從梯子的傾斜程度談起(二)

1、第二課時(shí)課題§從梯子的傾斜程度談起（二）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1. 經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程，理解正弦和余弦的意義2. 能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3. 能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算4. 理解銳角三角函數(shù)的意義.（二）能力訓(xùn)練要求1. 經(jīng)歷類比、猜想等過(guò)程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)2. 體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力.（三）情感與價(jià)值觀要求1. 積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲2. 形成合作交流的意識(shí)以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)1. 理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，

2、并能舉例說(shuō)明2. 能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比3. 能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.教學(xué)方法探索交流法.教具準(zhǔn)備多媒體演示教學(xué)過(guò)程I.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，引入新課并且?guī)熚覀冊(cè)谏弦还?jié)課曾討論過(guò)用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度，得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與斜邊之比隨之確定.也就是說(shuō)這一比值只與傾斜角有關(guān),與直角三角形的大小無(wú)關(guān).并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對(duì)邊與鄰邊之比定義了正切.現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎問(wèn)題2梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎？如果有，是怎樣的關(guān)

3、系？n.講授新課1. 正弦、余弦及三角函數(shù)的定義多媒體演示如下內(nèi)容：想一想：如圖（1）直角三角形ABC和直角三角形ABC2有什么關(guān)系？AC1和AC2有什么BABA,關(guān)系？B®和BCi呢？BA1BA如果改變A2在梯子AiB上的位置呢？你由此可得出什么結(jié)論？如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結(jié)論？請(qǐng)同學(xué)們討論后回答生TAiG丄BG,AO丄BC,AiG/A2G.RtBAGsRtBAC2.A1G1和A2C2baT"BaTRCBCBC1和-（相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）.BABA2由于A是梯子AiB上的任意一點(diǎn)，所以，如果改變A在梯子AB上的位置，上述結(jié)論仍成立.由此

4、我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對(duì)邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說(shuō)，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大小無(wú)關(guān).生如果改變梯子AiB的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.師我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過(guò)程.對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢？生函數(shù)關(guān)系.師很好！上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義：（用多媒體演示）在RtABC中，如果銳角A確定，那么/A的

5、對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，/A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正弦（sine），記作sinA,即在RtABC中，如果銳角A確定，那么/A的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，/A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正弦（sine），記作sinA,即sinA-A的對(duì)邊斜邊/A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦（cosine），記作cosA，即A的鄰邊cosA=斜邊銳角A的正弦、余弦和正切都是/A的三角函數(shù)(trigonometricfunction).師你能用自己的語(yǔ)言解釋一下你是如何理解"sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢？生我們?cè)谇懊嬉延懻撨^(guò)，當(dāng)直角三

6、角形中的銳角A確定時(shí)./A的對(duì)邊與斜邊的比值，/A的鄰邊與斜邊的比值，/A的對(duì)邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“/A的三角函數(shù)”概念中，/A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°三個(gè)比值是因變量.當(dāng)/A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).2. 梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系師我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由sinA、cosA有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系sinA、cosA有關(guān)系呢？如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系19此我們想到梯子的傾斜程度是否也和生如圖所示，AB=AB,BC在RtABC中,sinA=，

7、在ABRtABQ中，sinA1=-BC.A1B1BCvB1CABA1B1BCvB1CABA1B1AA.C即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，所以梯子的傾斜程度與sinA有關(guān)系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度.生同樣道理cosA=-ACcosA1=AQABAB1AB=AB1AC>"AC即cosA>cosA1,ABA1B1所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.師同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉！從理論上講正弦和余弦都可以3.例題講解3.例題講解刻畫(huà)梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切多媒體

8、演示.例1如圖，在RtABC中，/B=90°,AC=200.sinA=0.6，求BC的長(zhǎng).分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示/A所在直角三角形它的對(duì)邊與斜BC邊的比值，已知sinA=0.6,=0.6.AC解：在RtABC中，/B=90°,AC=200.BCsinA=0.6，即=0.6,BC=ACX0.6=200X0.6=120.AC思考：(1)cosA=?(2) sinC=?cosC=?(3) 由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論解：根據(jù)勾股定理，得AB=,AC2-BC2二2002-1202=160.在RtABC中，CB=90°cosAsinC=c

9、osCcosAsinC=cosCABACABAC1602001602004=0.8=4=0.8,5BC120_3AC一200一5=0.6,由上面的計(jì)算可知sinA=cosC=0.6,cosA=sinC=0.8.因?yàn)?A+ZC=90°,所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”.例2做一做：如圖，在RtABC中，Z1213C=90°,cosA=,AC=10,AB等于多少？sinB呢?cosB、sinA呢？你還能得出類似例1的結(jié)論嗎？請(qǐng)用一般式表達(dá)-A)=cosA,cos分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同時(shí)進(jìn)一步滲透sin(90(90

10、°-A)=sinA.12 AC解：在RtABC中，ZC=90°,AC=1QcosA=,cosA=-AB-AB=JAJ刊0I3.65cosA1212613sinB=cosA=12AB13根據(jù)勾股定理，得25262BC=AE2-AC2=(65)2-102=6_60636BC=25./.cosB=BC6255,AB一色一65一136sinA=BC5AB13可以得出同例1一樣的結(jié)論./A+ZB=90°,sinA:cosB=cos(90-A)，即sinA=cos(90°-A);cosA=sinB=sin(90°-A)，即cosA=sin(90°

11、-A).川.隨堂練習(xí)多媒體演示1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6求sinB，cosB，tanB.分析：要求sinB,cosB,tanB，先要構(gòu)造ZB所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“線合一”的性質(zhì)，可過(guò)線合一”的性質(zhì)，可過(guò)AB=電旦=25.sinA4解：過(guò)A作ADLBC,D為垂足.1AB=AC-BD=DC=BC=3.2在RtABD中,AB=5,BD=3>AD=4.AD4rBD3sinBcosB=AB5AB5AD4tanB=BD342. 在厶ABC中，ZC=90°,sinA=,BC=2Q求厶ABC的周長(zhǎng)和面積5BC4解:sinA=,/sinA=,BC=20,AB

12、5在RtBC中，AC=.252-202=15,ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+B=25+15+20=60,11ABC的面積：ACXBC=X15X20=150.223. (2003年陜西)(補(bǔ)充練習(xí))1在厶ABC中./C=90°,若tanA=,2則sinA=.解：如圖,tanA=BC=1AC2設(shè)BC=xAC=2x根據(jù)勾股定理，得AB=Jx2+(2x)2=V5x.sinA壬XABV5XIV.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識(shí)了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，/A是自變量，其取值范圍是0。</A<90°三個(gè)比值是因變量當(dāng)/A確定時(shí)，

13、三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)/A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題V課后作業(yè)習(xí)題1、2第1、2、3、4題W.活動(dòng)與探究已知：如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BCf=AB-BD.（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明）過(guò)程根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值（或余弦值）就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在RtABC中，CDLAB.所以圖中含有三個(gè)直角三角形.例如/B既在RtBDC中，又在RtABC中，涉及線段BGBDAB由正弦、余弦的定義得弦、余弦的定義得cosB