，求V(Y). 5. 某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值（）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（）記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件，求事件的概率.分析：（2）這是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性問題，需考查對(duì)稱軸相對(duì)閉區(qū)間的關(guān)系，就本題而言，

14、只需即可解：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件 由已知相互獨(dú)立，.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，313所以的分布列為（）解法一：因?yàn)樗院瘮?shù)上單調(diào)遞增，要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)從而解法二：的可能取值為1，3.當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上不單調(diào)遞增.所以 6.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為.(1)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；(2)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為Z，求Z的分布列、數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差解(1)甲、乙兩人射擊命中的次數(shù)服

15、從二項(xiàng)分布，故乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1C3.(2)P(Z0)C3；P(Z1)C3；P(Z2)C3；P(Z3)C3.Z的分布列如下表：Z0123PE(Z)0×1×2×3×，D(Z)2×2×2×2×，.7.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨(dú)立根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5，0.6，0.4.經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.(1

16、)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望與方差解分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A1、A2、A3.(1)設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件合格，則P(E)P(A123)P(1A23)P(12A3)0.5×0.4×0.60.5×0.6×0.60.5×0.4×0.40.38.(2)因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過兩次燒制后合格的概率均為p0.3，所以B(3,0.3)故E()np3×0.30.9，V()np(1p)3×0.3×0.70.63.8.某地最近出臺(tái)一

17、項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.解：的取值分別為1，2，3，4.，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P（）=0.6.，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故 =3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故=4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故李明實(shí)際參加考試次數(shù)的分布列為1234P0.60.2

18、80.0960.024的期望E=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為 1(10.6)(10.7)(1-0.8)(10.9)=0.9976.9.某先生居住在城鎮(zhèn)的A處,準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖( 例如：算作兩個(gè)路段：路段C發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為)（） 請(qǐng)你為其選擇一條由到的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小； （） 若記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望 解：(

19、1)記路段MN發(fā)生堵車事件為MN.因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線D中遇到堵車的概率P1為1()=1()() ()(AC)(CD)P(DB)；同理：路線中遇到堵車的概率P為1()=（小于）；路線中遇到堵車的概率P為1()= （大于）顯然要使得由到的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇 因此選擇路線,可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小. (2) 路線中遇到堵車次數(shù)可取值為0,1,2,3()()， (1)(AC )()()， ()(AC )( )()， (3)( ) ××××。答:路線中遇到

20、堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為10. 分類題型中的難題在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對(duì)”和“錯(cuò)”兩種結(jié)果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯(cuò)誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯(cuò)誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為S n ”（1）當(dāng) p=q= 12 時(shí)，記=|S 3 |，求的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差；（2）當(dāng) p= 13 ，q= 23 時(shí)，求S 8 =2且S i 0（i=1，2，3，4）的概率解：（1）=|S3|的取值為1，3，又；，的分布列為：E=1×+3×=；D=（2）當(dāng)S8=2時(shí)，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯(cuò)誤的題數(shù)是3題，又已知Si0（i=

21、1，2，3，4），若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對(duì)3題；若第一題正確，第二題回答錯(cuò)誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對(duì)3題此時(shí)的概率為 .6 拓展1.某車站每天800900，9001000都恰有一輛客車到站，800900到站的客車A可能在810，830，850到站，其概率依次為;9001000到站的客車B可能在910，930,950到站，其概率依次為.(1) 旅客甲800到站，設(shè)他的候車時(shí)間為，求的分布列和；(2) 旅客乙820到站，設(shè)他的候車時(shí)間為,求的分布列和.（1）旅客800到站，他的候車時(shí)間的分布列為：(分鐘)（2）旅客乙820到站，他的候車時(shí)間的分布列為：103050

22、7050 (分鐘)2.A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差V(Y1)、V(Y2)；(2)將x(0x100)萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值解(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)5×0.810×0.26，V(Y1)(56)2×0.8(106)2×0.24；E(Y2)2×0.28×0.512×0.38，V(Y2)(28)2×0.2(88)2×0.5(128)2×0.312.(2)f(x)VV2V(Y1)2V(Y2)x23(100x)2(4x2600x3×1002)，當(dāng)x75時(shí)，f(x)3為最小值.3