第06講__對(duì)稱(chēng)變換(含解答)

1、.九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題 第六講 對(duì)稱(chēng)變換1如圖，ABC中，AE平分BAC的外角，D為AE上一點(diǎn)，假設(shè)AB=c，AC=b，DB=m，DC=n，那么m+n與b+c的大小關(guān)系是 Am + n > b + c ; Bm + n = b + c Cm + n < b + c ; Dm + n > b + c 或m + n < b + c 2如圖，ABC中，A=2B，C72°，C砰分ACB，P為AB中點(diǎn)，那么以下各式中正確的選項(xiàng)是 AAD=BC-CD; BAD=BC-AC; CAD=BC-AP; DAD=BC-BD二、解答題1在定直線XY異側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線XY上求作一

2、點(diǎn)P，使PA與PB之差最大。2如圖，線段AB的同側(cè)有兩點(diǎn)C、D滿(mǎn)足ACB=ADB=60°，ABD=90°-DBC。求證：AC=AD.3如圖，ABC中，AB=AC，A=100°，BD平分ABC,求證：BC=BD+AD.4如圖，P是ABC邊BC上一點(diǎn)，且PC=2PB，假設(shè)ABC=45°，APC=60°，求證：ACB的大小。5如圖，ABC中，AB=AC，D是ABC外一點(diǎn)且ABD=60°，ADB=90°-BDC。求證：AC=BD+CD.6ABC中，BAC=15°，AD平分BAC，過(guò)A作DA的垂線交直線BC于M，假設(shè)BM=A

3、C+BA。求證：ABC、ACB的度數(shù)。7：等邊凸六邊形ABCDEF中，頂角A、C、E與B、D、F的和相等，即A+C+E=B+D+F。求證：A=D，B=E，C=F。8，如圖，設(shè)MON=20°，A為OM上一點(diǎn)，OA=4，D為ON上一點(diǎn)，OD=8，C為A由任一點(diǎn)，B是OD上任意一點(diǎn)。求：折線ABCD的長(zhǎng)度的最小值。答案一、1A2B略解：1在AM上截取AC=AC，連結(jié)DC，如圖，易證ADCAD C所以DC=D C因?yàn)锽A + A C< BD+D C所以AB + AC < BD + DC即m + n > b + c，應(yīng)選A.2因?yàn)锳=2B所以A > B所以BC >

4、 AC在BC上截取CA=CA，連結(jié)D A如圖，易證ACDACD所以AD= AD，且1=A=2B又1=B+2所以B=2所以AB= AD=AD所以BC= AC+ AB = AC + AD所以AD = BC AC符合B注意到：假設(shè)AD=BC-CD，那么CD=BC-AD= AC=AC此時(shí)CD A=CDA=A=2B所以AD A=4B又AD A+2=4B + B = 180°所以B = 36°所以C = 72°與矛盾，故A排除，易證BD > B A= AD，所以PB < BD，PA > AD所以AD < BC AP，排除C，AD > BC BD，

5、排除D二、1作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線XY的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，作直線A B交XY于P點(diǎn)，那么點(diǎn)P為所求點(diǎn)如圖假設(shè)BAXY即B、A到直線XY的間隔 相等，那么點(diǎn)P不存在。證明：連結(jié)BP，在XY上任意取點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB，那么PB=PB，PB= PB因?yàn)閨 PB - PA | = | PB-PA| < AB= | PB - PA| = |PB - PA|，所以，此時(shí)點(diǎn)P使 |PA - PB|最大2略證：以AB為軸作ABC的對(duì)稱(chēng)ABC，那么AC=A C，C=C=60°，ABC=ABC如圖因?yàn)锳BD=90°-DBC所以2ABD+DBC=180°所以ABD+DBC+ABD=180

6、°即ABC+ABD=180°所以ABC+ABD=180°所以D、B、C共線又因?yàn)镈=60°所以DAC=180°-C-D=60°=D=C所以AD C是等邊三角形，所以AD=A C=AC3法1：在BC上截取BE=BA，BF=BD，連結(jié)DE、DF如圖易證ABDEBD所以DE=DA，且DEB=A=100°所以1=80°因?yàn)锳B=AC，A=100°所以ABC=C=40°又BD平分ABC，所以4=3=20°由BD=BF得：2=BDF=80°所以1=2，所以DE=DF，又因?yàn)锽DC=A+4

7、=120°所以5=40°=C，所以CF=DF，所以CF=DE=DA所以BC=BF+FC=DB+AD法2：在BC上截取BE=BA，延長(zhǎng)BD到F使BF=BC，連結(jié)DE、CF如圖易證ABDEBD所以DEB=A=100°，所以DEC=80°易求1=2=20°，3=40°因?yàn)锽C=BF，2=20°，所以F=FCB=80°=DEC所以4=80°-3= 40°=3又DC=DC，所以DCEDCFAAS所以DF=DE=AD所以BC=BF=BD+DF=BD+AD法3：在BD上截取BE=BA，在BC上截取BF=BD，

8、連結(jié)EF、DF如圖，相當(dāng)于將ABD繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)20°易證ABDEBFSAS所以AD=EF，BEF=A=100°所以DEF=80°，易求2=20°，C=40°，BDC=120°因?yàn)锽D=BF，所以BDF=80°=DEF，所以DF=EF且3=40°=C所以DF=FC所以BC=BF+FC=BD+DF=BD+EF=BD+AD4作C關(guān)于AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連結(jié)A C、B C、P C， 那么有P C=PC=2PB，APC=APC=60°可證BCP為直角三角形延長(zhǎng)PB到D，使BD=BP，那么PD=PC，又CPB=60

9、6;，那么CPD是等邊三角形，由三線合一性質(zhì)有CBBPCBP=90°因?yàn)锳BC=45°，所以CBA=45°=ABC所以BA平分CBC所以A到BC的間隔 =A到BC的間隔 又因?yàn)锳PC=APC，所以PA平分CPC所以A到P C間隔 =A到PC即BC的間隔 所以A到B C的間隔 =A到P C的間隔 所以A是角平分線上的點(diǎn)，即CA平分M CP所以A CP=M CP=75°=ACP5略證：以AD為軸作ABD的對(duì)稱(chēng)ABD如圖，那么有BD=BD，AB=AB=AC，B=ABD=60°，AD B=ADB=90°-BDC，所以ADB+ADB+BDC=1

10、80°-BDC+BDC=180°所以C、D、B在一條直線上所以ACB是等邊三角形所以CA=C B=CD+D B=CD+BD6分兩種情況討論計(jì)算1當(dāng)過(guò)A作AD的垂線交BC延長(zhǎng)于點(diǎn)M時(shí)，延長(zhǎng)BA到C到C，使A C=AC，連結(jié)CM如圖，那么BM=AB+AC=AB+A C=B C所以C=CMB由AD平分BAC，AMAD，易證AM平分CA C所以ACMA CM所以A CM=ACM=CMB在BCM中，B+C+CMB=180°所以B+ACM+ACM=180°所以B+2BAC+B=180°，解得B=50°所以ACB=180°-B-BAC=1

11、15°2當(dāng)過(guò)A作AD的垂線交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M時(shí)，延長(zhǎng)BA到C，使A C=AC，連結(jié)C C，CM如圖那么BM=AB+AC=AB+A C=B C，所以M CA=MBA因?yàn)镸AD=90°，所以MAC=90°+又CAC=180°-BAC=165°所以CAM=360°-CAC-MAC=97.5°=CAM又AM=AM，所以A CMACMSAS所以A CM=ACB在M CC中，CMB+MCC+MCC=180°所以MCA+MCA+AC C+M CA+ACC=180°所以3ACM+CAB=180°所以ACB=18

12、0°-15°=55°所以ABC=180°-ACB-BAC=110°綜上，ABC=50°，ACB=115°或ABC=110°，ACB=55°7略證：以BF為軸將ABF翻折，以BD為軸將BCD翻折，以DF為軸將DEF翻折因?yàn)锳+C+E=ABC+CDE+AFE=360°且AB=BC=CD=DE=EF=FA，所以翻折后A、C、E落于同一個(gè)點(diǎn)O所以O(shè)B=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB所以四邊形ABOF、BCDO、DEFO均為菱形所以O(shè)BCD，DEOF所以BOD+ODC=180°，F(xiàn)OD+ODE=180°所以CDE=360°-BOD-FOD=BOF=BAF同理可證，ABC=E，C=AFE8解：作A關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連結(jié)AB，作D關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連結(jié)CD，連