模擬電子技術基礎

1、附件 1理論課程教學大綱編寫模版數(shù)值計算方法教學大綱課程英文名稱：Methods of Numerical Computation課程編號：學時： 72一、課程教學對象 ：全日制本科信息與計算科學專業(yè)二、課程性質(zhì)、目的和任務：科學計算技術是計算機應用的一個重要方面，數(shù)值計算方法又叫數(shù)值分析，主要介紹在計算機上求解數(shù)值問題的計算方法的建立、理論及應用。通過教學使學生具備數(shù)值分析的基礎知識與技能，為以后進一步從事科學計算方面的學習、研究和應用打下基礎。要求學生牢固掌握基本概念、基本理論和方法建立的原理，掌握科學與工程計算中常用計算方法的構(gòu)造及誤差分析，討論方法的穩(wěn)定性、復雜性等，并將算法設計與計算

2、機的實現(xiàn)緊密相結(jié)合，提高在計算機上解題的技巧與能力。本課程主要向?qū)W生介紹數(shù)值分析的基本方法以及數(shù)值分析研究中的一些較新的成果。包含解線性代數(shù)方程組的直接法、解線性代數(shù)方程組的迭代法、解非線性方程的迭代法、矩陣特征值與特征向量的計算、代數(shù)插值、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程初值問題的數(shù)值解法等基本內(nèi)容。通過教學使學生掌握各種常用數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析，提高算法設計和理論分析能力。為能在計算機上解決科學計算問題打好基礎。三、 對先修課的要求學生在學習本課之前，應先修課程：數(shù)學分析，高等代數(shù)，常微分方程，數(shù)學軟件四、課程的主要內(nèi)容、基本要求和學時分配建議（總學時數(shù) : 72=62+1

3、0 ）第 1 章緒論及基本概念2學時介紹數(shù)值分析的研究對象與特點，算法分析與誤差分析的主要內(nèi)容，明確學習和掌握數(shù)值分析的基本理論在科學計算中的重要性和必要性。（一）基本要求1. 了解數(shù)值分析研究的對象及其特點；2 了解誤差的來源及分類；3 掌握誤差與有效數(shù)字的概念；4 掌握數(shù)值運算的誤差估計方法；5 了解算法數(shù)值穩(wěn)定性的概念；6 了解避免誤差危害的若干原則。（二）重點1有效數(shù)字的概念；2 絕對誤差、相對誤差的概念。（三）難點有效數(shù)字與誤差的關系。第 2章函數(shù)插值 8學時（ 1）代數(shù)插值是函數(shù)逼近的重要方法，也是數(shù)值積分、數(shù)值微分及微分方程數(shù)值解法的基礎。常用的插值法有適用于非等距節(jié)點的拉格朗日

4、插值多項式、牛頓插值多項式，還有適用于等距節(jié)點的牛頓前差插值多項式和牛頓后差插值多項式；為了插值多項式能與被插函數(shù)較好地吻合，我們討論了埃爾米特插值多項式，包括其公式的推導和誤差分析； （ 2）鑒于高次插值的不穩(wěn)定性，在插值點較多情況下，一般采用分段低次插值法，此類1方法計算簡單且具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，應用較廣泛；樣條插值函數(shù)也是分段插值函數(shù)，它可以保證分段插值函數(shù)在整個區(qū)間上具有連續(xù)的二階導數(shù)，因此具有較好的光滑性，收斂性和穩(wěn)定性； （ 3）增加函數(shù)插值的MATLAB編程及應用。（一）基本要求1. 了解插值函數(shù)及其相關定義；2 掌握 Lagrange 插值多項式及其函數(shù)的性質(zhì)，了解插值余

5、項與誤差估計相關概念；3 掌握均差和Newton 插值公式；4 掌握差分與等距節(jié)點插值公式；5 了解 Hermite 插值公式；6 了解分段低次插值法；7.掌握三次樣條插值的定義及其三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造方法，了解三次樣條插值函數(shù)的收斂性與誤差估計。（二）重點1 Lagrange 插值；2 Newton 插值；3 Hermite插值。（三）難點三次樣條插值。第 3 章 函數(shù)逼近與曲線擬合8學時（ 1）函數(shù)逼近問題的是對于給定函數(shù)f ( x) ，在另一類較簡單的函數(shù)類中找到一個函數(shù)p( x) ，使 p(x) 與f ( x) 之差在某種度量意義下最小。最常用的度量標準有兩種，即一致逼近和平方逼近。

6、（ 2）曲線擬合的最小二乘法也是函數(shù)逼近的常用方法，即對于給定的一組數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘原則在某一函數(shù)類中選擇函數(shù)，使其擬合所給數(shù)據(jù)，在工程中具有廣泛的應用。 （ 3）增加函數(shù)逼近與曲線擬合的 MATLAB編程及上機。（一）基本要求1. 掌握范數(shù)、內(nèi)積、賦范線性空間和權(quán)函數(shù)的概念；2 掌握勒讓德多項式、切比曉夫多項式的概念及其性質(zhì)；3 理解最佳一致逼近多項式的基本概念，掌握最佳一次逼近多項式的求法；4理解最佳平方逼近多項式的基本概念，掌握最佳平方逼近多項式的求法；5理解最小二乘法、曲線擬合的基本概念，掌握最小二乘擬合多項式的求法。（二）重點與難點1最佳一致逼近多項式的基本概念及其計算方法；2最佳

7、平方逼近多項式的基本概念及其計算方法；3最小二乘擬合的基本概念及其計算方法。第 4 章 數(shù)值積分與數(shù)值微分8 學時（ 1）用插值多項式近似代替被積函數(shù)，從而導出積分與微分的近似計算公式是數(shù)值積分與數(shù)值微分的基本方法。對于數(shù)值積分， 在等距節(jié)點下， 可導出牛頓 - 柯特斯公式， 此類公式構(gòu)造方便，算法簡單； 在不等距節(jié)點下，可導出高斯求積公式，其精度較高，但節(jié)點沒有規(guī)律，構(gòu)造的技巧性較高。（ 2）對于數(shù)值微分，用插值多項式的導數(shù)近似代替原函數(shù)的導數(shù)是最常用的方法。外推法的基本思想即可用于數(shù)值積分，推導出精度較高，穩(wěn)定性好的龍貝格算法，也可用于數(shù)值微分，得到外推算法，精密地求得導數(shù)值。（ 3）增加

8、數(shù)值積分與數(shù)值微分的MATLAB編程及上機。（一）基本要求1.掌握數(shù)值積分的基本思想，理解代數(shù)精度的概念；2理解插值型求積公式的基本概念，了解求積公式收斂性與穩(wěn)定性的概念；3了解 Newton-Cotes 求積公式的構(gòu)造方法；4 掌握梯形公式、Simpsen 公式及其復化梯形公式、復化Simpsen 公式和余項表示公式；5掌握Guass 型求積公式的一些基本特點，能利用正交多項式構(gòu)造二點及三點Guass-Legndre 、2Guass-Chebyshev 求積公式；6掌握數(shù)值微分的基本思想，會利用插值法構(gòu)造數(shù)值微分公式，掌握二點及三點微分公式；7. 會利用數(shù)值積分來構(gòu)造數(shù)值微分公式。（二）重點

9、與難點1代數(shù)精度；2梯形公式、Simpsen 公式及其復化梯形公式、復化Simpsen 公式；3 Guass 型求積公式。第 5 章 解線性代數(shù)方程組的直接法6學時（ 1）了解研究求解線性代數(shù)方程組的數(shù)值方法的必要性。算法的分類及直接法的應用范圍。高斯消去法是解線性代數(shù)方程組的最常用的直接法，也是其它類型直接法的基礎。在此方法基礎上加以改進，可得選主元的高斯消去法，其數(shù)值穩(wěn)定性更高。 （ 2）矩陣的三角分解法是基于高斯消去法思想的另一種求解線性代數(shù)方程組的直接法。當線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣為特殊的對稱正定陣時，又有平方根法及其改進方法。在實際問題中經(jīng)?；赜龅较禂?shù)矩陣為三對角陣的情況，求解此類線

10、性代數(shù)方程組可用追趕法。（ 3）增加解線性代數(shù)方程組的直接法的 MATLAB編程及上機。（一）基本要求1.掌握 Gauss 消去法和Gauss 主元素消去法；2熟練運用矩陣三角分解法解線性方程組；3 掌握追趕法和平方根法；4 理解向量和矩陣范數(shù)的定義，掌握基本性質(zhì)、定理；5 了解矩陣的條件數(shù)，知道相關基本性質(zhì)、定理；6 知道矩陣的QR分解。（二）重點1 Gauss 消去法；2矩陣三角分解；3矩陣的算子范數(shù)。（三）難點矩陣三角分解，矩陣的算子范數(shù)。第 6 章 解線性代數(shù)方程組的迭代法8學時（ 1）了解算法的分類及迭代法的應用范圍及構(gòu)造迭代法時必須考慮的收斂性和收斂速度問題。雅可比迭代法是最基本的

11、迭代法，在此基礎上加以改造即得高斯- 塞德爾迭代法。SOR方法是高斯 - 塞德爾迭代法的加速方法。在 SOR方法的迭代過程中改變分量的計算順序即得 SSOR方法。（2）在用同一種方法求解不同的線性代數(shù)方程組時，常會產(chǎn)生不同的效果。這涉及到所解線性代數(shù)方程組的性態(tài)。系數(shù)矩陣的條件數(shù)是度量線性代數(shù)方程組良態(tài)或病態(tài)的主要指標。迭代法的收斂性分析是研究解線性代數(shù)方程組的迭代法時必須考慮的問題。對于上述常用的迭代法，須掌握其收斂的條件。而對一般的迭代法，掌握其收斂性分析的基本方法和主要結(jié)果有助于我們進一步探究新的迭代法。（ 3）增加解線性代數(shù)方程組的迭代法的MATLAB編程及上機。（一）基本要求1.理解

12、迭代法的基本概念；2掌握 Jacob 迭代法、 Gauss-Sedeil迭代法，知道SOR迭代法；3知道矩陣的譜半徑的概念和嚴格對角占優(yōu)矩陣的定義；4 理解迭代法的收斂性，掌握判別Jacob 迭代法、 Gauss-Sedeil迭代法收斂性的基本方法。（二）重點1 Jacob 迭代法；2 Gauss-Sedeil迭代法；3收斂性的判別方法。（三）難點收斂性的判別方法和收斂速度。第 7 章 解非線性方程的迭代法6學時（ 1）了解研究解非線性方程的數(shù)值計算方法的必要性和主要研究內(nèi)容。二分法是求單實根的有效方法。其優(yōu)3點是算法簡單，收斂性可以得到保證。但不能用于求復根和偶數(shù)重根。迭代法是一種逐步逼近根

13、的方法，它使用某個固定公式反復校正根的近似值，使之達到精度要求。研究迭代法必須考慮收斂性和收斂速度問題及其加速方法。牛頓法是用線性方程代替非線性方程作為其近似方程，用近似方程的根作為原方程根的近似值。牛頓法在單根附近具有局部收斂性，并且至少具有平方收斂速度。但對初始指的選取比較苛刻。此外，牛頓法可用于求重根及多項式方程的復根。弦截法是用差商代替牛頓迭代公式中的導數(shù)，分為單點弦截法和雙點弦截法。雙點弦截法具有超線性收斂速度，但其使用需給出兩個初始值。（2）上述迭代法的基本思想也可用于非線性方程組的求解。 相應地我們有求解非線性方程組的牛頓法。為了減少計算量，可用某個矩陣近似代替雅可比矩陣，從而引

14、出牛頓法的各種變形算法。（ 3）增加解非線性代數(shù)方程迭代法的MATLAB編程及上機。（一）基本要求1. 了解非線性方程的一些基本概念，如：有根區(qū)間、代數(shù)基本定理、單根、重根、全局收斂、局部收斂、收斂階；2 掌握二分法，了解其誤差估計，知道二分法的優(yōu)缺點；3 了解不動點迭代法的基本原理，掌握不動點的存在性與迭代法的收斂性、收斂階的判定；4 熟練掌握Newton 迭代法求根公式及其收斂性、收斂階；掌握求重根的Newton 迭代公式；5 知道弦截法和拋物線法的計算公式；6 了解非線性方程組的Newton 迭代公式。（二）重點1二分法；2不動點迭代法；3 Newton 迭代法。（三）難點各種迭代法收斂

15、性定理的證明、收斂階的估計。第 8 章 矩陣特征值與特征向量的計算8學時（ 1）乘冪法是一種計算實矩陣的按模最大的特征值及其相應的特征向量的方法。其特點是不破壞原始矩陣，直接使用原矩陣進行計算。而反冪法常用于求按模最小的特征值及其相應的特征向量，其有效性依賴于特征值的分布情況。（2）雅可比方法、 QR方法都屬于變換法，經(jīng)過正交相似變換，將原矩陣化為易于求特征值的特殊形式。優(yōu)點是收斂速度快，穩(wěn)定性好。（ 3）增加矩陣特征值與特征向量的計算的MATLAB編程及上機。（一）基本要求1.了解 Gerschgorin圓盤定理；2 掌握冪法與反冪法求解矩陣模最大特征值和最小特征值及相應的特征向量；3 掌握

16、帶原點位移的冪法與反冪法；4 了解計算矩陣特征值的QR方法。（二）重點1 Gerschgorin圓盤定理；2冪法與反冪法；3帶原點位移的冪法與反冪法。（三）難點計算矩陣特征值的QR方法。第 9 章 常微分方程初值問題的數(shù)值解8學時（ 1）對于常微分方程初值問題，最常用的龍格- 庫塔方法，它除了具有較高的精度，還有自動起步和便于調(diào)節(jié)步長的優(yōu)點。線性多步法的計算量較少，但一般不能自行啟動，需借助單步法提供初值。（ 2）收斂性和穩(wěn)定性從兩個不同的角度描述了數(shù)值方法的可靠性。本章著重討論了單步法的收斂性和穩(wěn)定性。鑒于數(shù)值穩(wěn)定性的分析相當復雜，為了討論簡單起見，常用試驗方程來檢驗常微分方程初值問題的數(shù)值

17、解法的數(shù)值穩(wěn)定性。（ 3）增加常微分方程初值問題數(shù)值解法的MATLAB編程及上機。（一）基本要求1. 熟練掌握歐拉方法及其變形公式，能用這些公式求解微分方程初值問題的數(shù)值解；2理解龍格 - 庫塔法的基本思想，能用經(jīng)典龍格- 庫塔公式求解微分方程初值問題的數(shù)值解；3 掌握單步法局部截誤差及階的定義，能求局部截誤差來確定方法的階；44 了解線性多步法的基本思想；5 了解絕對穩(wěn)定的概念和絕對穩(wěn)定區(qū)間的求法。（二）重點1歐拉方法及其變形公式；2龍格 - 庫塔法；3單步法局部截誤差及階的定義。（三）難點絕對穩(wěn)定區(qū)間的求法。五、 實驗內(nèi)容和實驗要求1. 基本要求“數(shù)值計算方法”實驗課程作為“數(shù)值計算方法”

18、課程的必要實踐環(huán)節(jié)，主要目的是讓學生在學習了理論教學中關于典型數(shù)學問題的數(shù)值求解方法后，能夠構(gòu)造求解該類問題數(shù)值解的算法，并編程上機實現(xiàn)算法，在上機過程中加強對算法的理解，并應用算法去解決實際問題，另外通過編程練習提高學生的程序設計能力。該實驗課程共有 5 個實驗，每次實驗都要求學生根據(jù)相應的實驗要求設計算法、 上機用 Matlab 編程實現(xiàn)算法并撰寫實驗報告。2實踐教學安排序?qū)嶒烅椖繉嶒瀮x器每套實驗實驗內(nèi)容提要號名稱學時套數(shù)人數(shù)要求屬性函數(shù)的插值編程求解特定問題的數(shù)值1解并在計算機上驗證、計算2若干1必做基礎與數(shù)值逼近機數(shù)值積分編程求解特定問題的數(shù)值2解并在計算機上驗證、計算2若干1必做基礎與數(shù)值微分機線性方程組編程求解特定問題的數(shù)值求解的直接3解并在計算機上驗證、計算2若干1必做基礎方法和迭代機方法非線性方程Newton 迭代編程求解特定問題的數(shù)值4與矩陣特征解并在計算機上驗證、計算2若干1必做基礎值的冪法、反機冪法常微分方程編程求解特定問題的數(shù)值5初值問題初解并在計算機上驗證、計算2若干1必做基礎步機六、教材及參考書1理論課教材：李慶揚,王能超 ,易大義 .數(shù)值分析 M. 北京 : 清華大學出版社2003.6.52