計(jì)算方法 數(shù)值積分-插值型積分PPT精選文檔

1、1第第6次次 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分-插值型積分插值型積分-誤差誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 計(jì)算方法計(jì)算方法(Numerical Analysis)2第四章第四章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值積分引論數(shù)值積分引論機(jī)械求積方法機(jī)械求積方法以簡單函數(shù)近似逼近被積函數(shù)方法以簡單函數(shù)近似逼近被積函數(shù)方法-插值型插值型求積公式求積公式插值型求積公式的例子插值型求積公式的例子求積公式的收斂性和穩(wěn)定性求積公式的收斂性和穩(wěn)定性34第四章第四章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分4.0 引言引言若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)且其原函數(shù)為上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用則可用Newton-Leibn

2、itz公式公式:b ba aF F( (a a) )F F( (b b) )f f( (x x) )d dx x求定積分的值。求定積分的值。 評論評論：Newton-Leibnitz公式公式 無論在理論上還無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題。能完全解決定積分的計(jì)算問題。5 (1) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有用初等函數(shù)的有限沒有用初等函數(shù)的有限 形式表示的原形式表示的原 函數(shù)函數(shù)F(x)，例如：，例如：dxe 和dx xsinx10 x102(2) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，的原函

3、數(shù)能用初等函數(shù)表示， 但表但表 達(dá)式太復(fù)雜，例如達(dá)式太復(fù)雜，例如 的原函數(shù)：的原函數(shù)： 32xxf(x)22 則無法應(yīng)用則無法應(yīng)用Newton-Leibnitz公式。公式。在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：)32xxx2ln(216932xx16332xx41F(x)222226(3) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式?jīng)]有具體的解析表達(dá)式, 其函數(shù)其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。關(guān)系由表格或圖形表示。 對于以上情況，通過對于以上情況，通過Newton-Leibniz公式求原函公式求原函數(shù)計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。數(shù)計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的

4、。 因而需要研究一種新的積分方法因而需要研究一種新的積分方法：數(shù)值解法來建立：數(shù)值解法來建立積分的近似計(jì)算方法。積分的近似計(jì)算方法。l將積分區(qū)間細(xì)分將積分區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，l用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)f(x)進(jìn)行積分是本進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。 Home78 4.1 數(shù)值積分概述數(shù)值積分概述baf(x)dxI圖圖4-1 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分的幾何意義的幾何意義 積分值積分值 的幾何表示：由的幾何

5、表示：由x=a, x=b, y=0以及以及y=f(x)這四條邊所圍的曲邊梯形面積。該面這四條邊所圍的曲邊梯形面積。該面積難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊積難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭l曲邊y=f(x)。 4.1.1 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想 y = f(x)yab9最常用的建立數(shù)值積分公式的兩種方法：最常用的建立數(shù)值積分公式的兩種方法：f f( ( ) )本段講授機(jī)械求積方法本段講授機(jī)械求積方法.ba,a)f(),(bf(x)dxba即所求的曲邊梯形的面積即所求的曲邊梯形的面積恰好恰好等于底為等于底為(b-a)，高為，高為 的矩形面積。但點(diǎn)的矩形面積。但點(diǎn)的具體位置是未知的的具體位置是未知的,

6、因而因而 的的值也是未知的。值也是未知的。f f( ( ) )第第1種種：機(jī)械求積方法機(jī)械求積方法.第第2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)，在積分區(qū)間間a, b內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，使得謎謎10三個(gè)求積分公式三個(gè)求積分公式y(tǒng)構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。則分別得到如下的梯形公式和中矩形公式。則分別得到如下的梯形公式和中矩形公式。)2baf(f()2f(b)f(a)f()梯形公式中的梯形公式中的f f( ( ) )y中矩形公式中的中矩形

7、公式中的例如分別取：例如分別?。?f f( ( ) )11 梯形公式梯形公式xabf(b)a)f(a)(b21f(x)dxbay=f(x)ab用梯形面積代表積分值用梯形面積代表積分值12 中矩形公式中矩形公式)2baa)f(bf(x)dxbay=f(x)abyx(a+b)/2ab用區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值為高的矩形面積代表積分值用區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值為高的矩形面積代表積分值13y=f(x)y Simpson公式公式f(b)2ba4f(a)f(a)(b61f(x)dxbaabSimpson公式是以函數(shù)公式是以函數(shù)f(x)在在a, b, (a+b)/2這三點(diǎn)的這三點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)平均值作為平均高度函數(shù)值的加權(quán)

8、平均值作為平均高度f( ). (a+b)/2Home1415先用某個(gè)簡單函數(shù)先用某個(gè)簡單函數(shù) 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替代替原被積函數(shù)原被積函數(shù)f(x)，即，即 baba(x)dxf(x)dx函數(shù)函數(shù) 應(yīng)該對應(yīng)該對f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容并且容易計(jì)算其積分。易計(jì)算其積分。第第2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法(x)以此構(gòu)造數(shù)值算法。以此構(gòu)造數(shù)值算法。通常，將通常，將 選取為選取為f(x)的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式, 這樣這樣f(x)的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替。似代替

9、。 (x)(x)(x)要求：要求：164.1.2 插值求積公式插值求積公式 n0kkk(x)lf(xP(x)(x)x(x(x)xxxx(x)lkknkj0jjkjk其中，對其中，對k=0,n n),0,1,(kxk)f(xk設(shè)已知設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) 有函數(shù)值有函數(shù)值 ,作作n次次拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 )x(x)x)(xx(x(x)n1017 bakn0kkbaba(x)dxl )f(x P(x)dxf(x)dxbakkbakkdx)(x)x(x(x)(x)dxlA其中其中 稱為求積系數(shù)。稱為求積系數(shù)。取取 作為作為 的近似值，即的近似值，即 baP(x)dxbaf(x)

10、dxbakn0kk(x)dxl)f(xkn0kkbaA)f(xf(x)dx記為記為18定義定義4.1 求積公式求積公式 n0kkkba)f(xAf(x)dx當(dāng)其系數(shù)當(dāng)其系數(shù) 時(shí)，則稱求積公時(shí)，則稱求積公式為式為插值（型）求積公式。插值（型）求積公式。 bakk(x)dxlA(4.1)19記記(4.1)的余項(xiàng)為的余項(xiàng)為 ，由插值余項(xiàng)定理得，由插值余項(xiàng)定理得 R(f)ba1)(nba(x)dx1)!(n()fdxP(x)f(x)R(f)ba, 其中其中 注意：當(dāng)注意：當(dāng)f(x)是次數(shù)不高于是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式時(shí)，的多項(xiàng)式時(shí)， 因此，求積公式因此，求積公式(4.1)成為準(zhǔn)確的等成為準(zhǔn)確的等式。式。

11、0(x)f1)(n0R(f)20例例1 給定插值節(jié)給定插值節(jié)點(diǎn)點(diǎn) 10f(x)dx為定積分為定積分43x,21x,41x210構(gòu)造插值求積公式。構(gòu)造插值求積公式。 43x21x843412141/43x21x(x)l043x41x1643214121/43x41x(x)l121x41x821434143/21x41x(x)l2解：以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的解：以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為插值基函數(shù)為 2132dx43x21x8(x)dxl1010031-dx43x41x16)(x)dxl1010132dx21x41x8(x)dxl10102432f21f412f31f(x)dx1

12、0從而，得到插值型求積公式如下：從而，得到插值型求積公式如下：22例例2 設(shè)積分區(qū)間設(shè)積分區(qū)間a, b為為0, 2，取，取 x432e,x,x,xx,1,f(x)20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx解解: 梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比梯形公式和辛卜生的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示較如下表所示 計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較。計(jì)算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較。分別用梯形和辛卜生公式：分別用梯形和辛卜生公式： 23f(x)1xx2 x3x4 ex定積分定積分準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值222.6746.406.389梯形公式梯形公式計(jì)算值計(jì)算值 2248168

13、.389辛卜生公辛卜生公式計(jì)算值式計(jì)算值 222.6746.676.421可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng)f(x)是是 x2 , x3 , x4 時(shí)時(shí),辛卜生公式比辛卜生公式比梯形公式更精確。梯形公式更精確。20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx梯形梯形公式公式辛卜生辛卜生公式公式同學(xué)們，自己驗(yàn)證同學(xué)們，自己驗(yàn)證24某求積公式能對多大次數(shù)的多項(xiàng)式某求積公式能對多大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)成為準(zhǔn)確成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)。等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)。代數(shù)精度的定義代數(shù)精度的定義：如果求積公式（：如果求積公式（4.1）對于一切）對于一切

14、次數(shù)小于等于次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確的，則的，則稱該求積公式具有稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 mm2210 xaxaxaaf(x)25abA A An10在公式在公式4.1中，中，令令f(x)=1, x, x2, x3,xn若求積公式（若求積公式（4.1）的代數(shù)精度為）的代數(shù)精度為n，則其系數(shù)，則其系數(shù) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足: kA2abxAxAxA22nn1100 1nabxAxAxA1n1nnnnn11n00其系數(shù)其系數(shù)矩陣矩陣n nn nn n1 1n n0 02 2n n2 21 12 20

15、0n n1 10 0 x xx xx xx xx xx xx xx xx x1 11 11 1當(dāng)當(dāng)n n) ), ,0 0, ,1 1, ,( (k kx xk k A Ak k互異時(shí)，有唯一互異時(shí)，有唯一解解 26定理定理4.1 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式 n0kkkba)f(xAf(x)dx為插值型求積公式為插值型求積公式公式至少具有公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度。 證證:必要性必要性.設(shè)設(shè)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式n0kkkba)f(xAf(x)dxdx(x)lAbakkR(x)P(x)f(x)插值型求積插值型求積公式判斷條件公式判斷條件為插值型求積公式，求積

16、系數(shù)為：為插值型求積公式，求積系數(shù)為： 又又 ，當(dāng)，當(dāng)f(x)為不高于為不高于n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式時(shí)時(shí), f(x)=P(x), 其余項(xiàng)其余項(xiàng)R(f)=0。因而這時(shí)求積公式至少。因而這時(shí)求積公式至少具有具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。27nkj0jjkjkxxxx(x)ln n) ), ,0 0, ,1 1, ,( (k k充分性充分性： 若求積公式至少具有若求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度, 則對則對n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式精確成立，即精確成立，即從而從而0)(xk的時(shí)候，l而當(dāng)j1,)(x注意ljkkk所以由（所以由（*）和）和(*)知：知： ,即求積公式為即求積公式為插值型求積公式插值型求

17、積公式 。(x)dxlAbakk其中其中).).).).nk1kk1-kk0kn1k1-k0kx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(x(x)ln0jjkjbak)(xlA(x)dxl(*)kn0jjkjA)(xlA(*)28重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梯形公式具有梯形公式具有1次代數(shù)精度；次代數(shù)精度； 辛卜生公式有辛卜生公式有3次代數(shù)精度（次代數(shù)精度（同學(xué)們自己驗(yàn)證同學(xué)們自己驗(yàn)證）。）。baf(b)f(a)2abf(x)dx取取f(x)=1，顯然上式兩端相等。，顯然上式兩端相等。 取取f(x)=x, ba22右b)(a2ab)a(b21xdx左取取f(x)=x2 , 右)b(

18、a2ab)a(b31dxx左ba22332所以梯形公式只有所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證 2930例例3 試確定一個(gè)至少具有試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式次代數(shù)精度的公式 40Cf(3)Bf(1)Af(0)f(x)dx解解: 要使公式具有要使公式具有2次代數(shù)精度，則對次代數(shù)精度，則對f(x)=1, x, x2 ，求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。 64/39CB83CB4CBA20/9C,4/3B4/9,A解之得：解之得： 20f(3)12f(1)4f(0)91f(x)dx40所求公式為：

19、所求公式為： 插值型求積公式插值型求積公式系數(shù)的值與系數(shù)的值與1）積分區(qū)間）積分區(qū)間a,b有關(guān)，有關(guān)，2）節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)；）節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)；3）和具體的）和具體的f(x)無關(guān)無關(guān)31例例4 試確定求積系數(shù)試確定求積系數(shù)A, B, C，使得，使得11Cf(1)Bf(0)1)Af(f(x)dx32CA0CA2CBA可驗(yàn)證，該公式對于可驗(yàn)證，該公式對于f(x)= x3 也成立也成立(意外收獲意外收獲)，而對而對x4 不成立。因此，該求積公式有不成立。因此，該求積公式有3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。f(1)31f(0)341)f(31f(x)dx11A=1/3, B=4/3, C=1/3具有最高的代數(shù)精度

20、。具有最高的代數(shù)精度。解解:分別取分別取f(x)=1, x, x2 ，使求積公式準(zhǔn)確成立，使求積公式準(zhǔn)確成立,得得:Simpson求積公式求積公式32做法做法：選定：選定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，按照插值公式構(gòu)造個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，按照插值公式構(gòu)造求積公式后，應(yīng)驗(yàn)算該求積公式是否還有求積公式后，應(yīng)驗(yàn)算該求積公式是否還有n+1次次或更高的代數(shù)精度?；蚋叩拇鷶?shù)精度。問題：問題：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度究竟有多高？究竟有多高？回答回答：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式保證了至少個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式保證了至少有有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。結(jié)論：結(jié)論：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公

21、式的代數(shù)精度個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為至少為n，但是有可能比，但是有可能比n還大？還大？33解：該插值求積公式具有解：該插值求積公式具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此至少有個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此至少有2次次代數(shù)精度。代數(shù)精度。f f( (b b) ) )2 2b ba a4 4f f( (f f( (a a) )6 6a ab bf f( (x x) )d dx xb ba a例例5 已知已知插值求積公式（按照插值公式構(gòu)造的系數(shù)）插值求積公式（按照插值公式構(gòu)造的系數(shù)） 將將f(x)=x3代入公式兩端，左端代入公式兩端，左端=右端右端=(b4-a4)/4, 公公式兩端嚴(yán)格相等，式兩端嚴(yán)格相等， 再代入再代入f

22、(x)=x4兩端不相等，兩端不相等，故故該求積公式具有該求積公式具有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度。討論該公式的代數(shù)精度。討論該公式的代數(shù)精度。Simpson 公式公式是否有是否有3次代數(shù)精度呢？次代數(shù)精度呢？34的代數(shù)精度。的代數(shù)精度。f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例例6 考察求積公式考察求積公式評論評論：三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有：三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度，因?yàn)榇未鷶?shù)精度，因?yàn)椴皇遣逯敌偷?！不是插值型的！解：可?yàn)證解：可驗(yàn)證, 對于對于f(x)=1, x時(shí)公式兩端相等時(shí)公式兩端相等, 再將再將f(x)=x2代入公式，經(jīng)過計(jì)算，左端代入公式，經(jīng)過計(jì)算，左端=2/3， 右端右端=1。所以

23、該求積公式具有所以該求積公式具有 1 次代數(shù)精度次代數(shù)精度.課堂練習(xí)課堂練習(xí)35例例7 給定求積公式如下：給定求積公式如下： 10)432f()21f()412f(31f(x)dx試證此求積公式是插值型的求積公式。試證此求積公式是插值型的求積公式。 證明證明:1011dx左 1，212311，右令f(x)21xdx左 ，21432214231x，右令f(x)1031dxx左 ，3116184116231，右x令f(x)1022從而求積公式至少有從而求積公式至少有2次代數(shù)精度，由次代數(shù)精度，由定理定理4.1，此求此求積公式是插值型求積公式。積公式是插值型求積公式?？沈?yàn)證，該公式有可驗(yàn)證，該公式有

24、3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 課堂練習(xí)課堂練習(xí)36上的插值基函數(shù)、和插值求積公式如下：上的插值基函數(shù)、和插值求積公式如下： 另外一種驗(yàn)證方法另外一種驗(yàn)證方法-具體地計(jì)算出以下插值型求積公式中具體地計(jì)算出以下插值型求積公式中的積分系數(shù)的積分系數(shù)43x,21x,41x210)43Cf()21Bf()41Af(f(x)dx10A, B, C. 實(shí)際上，在實(shí)際上，在例例1中中，已經(jīng)求出了在插值節(jié)點(diǎn)，已經(jīng)求出了在插值節(jié)點(diǎn)432f21f412f31f(x)dx10這和題目中所給定的求積公式相同，因此題目中的積分公這和題目中所給定的求積公式相同，因此題目中的積分公式是插值型求積公式。式是插值型求積公式。 這個(gè)

25、方法比較復(fù)雜。這個(gè)方法比較復(fù)雜。37f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例例8 求證求證不是插值型的。不是插值型的。證明證明: 設(shè)設(shè) x0 = -1, x1 =0, x2 =1 2左2,12121右1,令f(x)0左0,10-121右x,令f(x)32左1,1121右,x令f(x)2從而求積公式擁有從而求積公式擁有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，但是僅有個(gè)節(jié)點(diǎn)，但是僅有1次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，由定理由定理4.1，此求積公式，此求積公式不是不是插值型求積公式。插值型求積公式。課堂練習(xí)課堂練習(xí)38 例例9 給定求積公式給定求積公式試確定求積系數(shù)試確定求積系數(shù)A-1, A0 ,A1, 使其有盡可能高的代使其有

26、盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度。數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度。f f( (h h) )A Af f( (0 0) )A Ah h) )f f( (A Af f( (x x) )d dx x1 10 02 2h h2 2h h1 1解：令求積公式對解：令求積公式對f(x)=1, x, x2準(zhǔn)確成立，則有準(zhǔn)確成立，則有31212h316AhAh0hAhA114hAAA101課堂練習(xí)課堂練習(xí)392f(h)f(0)h)2f(h34f(x)dxh38AAh,34A2h2h110解之得解之得:其代數(shù)精度至少為其代數(shù)精度至少為2,將將f(x)=x3代入求積公式兩端相等；代入求積公式兩端相等；將將f(x)=

27、x4代入求積公式兩端不相等；代入求積公式兩端不相等；所以其代數(shù)精度為所以其代數(shù)精度為3次次40構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：1）復(fù)雜函數(shù)）復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分；的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分；2）求積系數(shù)）求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被有關(guān)，而與被 積函數(shù)積函數(shù)f(x)無關(guān)，無論無關(guān)，無論f(x)如何，永遠(yuǎn)可以預(yù)先如何，永遠(yuǎn)可以預(yù)先 算出算出Ak的值；的值；3）n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度；次代數(shù)精度；abAn0kk4）求積系數(shù)之和）求積系數(shù)之和 可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的

28、正確性?？捎么藱z驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性。41 (1) 在積分區(qū)間在積分區(qū)間a,b上選取節(jié)點(diǎn)上選取節(jié)點(diǎn)xk(3) 利用利用f(x)=1, x, , xn,驗(yàn)算代數(shù)精度驗(yàn)算代數(shù)精度構(gòu)造插值求積公式的步驟：構(gòu)造插值求積公式的步驟：bakk(x)dxlA) )f f( (x xA Af f( (x x) )d dx xk kb ba an n0 0k kk k(2) 求出求出f(xk)及利用及利用 或解關(guān)于或解關(guān)于Ak的線性方程組求出的線性方程組求出Ak，得到，得到:42例例10 對對 , 構(gòu)造至少有構(gòu)造至少有3次代數(shù)精度的求積次代數(shù)精度的求積 公式。公式。同學(xué)自己完成同學(xué)自己完成。3 30 0f f( (x x) )d dx x解解: 3次代數(shù)精度需次代數(shù)精度需4個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn), 在在0, 3上取上取0, 1, 2, 3四個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式四個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式f(3)Af(2)Af(1)Af(0)Af(x)dx321300確定求積系數(shù)確定求積系數(shù)Ak(k=0, 1, 2, 3), 利用求積系數(shù)公式利用求積系數(shù)公式3023300836)dx11x6x(x61dx3)2)(01)(0(03)2)(x1)(x(xA43,89dx3)2)(10)(1(13)2)(x0)(x(xA